极化恒等式与等和线
【知识拓展】
1.极化恒等式:a·b＝1
4[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的1
4 .
(2)模式:在平行四边形ABCD 中,O 是对角线交点,则:
①⃗AB·⃗AD＝1
4(|⃗AC|2－|⃗BD|2)(平行四边形模式);
②⃗AB·⃗AD＝|⃗AO|2－1
4 |⃗BD|2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP＝λ⃗OA＋μ⃗OB(λ,μ∈R),若λ＋μ＝1,则A,B,P
三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底⃗OA,⃗OB 及任一向量⃗OP,且⃗OP＝λ⃗OA＋μ⃗OB(λ,μ∈R),若点P 在直线AB 上或在平
行于AB 的直线上,且k＝|OP|
|OF | ＝|O B1|
|OB| ＝|O A1|
|OA | ,则λ＋μ＝k(定值),反之也成立,我们把直线AB
以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB 时,k＝1;
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时,k∈(1,＋∞);
(4)当等和线过O 点时,k＝0.
【类型突破】
类型一 利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,则⃗EC·⃗ED＝ .
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(－12,0),B(0,6),点P 在圆O:x2＋y2＝50 上.若⃗PA·⃗PB
≤20,则点P 横坐标的取值范围是 .
答案 (1)3 (2)[－5√2,1]
解析 (1)法一(公式法) 在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,且AB＝2,
所以|⃗EC|＝|⃗ED|＝√5,⃗
EC 与⃗ED的夹角为∠DEC,
且cos∠DEC＝5＋5−4
2×5
＝3
5,
所以⃗EC·⃗ED＝√5×√5× 3
5＝3.
法二(基底法) 在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,且AB＝2,
所以⃗EC·⃗ED＝(⃗EB＋⃗BC)·(⃗EA ＋⃗AD)
＝(⃗EB＋⃗BC)·(⃗BC －⃗EB)＝|⃗BC|2－|⃗EB|2
＝4－1＝3.
法三(坐标法) 以A 为坐标原点,⃗AB,⃗AD的方向分别为x,y 轴的正方向,
建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,2),E(1,0),C(2,2),
所以⃗EC＝(1,2),⃗ED＝(－1,2),
所以⃗EC·⃗ED＝1×(－1)＋2×2＝3.
法四(极化恒等式) 设CD 的中点为F,
则EF＝BC＝2,
由极化恒等式得⃗EC·⃗ED＝|⃗EF|2－1
4|⃗CD|2＝22－1
4×22＝3.
(2)法一(坐标法) 设P(x,y),
则⃗PA＝(－12－x,－y),⃗
PB＝(－x,6－y),由⃗PA·⃗PB≤20,
得(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20,
即(x＋6)2＋(y－3)2≤65,
所以点P 为圆(x＋6)2＋(y－3)2≤65 上或其内部一点,
又点P 在圆x2＋y2＝50 上,
联立得{
x
2＋y
2＝50,
( x＋6)
2＋( y −3)
2＝65,
解得{
x＝1,
y ＝7, 或{
x＝−5,
y ＝−5,
即P 为圆x2＋y2＝50 的劣弧MN 上的一点(如图所示虚线部分).
易知－5√2≤x≤1.
法二(极化恒等式) 设AB 的中点为E,则E(－6,3),
由极化恒等式知⃗PA·⃗PB＝⃗PE
2－1
4⃗AB
2＝⃗PE
2－45≤20,即⃗PE
2≤65,
所以点P 在以E 为圆心,以√65为半径的圆上或其内部,
即圆E:(x＋6)2＋(y－3)2＝65.
联立圆O:x2＋y2＝50 与圆E:(x＋6)2＋(y－3)2＝65 得x＝1,y＝7 或x＝－5,y＝－5.
易求得圆O 与x 轴的交点为(－5√2,0),(5√2,0),所以点P 横坐标的取值范围是[－5√2,1].
规律方法 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点,连接向量的起点与终点;
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.如需进一步求数量积
的范围,可以用点到直线的距离最小,或用三角形两边之和大于第三边,或用基本不等式等求得中线
长的最值(范围).
注:对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量,再利用极化恒等式.
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC 是边长为4 的等边三角形,P 为△ABC 所在平面内一点,则⃗PA
·(⃗PB＋⃗PC)的最小值为 .
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且OA＝3,OC＝5.若⃗AB·⃗AD＝－
7,则⃗BC·⃗DC＝ .
答案 (1)－6 (2)9
解析 (1)如图,取BC 中点D,
连接AD,PD.
可知AD＝2√3,由平行四边形法则知⃗PB＋⃗PC＝2⃗PD,
则⃗PA·(⃗PB＋⃗PC)＝2⃗PA·⃗PD.
在△PAD 中,取AD 的中点E,连接PE,
则AE＝√3,由极化恒等式得,
2⃗PA·⃗PD＝2(⃗PE
2－⃗AE
2)＝2(⃗PE
2－3).
因为P 为△ABC 所在平面内一点,
所以当点P 与点E 重合时,即PE＝0 时,有最小值,最小值为－6.
(2)法一 由极化恒等式可得⃗AB·⃗AD＝⃗OA
2－⃗BD
2
4 ＝－7,解得|⃗BD|＝8,
故由极化恒等式可得⃗BC·⃗DC ＝⃗OC
2－⃗BD
2
4 ＝9.
法二 在平面四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且OA＝3,OC＝5,
∴⃗OB＋⃗OD＝0.⃗
AB·⃗AD＝－7,
则⃗AB·⃗AD＝(⃗AO＋⃗OB)·(⃗AO＋⃗OD)
＝⃗AO
2＋⃗AO·⃗OD＋⃗AO·⃗OB＋⃗OB·⃗OD
＝⃗AO
2－⃗OA·(⃗OD＋⃗OB)－⃗OB
2
＝32－⃗OB
2＝－7,
∴⃗OB
2＝16,
∴|⃗OB|＝|⃗OD|＝4,
∴⃗BC·⃗DC＝(⃗BO＋⃗OC)·(⃗DO＋⃗OC)
＝⃗BO·⃗DO＋⃗BO·⃗OC ＋⃗DO·⃗OC ＋⃗OC
2
＝－⃗BO
2＋⃗OC·[－(⃗OB＋⃗OD)]＋⃗OC
2
＝－42＋0＋52＝9.
类型二 利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,E 为线段AO 的中点.若⃗BE＝λ⃗BA＋μ⃗BD
(λ,μ∈R),则λ＋μ＝( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
(2)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD＝1
2AB,BE＝2
3BC.若⃗DE＝λ1⃗AB＋λ2⃗AC(λ1,λ2为实
数),则λ1＋λ2的值为 .
答案 (1)B (2)1
2
解析 (1)法一 ∵E 为线段AO 的中点,
∴⃗BE＝1
2(⃗BA ＋⃗BO)＝1
2(⃗BA ＋1
2⃗BD)
＝1
2⃗BA ＋1
4⃗BD＝λ⃗BA＋μ⃗BD,
∴λ＝1
2,μ＝1
4,则λ＋μ＝3
4.
法二(等和线法)
如图,AD 为⃗BA,⃗BD为基底值是1 的等和线,过E 作AD 的平行线,
设λ＋μ＝k,
则k＝|BE|
|BF | .
由图易知|BE|
|BF | ＝3
4 ,故选B.
(2)法一 由题意作图如图.
∵在△ABC 中,⃗DE＝⃗DB＋⃗BE＝1
2⃗AB＋2
3⃗BC
＝1
2⃗AB＋2
3(⃗AC －⃗AB)
＝－1
6⃗AB＋2
3⃗AC＝λ1⃗AB＋λ2⃗AC,
∴λ1＝－1
6,λ2＝2
3.故λ1＋λ2＝1
2.
法二(利用等和线)
如图,过点A 作⃗AF ＝⃗DE,连接DF.
设AF 与BC 的延长线交于点H,
如图,BH 为值是1 的等和线,
设λ1＋λ2＝k,
则k＝|⃗AF |
|⃗AH | ,
由图易知,| AF |
| AH | ＝1
2.因此λ1＋λ2＝1
2.
规律方法 利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1 的等和线;
(2)平移该线,作出满足条件的等和线;
(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值.
训练2 在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,⃗AN＝λ⃗AB＋μ⃗AC,则λ＋μ 的值为(
)
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
答案 A
解析 法一 设⃗BM＝t⃗BC,
则⃗AN ＝1
2⃗AM ＝1
2(⃗AB＋⃗BM)＝1
2⃗AB＋t
2⃗BC ＝1
2⃗AB＋t
2(⃗AC －⃗AB)
＝(
1
2 −t
2)⃗AB＋t
2⃗AC,
∴λ＝1
2 －t
2,μ＝t
2,∴λ＋μ＝1
2.
法二(等和线法) 如图,BC 为以⃗AB,⃗AC为基底值是1 的等和线,过N 作BC 的平行线,设λ＋μ＝k,
则k＝|⃗AN |
|⃗AM | .
由图易知,|⃗AN |
|⃗AM |
＝1
2,故选A.
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b 满足|a＋b|＝√10,|a－b|＝√6,则a·b＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 由极化恒等式得a·b＝1
4 [(a＋b)2－(a－b)2]＝1
4(|a＋b|2－|a－b|2)＝1
4×(10－6)＝1.
2.如图,在四边形MNPQ 中,若⃗NO＝⃗OQ,|⃗OM|＝6,|⃗OP|＝10,⃗MN·⃗MQ＝－28,则⃗NP·⃗QP＝( )
A.64
B.42
C.36
D.28
答案 C
解析 由⃗MN·⃗MQ＝⃗MO
2－⃗ON
2
＝36－⃗ON
2＝－28,
解得⃗ON
2＝64,所以⃗OQ
2＝64,
所以⃗NP·⃗QP＝⃗PQ·⃗PN ＝⃗PO
2－⃗OQ
2＝100－64＝36.
3.(2025·泉州质检)已知半径为2 的圆O 上有三点A,B,C,满足⃗OA ＋⃗AB＋⃗AC＝0,点P 是圆内一点,
则⃗PA·⃗PO＋⃗PB·⃗PC的取值范围是( )
A.[－4,14)
B.(－4,14]
C.[－4,4)
D.(－4,4]
答案 A
解析 由⃗OA ＋⃗AB＋⃗AC＝0 得⃗AB＋⃗AC ＝⃗AO,
在平行四边形ABOC 中,OB＝OC,故易知平行四边形ABOC 是菱形,且BC＝2√3.
设菱形ABOC 对角线的交点为E,
由极化恒等式得⃗PA·⃗PO＝⃗PE
2－1
4⃗AO
2＝⃗PE
2－1,⃗
PB·⃗PC ＝⃗PE
2－1
4⃗BC
2＝⃗PE
2－3,
所以⃗PA·⃗PO＋⃗PB·⃗PC＝2⃗PE
2－4.
因为P 是圆内一点,所以0≤|⃗PE|<3,
所以－4≤2⃗PE
2－4<14,
即－4≤⃗PA·⃗PO＋⃗PB·⃗PC<14.故选A.
4.(2025·沧州模拟)如图,△BCD 与△ABC 的面积之比为2,点P 是区域ABDC 内(含边界)任意一点,
且⃗AP＝λ⃗AB＋μ⃗AC(λ,μ∈R),则λ＋μ 的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[0,2]
C.[0,3]
D.[0,4]
答案 C
解析 过点P 作GH∥BC,分别交AC,AB 的延长线于点G,H,过点D 作C'B'∥GH,分别交AC,AB
的延长线于点C',B',则⃗AP＝x⃗AG＋y⃗AH,且x＋y＝1.
当点P 位于点D 处时,G,H 分别位于C',B'处,
∵△BCD 与△ABC 的面积之比为2,
∴AC'＝3AC,AB'＝3AB,
此时⃗AG＝⃗AC ',⃗AH ＝⃗AB',
∴⃗AP＝x⃗AG＋y⃗AH＝x⃗AC '＋y⃗AB'
＝x·3⃗AC＋y·3⃗AB＝μ⃗AC＋λ⃗AB,
∴μ＝3x,λ＝3y,即λ＋μ＝3x＋3y＝3.
当点P 位于点A 处时,显然有λ＋μ＝0,
∴λ＋μ 的取值范围是[0,3].故选C.
5.(2025·广州调研)如图,在边长为2 的正六边形ABCDEF 中,动圆Q 的半径为1,圆心Q 在线段
CD(含端点)上运动,P 是圆Q 上及内部的动点.若向量⃗AP＝m⃗AB＋n⃗AF(m,n∈R),则m＋n 的取值范
围是( )
A.(1,2]
B.[5,6]
C.[2,5]
D.[3,5]
答案 C
解析 连接BF,过线段BC 的中点P1作BF 的平行线,交AB 的延长线于点G,
分别以D,C 为圆心,1 为半径作圆,
过AB 延长线上点H 作平行于BF 的直线HP2,且与圆D 相切于点P2,连接AP1,AP2,如图所示.
设⃗A P1＝m⃗AB＋n⃗AF,
由等和线定理可知m＋n＝AG
AB ＝2 AB
AB ＝2,
此时m＋n 取最小值,点P 位于点P1处;
同理,设⃗A P2＝m⃗AB＋n⃗AF,
由等和线定理可知m＋n＝AH
AB ＝5,
此时m＋n 取最大值,点P 位于点P2处.
综上可知,m＋n∈[2,5].
二、多选题
6.在△ABC 中,A＝30°,BC＝2,则⃗AB·⃗AC的值可能是( )
A.0
B.2
C.4
D.13
答案 BC
解析 因为A＝30°,BC＝2,所以
BC
sin A ＝4,
则△ABC 外接圆的半径为2.
如图所示,圆O 的半径为2,BC 是圆O 的一条弦,点A 在圆O 的优弧´BC上,D 是线段BC 的中点,连
接DO 并延长交圆O 于点E.
因为⃗AB＝⃗AD＋⃗DB,⃗AC ＝⃗AD＋⃗DC ＝⃗AD－⃗DB,
所以⃗AB·⃗AC ＝⃗AD
2－⃗DB
2＝⃗AD
2－1.
因为点A 在圆O 的优弧´BC上,
所以1<|⃗AD|≤|⃗DE|＝2＋√3,
所以⃗AB·⃗AC的取值范围是(0,6＋4√3].结合选项可得选BC.
7.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得
(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b⇔a·b＝
(a＋b)
2−(a−b)
2
4
,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下
将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中,BD＝8,⃗AB·⃗AD＝48,E 为BD
中点,且⃗EC＝2⃗AE,则( )
A.AE＝8
B.AE＝4
C.⃗CB·⃗CD＝240
D.⃗CB·⃗CD＝120
答案 AC
解析 因为⃗AB·⃗AD＝48,BD＝8,
由极化恒等式得⃗
AB·⃗AD＝(⃗AB＋⃗AD)
2−(⃗AB−⃗AD)
2
4
＝(2⃗AE)
2−⃗BD
2
4
＝AE2－B D
2
4
＝AE2－16＝48,所以AE＝8,
又2⃗AE＝⃗EC,所以EC＝2AE＝16,
由极化恒等式得⃗
CB·⃗CD＝(⃗CB＋⃗CD)
2−(⃗CB−⃗CD)
2
4
＝(2⃗CE)
2−⃗DB
2
4
＝CE2－D B
2
4
＝256－16＝240.
三、填空题
8.给定两个长度为1 的平面向量⃗OA和⃗OB,它们的夹角为2π
3 ,如图所示,点C 在以O 为圆心的弧´AB
上运动,若⃗OC＝x⃗OA＋y⃗OB(x,y∈R),则x＋y 的最大值是 .
答案 2
解析 (等和线法)如图所示,设x＋y＝k,则直线AB 为以⃗OB,⃗OA为基底k＝1 的等和线,所有与直线
AB 平行的直线中,切线离圆心O 最远,即此时k 取得最大值,易知OE⊥AB,
因为OA＝1,∠AOB＝2π
3 ,
所以OE＝1
2,则k＝
| DO|
|OE| ＝1
1
2
＝2,
即x＋y 的最大值为2.
9.(2025·长沙模拟)已知点C 为扇形AOB 的弧´AB上任意一点,且∠AOB＝60°,若⃗OC＝λ⃗OA＋μ⃗OB
(λ,μ∈R),则λ＋μ 的取值范围是 .
答案 [1, 2√3
3 ]
解析 法一 设λ＋μ＝k,
如图,当C 位于点A 或点B 时,A,B,C 三点共线,所以k＝λ＋μ＝1;
由等和线定理可知,当点C 运动到´AB的中点时,λ＋μ 最大,k＝λ＋μ＝
1
√3
2
＝2√3
3 ,
所以λ＋μ∈[1, 2√3
3 ].
法二 设圆O 的半径为1,由已知可设O 为坐标原点,OB 所在直线为x 轴,过O 作x 轴的垂线为y
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
其中A(
1
2 , √3
2 ),B(1,0),C(cos θ,sin θ),
其中∠BOC＝θ,θ∈[0, π
3].
由⃗OC＝λ⃗OA＋μ⃗OB(λ,μ∈R),可得(cos θ,sin θ)＝λ(
1
2 , √3
2 )＋μ(1,0),
整理得1
2λ＋μ＝cos θ,√3
2 λ＝sin θ,
解得λ＝2sin θ
√3
,μ＝cos θ－sin θ
√3
,
则λ＋μ＝2sin θ
√3
＋cos θ－sin θ
√3
＝√3
3 sin θ＋cos θ＝2√3
3 sin(θ＋π
3).
又θ∈[0, π
3],所以θ＋π
3 ∈[
π
3 , 2π
3 ],
sin(θ＋π
3)∈[
√3
2 ,1],
当且仅当θ＝π
6 时取到最大值1,
当θ＝0 或θ＝π
3 时,取到最小值√3
2 ,
所以λ＋μ∈[1, 2√3
3 ].
10.(2025·安庆调研)四边形ABCD 中,点E,F 分别是AB,CD 的中点,AB＝2,CD＝2√2,EF＝1,点P
满足⃗PA·⃗PB＝0,则⃗PC·⃗PD的最大值为 .
答案 2
解析 因为⃗PC ＝⃗PF ＋⃗FC,⃗PD＝⃗PF ＋⃗FD,
又点F 分别是CD 的中点,
所以⃗FD＝－⃗FC,所以⃗PD＝⃗PF －⃗FC,⃗PC·⃗PD＝(⃗PF ＋⃗FC)·(⃗PF －⃗FC)＝⃗PF
2－⃗FC
2＝|⃗PF|2－
(
1
2⃗CD)
2
＝|⃗PF|2－2,
又⃗PA·⃗PB＝0,所以PA⊥PB,
又点E 是AB 的中点,
所以PE＝1
2AB＝1,
因为⃗EF ＝⃗PF －⃗PE,
所以⃗EF
2＝(⃗PF －⃗PE)2＝⃗PF
2－2⃗PF·⃗PE＋⃗PE
2,
即⃗PF
2＝2⃗PF·⃗PE,
设<⃗PF,⃗PE>＝θ,|⃗PF|＝x,
则x2＝2×1×x×cos θ,所以x＝2cos θ,
所以⃗PC·⃗PD＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ,
所以当2θ＝0 即θ＝0 时,cos 2θ 有最大值1,
即⃗PC·⃗PD有最大值为2
