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淘宝：学思创想
专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M 型）
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
例1．（2022·河南·统考二模）如图，
，
，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物
线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线
，
反射后沿着与
平行的方向射出，已知图中
，
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB EF
∥
，用含
、
、
的式子表示
，应为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身
与水平线的夹角
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知
，
，
，
若
，则
为（ ）
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A．23°
B．33°
C．44°
D．46°
例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的
断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口
问题”．（1）如图（2）所示，已知
，请问
，
，
有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知
，请问
，
，
又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知
，请问
与
有何关系并说明理由．
模型2：铅笔头模型
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图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知
，那么
（ ）
A．180°
B．270°
C．360°
D．540°
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台
平行若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1 是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2
所示的数学图形．已知
垂直地面上的直线
于点
，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的
段将
绕点
缓慢向上抬高，
段则一直保持水平状态上升（即
始终平行于
）．在该运动过程中，当
时，
的度数是（ ）
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A．
B．
C．
D．
例4．（2023 春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果AB
CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
例5．（2022 春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知
，则
，则
等于 （用含
的式子表示）．
模型3：牛角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
. 如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若
，则∠1+ 3- 2
∠
∠的度数为
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例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P 为直线AB，CD 外一点，BF 平分∠ABP，DE 平
分∠CDP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝a，试用a 表示∠P 为______．
例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线
，点
为直线
，
所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1，
，
．求
的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，
，
，
，求
的值．
例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END 的数量
关系为
；（2）如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P 与∠E 之间
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的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=
∠MBE，∠CDN=
∠NDE，直线MB、ND 交于点
F，则
=
．
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
.
如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023 春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB 的度数为
．
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例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C 等于（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知
，
，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，
，
，
，
，点
是
上一点． （1）
的度数为 ；（2）若
．则
与
（填“平行”或
“不平行”）．
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模型5：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
.
如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D 三点，拐弯后与原来方向相
同，如图，若
，则
等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若
，
，
，则
的度数是
（）
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A．115°
B．130°
C．140°
D．150°
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，
，
，
，则
的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，
，
，
平分
，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图
于点D，将
绕点A
逆时针旋转
，使
，则
的最小值为 ．
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课后专项训练
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：
，
，求证：
．在证明该结
论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
A．延长
交
的延长线于点
B．连接
C．分别作
，
的平分线
，
D．过点
作
（点
在点
左侧），过点
作
（点
在点
左侧）
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若
，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线
、
平行，则
（ ）．
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A．
B．
C．
D．
5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若
，
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与
∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°
B．35°
C．36°
D．45°
7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中
，
，
，则
的度数为（ ）
A．56
B．66
C．98
D．104
8．（2023 春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，AB
CD，∠ABE＝
∠EBF，∠DCE＝
∠ECF，设
∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ 的数量关系是（ ）
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A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β
2
﹣α﹣γ＝360°
9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2 的度数等于 __________．
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，
，
，
，则
度．
11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线
，射线
、
分别平分
，
，两射
线反向延长线交于点
，请写出
，
之间的数量关系：________．
12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，
，E 是
上的点，过点E 作
，若
，
平分
，
，
，则
_______．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知
，
，求
的度
数．
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14．（2023 春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，
，当
与
满足什么关系时，
?
小明认为
时
，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的
作图与填空：
解：用直尺和圆规，在
的右侧找一点M，使
（只保留作图痕迹）．
∵
，
①_____________
∴
∵
∴
②_________ ，
∵
，
∴
③__________ ，
④_____________
∴
∴
．
所以满足的关系为：当
时，
．
15．（2023 春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）
，猜想
与
的关
系，说出理由．
（2）观察图（2），已知
，猜想图中的
与
的关系，并说明理由．
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（3）观察图（3）和（4），已知
，猜想图中的
与
的关系，不需要说明理由．
16．（2023 秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果
，求证：
．
（2）如图②，
，根据上面的推理方法，直接写出
___________．
（3）如图③，
，若
，则
___________（用x、
y、z 表示）．
17．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图，
，点E 为两直线之间的一点．
(1)如图1，若
，
，则
；
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如图1，若
，
，则
；
(2)如图2，试说明，
；(3)如图3，若
的平分线与
的平分线相交
于点F，判断
与
的数量关系，并说明理由．
18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF 分别与直线a，b 相交于点E，F，点A，B 分
别在直线a，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P 作PM∥a）
（2）当点P 在线段EF 外运动时有两种情况，①如图2 写出∠1，∠2，∠3 之间的关系并给出证明．
②如图3 所示，猜想∠1，∠2，∠3 之间的关系（不要求证明）．
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB
CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
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解决问题：（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出两束光线OB、OC 经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
20．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B 不在同一条直线，
(1)求证：
：
(2)如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究
与
的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点P，
，直接写出
．
21．（2023 春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，
，
，
，直接写出
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的度数．（2）如图2，
，点
为直线
间的一点，
平分
，
平分
，写出
与
之间的关系并说明理由．（3）如图3，
与
相交于点
，点
为
内一点，
平分
，
平分
，若
，
，直接写出
的度数．
22．（2023 春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知
，AB 和CD 都不经
过点P，探索
与
、
的数量关系．
发现：在图1 中，
；如图5
小明是这样证明的：过点Р 作
∴
___________
∵
，
．
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∴
__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2 中，
与
、
的数量关系为_____________________；
②在图3 中，若
，
，则
的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4 中，探究
与
、
的数量关系，并说明理由．
23．（2023 春·山东·七年级专题练习）如图1，直线AB
CD，点P 在两平行线之间，点E 在AB 上，点F
在CD 上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q 在直线AB 与CD 之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说
明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1 的基础上，作P1E 平分∠PEB，P1F 平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
∠P1= （用含x，y 的式子表示）．若P2E 平分∠P1EB，P2F 平分∠P1FD，可得∠P2；P3E 平分∠P2EB，P3F
平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y 的式子表示）
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