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专题03 基本不等式
一、核心体系
基本不等式
{
条件：一正、二定、三相等
应用{
正用a+b
2
≥√ab
逆用√ab≤a+b
2
变形用{
ab≤( a+b
2
)
2
a
2+b
2≥2ab
¿
二、关键能力
探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式
求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算
方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的
数学运算能力．
三、教学建议
基本不等式是解决问题的基本工具。强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的
命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．
抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
四、高频考点
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：
．
(2)等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
(3)其中
称为正数a，b 的算术平均数，
称为正数
的几何平均数．
若
时,
,当且仅当
时等号成
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：
．当且仅当
时取等号．
(2
，当且仅当
时取等号．
1
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(3
，当且仅当
时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知
，则
(1)如果积
是定值
，那么当且仅当
时，
有最小值是
(简记：积定和最
小)．
(2)如果和
是定值
，那么当且仅当
时，
有最大值是
(简记：和定积最
大)．
五、重点题型
题型一、基本不等式求最值
例1-1．设
为正实数，满足
，则
的最小值是
例1-2．已知
，
，且
，则
的最小值为___________.
例1-3．已知
，且
，则
的最小值是
_________.
技巧训练题组一（消元法）
1．已知
，
，则
的（ ）
A．最大值是
B．最大值是
C．最小值是
D．最小值是
2
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2．已知正数
，
满足
，当
______时，
取到最大值为______．
技巧训练题组二、（“1”的活用）
1．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．5
C．
D．
2．已知正实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．25
B．18
C．16
D．8
3．（多选）已知
，
，且
，则
可能取的值有（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．已知正数a，b 满足
，则
的最小值是___________.
5．已知正数
满足
，则
的最小值为___________．
技巧训练题组三、（配凑积、和）
1．（多选）若x＞1，y＞2，且满足xy
2
﹣x＝y，则
的值可以为（ ）
A．
B．3
C．4
D．
3
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2．若实数
、
满足
，则
的最小值为___________.
3．已知正实数
满足
，则
的最小值是________．
题型二、多次使用基本不等式
例2．（2021·天津高考真题）若
，则
的最小值为
____________．
训练题组
1．已知
都为正实数，则
的最小值为___________．
2．设
，那么
的最小值是___________.
3．已知
，则
的最小值为__________．
题型三、基本不等式功能：创建不等关系
例3-1．已知正实数
，
满足
，则
的最大值等于______．
例3-2．已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0 ，则a 的取值范围是
4
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训练题组
1.已知
，则
的取值范围是
2.已知实数
满足
，则
的最大值为
题型四、比较式的大小
例4．（多选）【2022 年新高考2 卷】若x，y 满足x
2+ y
2−xy =1，则
（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥−2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
训练题组
1．（多选）（2023·全国高三其他模拟）已知
，
，
，且
，则下列判断
正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
2．（多选）（2022·全国高三二模）已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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3．（多选）（2023·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数
、
满足
，则下
列不等式中成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2022·江苏南通市·高三一模）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2022·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2022·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知
，且
，则下列不等式正确的（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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达标测试
一、单项选择题
1．【2021 年乙卷文科】下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A．(－2,0)
B．(－∞，－2) (1
∪
，＋∞)
C．(－2,1)
D．(－∞，－4) (2
∪
，＋∞)
3．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy 的最大值为( )
A．
B．
C．1
D．2
4．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
7
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5．（2023·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知
，
，
，
，
且
，则下列不等式中，成立的个数有①
，②
，③
，
④
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.(2022·福建龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y 的最小值为( )
A.3
B.5
C.7
D.9
二、多项选择题
7．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当
，
时，下列不等式中恒成立的有（
）
A．
B．
C．
D．
8．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9. (2022·无锡期末)已知eb<ea<1，则下列结论正确的是( )
A. a2<b2
B. ＋>2
C. ab>b2
D. lga2<lg(ab)
10. (2021·扬州模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则下列说法中正确的是( )
A. xy 的最大值为
B. 4x2＋y2的最大值为2
C. 4x＋2y的最小值为4
D. ＋的最小值为4
11．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 春·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
8
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A．若
，则函数
的最小值为
B．若实数a，b 满足
，且
，则
的最小值是3
C．若实数a，b 满足
，且
，则
的最大值是4
D．若实数a，b 满足
，且
，则
的最小值是1
三、填空题
13．若正数
满足
，则
的最大值是________．
14．已知
，若实数
满足
，则
的最小值
是 ．
四、解答题
15．运货卡车以每小时
千米的速度匀速行驶
千米，按交通法规限制
(单
位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2 元，而汽车每小时耗油(2＋
)升，司机的工
资是每小时
元．
(1)求这次行车总费用
关于
的表达式；
(2)当
为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
9
