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2018 株洲市初中毕业学业考试数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10 小题，每小题3 分，共30
分）
1.
9 的算术平方根是( )
A. 3 B. 9 C. ±3
D. ±9
【答案】A
【解析】解：∵3
2=9，
∴9的算术平方根是3．
故选：A．
根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根.所以结
果必须为正数，由此即可求出9 的算术平方根．
此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．
2.
下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5ab
B. (-ab)
2=a
2b
C. a
2⋅a
4=a
8
D. 2a
6
a
3 =2a
3
【答案】D
【解析】解：A、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、原式=a
2b
2，故本选项错误；
C、原式=a
6，故本选项错误；
D、原式=2a
3，故本选项正确．
故选：D．
根据合比同类项法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则解答．
本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是
解题的关键．
3.
如图，2
5
的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( )
A. 点E 和点FB. 点F 和点G
C. 点F 和点G
D. 点G 和点H
【答案】D
【解析】解：2
5
的倒数是5
2
，
∴5
2
在G 和H 之间，
故选：D．
根据倒数的定义即可判断；
本题考查倒数的定义，数轴等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考
题型．
4.
据资料显示，地球的海洋面积约为360000000 平方千米，请用科学记数法表示地
球海洋面积面积约为多少平方千米( )
A. 36×10
7
B. 3.6×10
8 C. 0.36×10
9D. 3.6×10
9
【答案】B
【解析】解：将360000000 用科学记数法表示为：3.6×10
8．
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故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数.确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中
1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
5.
关于x 的分式方程2
x +
3
x -a =0解为x = 4，则常数a 的值为( )
A. a=1 B. a=2 C. a= 4 D. a=10
【答案】D
【解析】解：把x = 4代入方程2
x +
3
x -a =0，得
2
4 +
3
4 -a =0，
解得a=10．
故选：D．
根据分式方程的解的定义把x = 4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a=-1．
此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
6.
从-5，- 10
3
，-√6，-1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的
概率为( )
A. 2
7
B. 3
7
C. 4
7
D. 5
7
【答案】A
【解析】解：-5，- 10
3
，-√6，-1，0，2，π这七个数中有两个负整数：-5，-1
所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：2
7
故选：A．
七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：2
7
本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件
的概率计算公式是关键．
7.
下列哪个选项中的不等式与不等式5 x>8+2 x组成的不等式组的解集为8
3 < x<5(
)
A. x +5<0
B. 2 x>10
C. 3 x -15<0
D. - x -5>0
【答案】C
【解析】解：5 x>8+2 x，
解得：x> 8
3
，
根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是x<5，
故选：C．
首先计算出不等式5 x>8+2 x的解集，再根据不等式的解集确定方法：大小小大中间
找可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．
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此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，
小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．
8.
已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点
有可能在反比例函数y = a
x
的图象上( )
A. (-1,2)
B. (1,-2)
C. (2,3)
D. (2,-3)
【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴点(2,3)可能在反比例函数y = a
x
的图象上．
故选：C．
根据抛物线的开口方向可得出a>0，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找
出点(2,3)可能在反比例函数y = a
x
的图象上，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，由二次函数图象开
口向上找出a>0是解题的关键．
9.
如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1//l2，过l1上的点
A 作AB⊥l3交l3于点B，其中∠1<30
∘，则下列一定正
确的是( )
A. ∠2>120
∘
B. ∠3<60
∘
C. ∠4 -∠3>90
∘
D. 2∠3>∠4
【答案】D
【解析】解：
∵AB⊥l3，
∴∠ABC =90
∘，
∵∠1<30
∘∴∠ACB =90
∘-∠1>60
∘，
∴∠2<120
∘，
∵直线l1//l2，
∴∠3=∠ABC >60
∘，
∴∠4 -∠3=180
∘-∠3-∠3=180
∘-2∠3<60
∘，
2∠3>∠4，
故选：D．
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根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键．
10. 已知一系列直线y =ak x +b(ak均不相等且不为零，ak同号，k 为大于或等于2 的
整数，b>0)分别与直线y =0相交于一系列点Ak，设Ak的横坐标为xk，则对于式
子ai-a j
xi- x j
(1≤i≤k ,1≤j≤k ,i≠j)，下列一定正确的是( )
A. 大于1
B. 大于0
C. 小于-1
D. 小于0
【答案】B
【解析】解：由题意xi=- b
ai
，x j=- b
a j
，
∴
式子ai-a j
xi- x j
= ai⋅a j
b
>0，
故选：B．
利用待定系数法求出xi，x j即可解决问题；
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
11. 单项式5mn
2的次数______．
【答案】3
【解析】解：单项式5mn
2的次数是：1+2=3．
故答案是：3．
根据单项式次数的定义来求解.单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的
和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
12. 睡眠是评价人类健康水平的一项重要指标，充足的睡眠是青少年健康成长的必要
条件之一，小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三位同学某天的睡眠时间分
别为7.8小时，8.6小时，8.8小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是______．
【答案】8.4小时
【解析】解：根据题意得：(7.8+8.6+8.8)÷3=8.4小时，
则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时，
故答案为：8.4小时
求出已知三个数据的平均数即可．
此题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的定义是解本题的关键．
13. 因式分解：a
2(a-b)- 4(a-b)=
______．
【答案】(a-b)(a-2)(a+2)
【解析】解：a
2(a-b)- 4(a-b)
=(a-b)(a
2- 4)=(a-b)(a-2)(a+2)
，
故答案为：(a-b)(a-2)(a+2)．
先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
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本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．
14. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，
AC =10，P、Q 分别为AO、AD 的中点，则PQ 的长度
为______．
【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC = BD =10，BO = DO = 1
2 BD，
∴OD = 1
2 BD =5，
∵点P、Q 是AO，AD 的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ = 1
2 DO =2.5．
故答案为：2.5．
根据矩形的性质可得AC = BD =10，BO = DO = 1
2 BD =5，再根据三角形中位线定理
可得PQ = 1
2 DO =2.5．
此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且
互相平分．
15. 小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生
日的月数和日数的和为______．
【答案】20
【解析】解：设小强同学生日的月数为x，日数为y，依题意有
{2 x + y = 31
x - y =2，
解得{y = 9
x =11，
11+9=20．
答：小强同学生日的月数和日数的和为20．
故答案为：20．
可设小强同学生日的月数为x，日数为y，根据等量关系：①强同学生日的月数减去日
数为2，②月数的两倍和日数相加为31，列出方程组求解即可．
考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是
解决问题的关键．
16. 如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O
的内接多边形，则∠BOM =______．
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【答案】48
∘
【解析】解：连接OA，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠AOB = 360
∘
5
=72
∘，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM = 360
∘
3
=120
∘，
∴∠BOM =∠AOM -∠AOB = 48
∘，
故答案为：48
∘．
连接OA，分别求出正五边形ABCDE 和正三角形AMN 的中心角，结合图形计算即可．
本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的
关键．
17. 如图，O 为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，
∠OAB =90
∘，点B 的坐标为(0,2√2)，将该三角形沿x
轴向右平移得到Rt △O' A ' B'，此时点B'的坐标为
(2√2,2√2)，则线段OA 在平移过程中扫过部分的图形
面积为______．
【答案】4
【解析】解：∵点B 的坐标为(0,2√2)，将该三角形沿x 轴向右平移得到
Rt △O' A ' B'，此时点B'的坐标为(2√2,2√2)，
∴AA ' = BB' =2√2，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A(√2,√2)，
∴AA '对应的高√2，
∴线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为2√2×√2= 4．
故答案为：4．
利用平移的性质得出AA '的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA '对应的高，再结
合平行四边形面积公式求出即可．
此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移
规律得出对应点坐标是解题关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且
BD =CD，过点A 作AM ⊥BD于点M，过点D
作DN ⊥AB于点N，且DN =3√2，在DB 的延长
线上取一点P，满足∠ABD =∠MAP+∠PAB，
则AP =______．
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【答案】6
【解析】解：∵BD =CD，AB =CD，
∴BD = BA，
又∵AM ⊥BD，DN ⊥AB，
∴DN = AM =3√2，
又∵∠ABD =∠MAP+∠PAB，∠ABD =∠P+∠BAP，
∴∠P =∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP =√2 AM =6，
故答案为：6．
根据BD =CD，AB =CD，可得BD = BA，再根据AM ⊥BD，DN ⊥AB，即可得
到DN = AM =3√2，依据∠ABD =∠MAP+∠PAB，∠ABD =∠P+∠BAP，即可
得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP =√2 AM =6．
本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的
关键是判定△APM是等腰直角三角形．
三、解答题(本大题8 小题，共66 分)
19. 计算：|- 3
2 |+2
-1-3 tan 45
∘
【答案】解：原式= 3
2 + 1
2 -3×1= 3
2 + 1
2 -3=-1．
【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3 个考点.在计算时，
需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
20. 先化简，再求值：x
2+2 x +1
y
⋅(1-
1
x +1 )- x
2
y
，其中x =2，y =√2．
【答案】解：x
2+2 x +1
y
⋅(1-
1
x +1 )- x
2
y
= ( x +1)
2
y
⋅x +1-1
x +1
- x
2
y = x( x +1)
y
- x
2
y = x
y
当x =2，y =√2时，原式= 2
√2 =√2．
【解析】先将括号内的部分通分，相乘后，再计算减法，化简后代入求值．
考查了分式的化简求值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果
分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21. 为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织
本区900 名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A 学校参考教师的考试成绩
绘制成如下统计图和统计表(满分100 分，考试分数均为整数，其中最低分76 分)
分数
人数
85.5以下
10
85.5以上
35
96.5以上
8
(1)求A 学校参加本次考试的教师人数；
(2)若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的
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人数；
(3)求A 学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分
比．
【答案】解：(1)由表格中数据可得：85.5以下10 人，85.5以上35 人，
则A 学校参加本次考试的教师人数为45 人；
(2)由表格中85.5以下10 人，85.5-90.5之间有：15 人；
故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为：10+15
45
×900=500(人)；
(3)由表格中96.5以上8 人，95.5-100.5之间有：9 人，
则96 分的有1 人，可得90.5-95.5之间有：35-15-9=11(人)，
则A 学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比为：
15+1+11
45
×100 % =60 %．
【解析】(1)利用表格中数据分布即可得出A 学校参加本次考试的教师人数；
(2)利用A 学校参加本次考试的教师人数与成绩在90.5分以下的人数，即可估计该区参
考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；
(3)利用表格中数据可得A 学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该
校参考人数的百分比．
此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体和统计表，正确获取正确信息
是解题关键．
22. 如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1//l2//l3，直线l 与直线l1、l2、l3都
垂直，垂足分别为点A、点B 和点C，(高速路右侧边缘)，l2上的点M 位于点A 的
北偏东30
∘方向上，且BM =√3千米，l3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且
cosα = √13
13
，MN =2√13千米，点A 和点N 是城际线L 上的两个相邻的站点．
(1)求l2和l3之间的距离；
(2)若城际火车平均时速为150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到
站点N 需要多少小时？(结果用分数表示)
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【答案】解：(1)过点M 作MD⊥NC于点
D，
∵cosα = √13
13
，MN =2√13千米，
∴cosα = DM
MN = DM
2√13 = √13
13
，
解得：DM =2(km)，
答：l2和l3之间的距离为2km；
(2)∵点M 位于点A 的北偏东30
∘方向上，且BM =√3千米，
∴tan30
∘= BM
AB = √3
AB = √3
3
，
解得：AB =3(km)，
可得：AC =3+2=5(km)，
∵MN =2√13km，DM =2km，
∴DN =√(2√13)
2-2
2= 4√3(km)
，
则NC = DN + BM =5√3(km)，
∴AN =√A C
2+C N
2=√(5√3)
2+5
2=10(km)
，
∵城际火车平均时速为150 千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要10
150 = 1
15
小时．
【解析】(1)直接利用锐角三角函数关系得出DM 的长即可得出答案；
(2)利用tan30
∘= BM
AB = √3
AB = √3
3
，得出AB 的长，进而利用勾股定理得出DN 的长，
进而得出AN 的长，即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN 的长是解题关键．
23. 如图，在Rt △ABM和Rt △ADN的斜边分别为正方形
的边AB 和AD，其中AM = AN．
(1)求证：Rt △ABM≌Rt △∧¿；
(2)线段MN 与线段AD 相交于T，若AT = 1
4 AD，求
tan∠ABM的值．
【答案】解：(1)∵AD = AB，AM = AN，∠AMB =∠∧=90
∘
∴Rt △ABM≌Rt △∧( HL)．
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(2)由Rt △ABM≌Rt △∧¿易得：∠DAN =∠BAM，DN = BM
∵∠BAM +∠DAM =90
∘；∠DAN +∠ADN =90
∘
∴∠DAM =∠∧¿∴ND // AM∴△DNT∽△AMT
∴AM
DN = DT
AT ∵AT = 1
4 AD，
∴AM
DN = 1
3∵Rt △ABM∴tan ∠ABM = AM
BM = AM
DN = 1
3
．
【解析】(1)利用HL 证明即可；
(2)想办法证明△DNT∽△AMT，可得AM
DN = DT
AT
由AT = 1
4 AD，推出AM
DN = 1
3
，在
Rt △ABM中，tan ∠ABM = AM
BM = AM
DN = 1
3
．
本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直
角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图已知函数y = k
x (k >0, x>0)的图象与一次函数
y =mx +5(m<0)的图象相交不同的点A、B，过点
A 作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A 的横坐
标为x0，△AOD的面积为2．
(1)求k 的值及x0= 4时m 的值；
(2)记[ x ]表示为不超过x 的最大整数，例如：
[1,4 ]=1，[2]=2，设t =OD⋅DC，若- 3
2 <m<- 5
4
，
求[m
2⋅t ]值．
【答案】解：(1)设A( x0, y0)，则OD = x0，AD = y0，
∴S△AOD= 1
2 OD⋅AD = 1
2 x0 y0=2，
∴k = x0 y0= 4；
当x0= 4时，y0=1，
∴A(4,1)，
代入y =mx +5中得4 m+5=1，m=-1；
(2)∵{
y = 4
x
y =mx +5
，
4
x =mx +5，
m x
2+5 x - 4 =0，
∵A的横坐标为x0，
∴m x0
2+5 x0= 4，
当y =0时，mx +5=0，
x =- 5
m
，
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∵OC =- 5
m
，OD = x0，
∴m
2⋅t =m
2⋅(OD⋅DC )
，
=m
2⋅x0(- 5
m - x0)，
=m(-5 x0-m x0
2)，
=- 4 m，
∵- 3
2 <m<- 5
4
，
∴5<- 4 m<6，
∴[m
2⋅t ]=5．
【解析】(1)设A( x0, y0)，可表示出△AOD的面积，再结合x0 y0=k可求得k 的值，
根据A 的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m 的值；
(2)先根据一次函数与x 轴的交点确定OC 的长，表示DC 的长，从而可以表示t，根据
A 的横坐标为x0，即x0 满足4
x =mx +5，可得：m x0
2+5 x0= 4，再根据m 的取值计算
m
2⋅t，最后利用新定义可得结论．
本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一元二
次方程解的定义及反比例函数k 的几何意义，有难度，综合性较强，第2 问利用方程
的解得出m x0
2+5 x0= 4是关键．
25. 如图，已知AB 为⊙O的直径，AB =8，点C 和点D 是⊙O上关于直线AB 对称的
两个点，连接OC、AC，且∠BOC <90
∘，直线BC 和直线AD 相交于点E，过点C
作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且
∠GAF =∠GCE．
(1)求证：直线CG 为⊙O的切线；
(2)若点H 为线段OB 上一点，连接CH，满足CB =CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH + HC的最大值．
【答案】解：(1)由题意可知：∠CAB =∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB =90
∘∵OA =OC，
∴∠CAB =∠OCA，
∴∠OCA +∠OCB =90
∘，
∵∠GAF =∠GCE，
∴∠GCE +∠OCB =∠OCA +∠OCB =90
∘，
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∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG 是⊙O的切线；
(2)①∵CB =CH，
∴∠CBH =∠CHB，
∵OB =OC，
∴∠CBH =∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：BC
OC = HB
BC
∵AB =8，
∴BC
2= HB⋅OC = 4 HB，
∴HB = BC
2
4
，
∴OH =OB - HB = 4 - BC
2
4 ∵CB =CH，
∴OH + HC = 4 - BC
2
4
+ BC，
当∠BOC =90
∘，
此时BC = 4√2
∵∠BOC <90
∘，
∴0<BC <4√2，
令BC = x
∴OH + HC =- 1
4 ( x -2)
2+5当x =2时，
∴OH + HC可取得最大值，最大值为5
【解析】(1)由题意可知：∠CAB =∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB =∠OCA，
所以∠OCA =∠GCE，从而可证明直线CG 是⊙O的切线；
(2)①由于CB =CH，所以∠CBH =∠CHB，易证∠CBH =∠OCB，从而可证明
△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：BC
OC = HB
BC
，所以HB = BC
2
4
，由于BC = HC，所以
OH + HC = 4 - BC
2
4
+ BC，利用二次函数的性质即可求出OH + HC的最大值．
本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判
定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
26. 如图，已知二次函数y =a x
2-5√3 x +c(a>0)
的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A( x1,0)，
B( x2,0)，且x1< x2，
(1)若抛物线的对称轴为x =√3求的a 值；
(2)若a=15，求c 的取值范围；
(3)若该抛物线与y 轴相交于点D，连接BD，且
∠OBD =60
∘，抛物线的对称轴l 与x 轴相交点
E，点F 是直线l 上的一点，点F 的纵坐标为
3+ 1
2a
，连接AF，满足∠ADB =∠AFE，求该
二次函数的解析式．
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【答案】解：(1)抛物线的对称轴是：x =- b
2a =--5√3
2a
=√3，解得：a= 5
2
；
(2)由题意得二次函数解析式为：y =15 x
2-5√3 x +c，
∵二次函数与x 轴有两个交点，
∴△>0，
∴△=b
2- 4 ac =(-5√3)
2- 4×15c
，
∴c< 5
4
；
(3)∵∠BOD =90
∘，∠DBO =60
∘，
∴tan 60
∘= OD
OB = c
OB =√3，
∴OB = √3
3 c，
∴B( √3
3 c ,0)，
把B( √3
3 c ,0)代入y =a x
2-5√3 x +c中得：ac
2
3 -5√3⋅√3c
3
+c =0，
ac
2
3 -5c +c =0，
∵c≠0，
∴ac =12，
∴c = 12
a
，
把c = 12
a
代入y =a x
2-5√3 x +c中得：
y =a( x
2- 5√3 x
a
+ 12
a
2 )=a( x - 4√3
a
)( x - √3
a )，
∴x1= 4√3
a
，x2= √3
a
，
∴A( √3
a ,0)，B( 4√3
a
,0)，D(0, 12
a )，
∴AB = 4√3
a
- √3
a = 3√3
a
，AE = 3√3
2a
，
∵F的纵坐标为3+ 1
2a
，
∴F( 5√3
2a , 6a+1
2a
)，
过点A 作AG⊥DB于G，
∴BG = 1
2 AB = AE = 3√3
2a
，AG = 9
2a
，
第14页，共14页
DG = DB - BG = 8√3
a
- 3√3
2a = 13√3
2a
，
∵∠ADB =∠AFE，∠AGD =∠FEA =90
∘，
∴△ADG∽△AFE，
∴AE
AG = FE
DG
，
∴
3√3
2a
9
2a
=
6a+1
2a
13√3
2a
，
∴a=2，c =6，
∴y =2 x
2-5√3 x +6．
【解析】(1)根据抛物线的对称轴公式代入可得a 的值；
(2)根据已知得：抛物线与x 轴有两个交点，则△>0，列不等式可得c 的取值范围；
(3)根据60
∘的正切表示点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式中得：ac =12，
则c = 12
a
，从而得A 和B 的坐标，表示F 的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据
已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a 和c 的值．
本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：代入法的运用，根与判别式的关系，对称
轴公式，解方程，三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，第3 问有难度，利用
特殊角的三角函数表示A、B 两点的坐标是关键，综合性较强．
