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重难点培优04 数列中的新文化、新定义问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................2
题型一 杨辉三角与数列（★★★★★）....................................................................................................2
题型二 裴波那契数列（★★★★★）........................................................................................................5
题型三 n 阶数列（★★★★★）.................................................................................................................6
题型四 数列中其他新文化问题（★★★★★）........................................................................................8
题型五 数列其他新概念定义（★★★★★）............................................................................................9
题型六 数列其他新性质定义（★★★★★）..........................................................................................11
题型七 数列其他新运算定义（★★★★★）..........................................................................................12
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................14
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................14
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................20
一、斐波那契数列
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。
2、斐波那契数列的递推公式
*)
3
(
F
F
F
1
F
F
1
2
2
1
N
n
n
n
n
n
，
递推公式
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n 项和Sn）
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
二、与数列有关的新定义问题的策略
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情
景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到
灵活解题的目的.
2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求
“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
题型一 杨辉三角与数列
【技巧通法·提分快招】
1、第二层是自然数列
2、第三层是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一层的数字之和是一个2 倍增长的数列
1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数
字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第
项为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·海南·月考）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列
且记该数列前
项和为
，设
，将数列
中的整数项依次取出组成新的数列记为
，则
的值为（ ）
A．24
B．26
C．29
D．36
3．（2024·福建宁德·模拟预测）（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1
行开始，第n 行从左至右的数字之和记为
，如
的前
项和记为
，依
次去掉每一行中所有的1 构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为
，
的前
项
和记为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的前
项和
C．
D．
4．我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1 的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，
5，10，10，5，…，记作数列
，若数列
的前n 项和为
，则
．
5．如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第
行共有
个数，且该行的第一个数和最后一个数都是
，中
间任意一个数都等于第
行与之相邻的两个数的和，设
，
，
，
分别表示第
行
的第一个数，第二个数，
，第
个数，求
，（
且
）的通项公式.
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
…………………………
题型二 裴波那契数列
【技巧通法·提分快招】
1、数列表示
（1）逐项罗列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，….
（2）递推公式：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3).
（3）通项公式：an＝1
❑√5［(1+ ❑√5
2
)n－(1－❑√5
2
)n］.
2、常考性质
性质1.前n 项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝an＋2－1.
性质2.奇数项和：a1＋a3＋…＋a2n－1＝a2n；偶数项和：a2＋a4＋…＋a2n＝a2n＋1－1.
性质3.平方性质：an
2＝anan＋1－anan－1；平方和性质：a1
2＋a2
2＋…＋an
2＝anan＋1.
性质4.中项性质：anan＋2－an+1
2 ＝(－1)n＋1；3an＝an－2＋an＋2.
性质5.余数列周期性：
被2 除的余数列周期为3：1，1，0，…；
被3 除的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…；
被4 除的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，….
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多
斐波
・
那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，
在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：
，
，记此数
列为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列
为“斐波那契数列”，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．1
D．2
3．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）（多选题）1202 年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契
数列1，1，2，3，5，8，13，21，
，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两
项的和.记
为该数列的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
为奇数
C．
D．
4．（2024·山东·模拟预测）（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样
的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个
数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用
表示斐
波那契数列的第
项，则数列
满足：
，
.则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河南·二模）数列
称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱
昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，
满足
，则数55 是该数列的第 项；
是斐
波那契数列的第 项.
6．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称
为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列
可
以用如下方法定义：
，则
的个位数字是 ．
题型三 n 阶数列
1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列
从第二项
开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称
为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦
可定义一阶等比数列，即一阶等比数列
满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设
数列
是一阶等比数列，
，则
；
．
2．对于数列
，记
，对于
，记
，规定：
，
，称
为数列
的
阶差数列．若
的一阶差数列为等比数列，
，
，
，
的二阶差数列为常数列，常数为4，
，
，则数列
的通项公式为
，数列
的前
项和为 ．
3．设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
.
(1)分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；
(2)若某21 阶“期待数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记
阶“期待数列”的前
项和为
，试证：
.
4．对于给定的数列
，令
，则数列
称为
的一阶和数列，再令
，则数列
是
的二阶和数列，以此类推，可得
的p 阶和数列．
(1)若
的二阶和数列是等比数列，且
，
，
，
，求
；
(2)若
，求
的二阶和数列的前n 项和；
(3)若
是首项为1 的等差数列，
是
的一阶和数列，且
，
，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时
的公差．
5．（24-25 高三上·山西吕梁·月考）对于给定的数列
以及正整数
，若
，使得
成
立，则称
为“
阶可分拆数列”.
(1)设
，证明：
为“3 阶可分拆数列”；
(2)设
的前
项和为
，若
为“1 阶可分拆数列”，求实数
的值；
(3)设
，是否存在
，使得
为“
阶可分拆数列”？若存在，请求出所有
的值；若不
存在，请说明理由.
题型四 数列中其他新文化问题
【技巧通法·提分快招】
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、
雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、
雨水、清明日影长之和为36 尺，前八个节气日影长之和为92 尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
2．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，
如
我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆
垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1 个球，下一层3 个球，再下一层6 个
球，……）．若一“落一形”三角锥垛有20 层，则该堆垛总共球的个数为（ ）
A．1540 个
B．1760 个
C．1250 个
D．1980 个
3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角
谷猜想”）．已知数列
满足
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，
次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有
人持金出五关，第1 关收税金为持金的
，第2 关收税金为剩余金的
，第3 关收税金为剩余金的
，第4
关收税金为剩余金的
，第 5 关收税金为剩余金的
，5 关所收税金之和恰好重1 斤.问原来持金多少?”.记
这个人原来持金为
斤，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大
小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
个小球，第二层有
个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有
个小球，共有
层，由“隙积术”可得这些小球的总个数
为
.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8 层，小球总个数是460，则该垛积
的第一层小球个数可以是（ ）
A．5
B．8
C．12
D．19
6．如图1 是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2 的一连
串直角三角形演化而成的，其中
，如果把图2 中的直角三角形继续作下去，
记
的长度构成数列
，设
，其
前
项和为
，则
（ ）
A．63
B．8
C．7
D．64
题型五 数列其他新概念定义
1．（2025·河南·模拟预测）若对于任意的
，
为数列
中小于
的项的个数，则称数列
是
的“生成数列”.
(1)分别写出数列1，0，3，4 及
，
，2，
的“生成数列”的前4 项；
(2)若数列
满足
，且
的“生成数列”为
，求
；
(3)若
为等比数列，且
，公比
，
的“生成数列”为
，
的“生成数列”为
，
求
.
2．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知
是
项正整数数列，令
，其中
.若对任意的
中均无相同的项，则称
数列
为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8 是否为“和差单值”数列.
(2)已知
，其中
为两两不同的正整数，问：
是否为“和差单值”数列？请
说明理由．
(3)证明：若
的最大值不超过
，则
一定不是“和差单值数列”.
3．（2025·浙江·三模）定义：若对
，
，都有
（j 为常数，且
），则称数列
为“绝对等差数列”，常数j 为数列
的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列
所有项的和为
E．
(1)若
，
，
，请写出有序实数对
的所有取值；
(2)若数列
共有259 项，且
，
，
，求数列
的通项公式
；
(3)若j 为奇数，数列
共有2k（
，
）项，且
，
．证明：k 为偶数，并写出一个符
合条件的数列
．
4．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知
为正整数，数列
是公差为
的等差数列.
若从中随机取出若干项后，对于剩余项始终有
，则称取出的项按从小到大顺序排成
的数列为
的“间子列”.
(1)直接写出数列
所有的间子列；
(2)证明：存在数列
的一个间子列，其也为数列
的间子列；
(3)从数列
中随机取出
项，记将这项按从小到大顺序排成的新数列为
的间子列的概率为
，证明：
.
5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对
，都有
，则称
与
为“ 级相邻数
列”．
(1)设
的前n 项和
，且
，试判断
与
是否为“2 级相邻数列”，并说
明理由；
(2)若
，且为“4 级相邻数列”，求k 的取值范围；
(3)已知
，由数列
的所有项组成的集合M 中恰好有2 个元素，若
与
为“1 级相邻数列”，求满足条件的数列
的组数（用数字作答）．
题型六 数列其他新性质定义
1．（2025·河北·二模）已知
是公差不为0 的无穷等差数列.若对于
中任意两项
，
，在
中
都存在一项
，使得
，则称数列
具有性质
.
(1)已知
，
，判断数列
，
是否具有性质
；
(2)若数列
具有性质
，证明：
的各项均为整数；
(3)若
，求具有性质
的数列
的个数.
2．（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列
和如下的两条性质：
：存在实数
，使得
且
，都有
；
：任意
且
，都存在
，使得
．
(1)若
，判断数列
是否满足性质
，并说明理由；
(2)若
，且数列
满足任意
，则称
为数列
的
一个子数列．设数列
同时满足性质
和性质
．
①若
，求
的取值范围；
②求证：存在
的子数列为等差数列．
3．（2025·辽宁·模拟预测）设
为正整数，数列
，
，…，
的各项均为正整数，若该数
列
满足下列性质：①
，，
，都有
且
，②
，则称该数列
是
—特性数列．
(1)若数列
是
－特性数列，求
与
的最小值；
(2)若数列
是
—特性数列，是否存在数列
是
—特性数列？若存在，请给出证明；
若不存在，请说明理由；
(3)从，
，，…，
中一次任取四个不同的数，记抽取的四个数组成的数列
是
—特性数列的
概率为
，求
．
4．（24-25 高三上·北京朝阳·期中）若有穷正整数数列A：
，
，
，…，
满足如下两个性质，
则称数列A 为T 数列：①
；②对任意的
，都存在正整数
，使得
.
(1)判断数列A：1，1，1，3，3，5 和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12 是否为T 数列，说明理由；
(2)已知数列A：
，
，
，…，
是T 数列.
（i）证明：对任意的
，
与
不能同时成立；
（ii）若n 为奇数，求
的最大值.
5．（2024·河南·模拟预测）已知
和
是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使得
；②对于
中任意一项
，在
中都
存在两项
，使得
．
(1)若
，证明：数列
满足性质①②；
(2)若
是单调数列，且满足性质①②，判断
是否为等差数列，并说明理由；
(3)若数列
和
满足（2）的条件，记
（
表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立．
（ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当
时，
；
（ⅱ）存在正整数m，使得
，
，
，…是等差数列．
题型七 数列其他新运算定义
1．（2025·辽宁·三模）已知正数
的整数部分记为
，例如
.
(1)若
，求数列
的前
项和
.
(2)设
.
①求
；
②求数列
的通项公式；
③求数列
的前100 项和.
2．角谷猜想，也称为“
”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以
；如果是奇
数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”
现象的猜想，假如对任意正整数
，按照上述规则实施第次运算后的结果记
，实施第2 次运算
后的结果记为
，…实施第
次运算后的结果记为
，实施第
次运算后得到数，则停止运算，即可
以得到有穷数
（其中
）其递推关系式为
，
称作数列
的原始项；将此递推公式推广为：
，其它规则不变，得到的数列记作
，试解答以下
问题：
(1)若
，求数列
的项数；
(2)若数列
满足
，求原始项
的所有可能取值构成的集合；
(3)对任意的数列
，求证：
．
3．（2025·广东揭阳·二模）已知数列
中每一项
（其中
，
）构成
数组
.定义运算如下：
，其中当
时，
，
；当
时，
，
；用
表示
层嵌套运算
，
.现取
，记
中相邻两项组成的数对
满足
的数对个数为
.
(1)写出
，
，以及
，
；
(2)证明：数列
是等比数列；
(3)若
，证明：对任意的
都有
.
4．（2024·山东青岛·一模）记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，设变换
，
．定义运算
：若
，则
，
．
(1)若
，用
表示
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，证明：
．
5．（2025·甘肃白银·二模）定义新运算
.对于给定的正项数列
，若
，且
，都有
，其中
分别为数列
中的第项和第
项
，则称该数列
为“
方型数列”.
(1)若
为各项均为正数的等比数列，请判断数列
是否为“
方型数列”，并说明理由.
(2)已知数列
既是“2 方型数列”，又是“3 方型数列”，记数列
的前
项和为
.
①证明：
为等比数列；
②设
，若
，记满足
成立的数组
的概率为
，求
的最大值.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854 年，
爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15 天月相变化的数列，记为
，
其将满月等分成240 份，
（
且
）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，
第1 天月球被太阳照亮部分占满月的
，即
；第15 天为满月，即
．已知
的第1 项到第
5 项是公比为
的等比数列，第5 项到第15 项是公差为
的等差数列，且
，
均为正整数，则
（ ）．
A．80
B．96
C．100
D．112
2．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3 余2)，五五
数之剩三(除以5 余3)，七七数之剩二(除以7 余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数
满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，
构成数列
，记数列
的前n 项和为
，则
的最小值为（ ）
A．26
B．36
C．38
D．46
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层
均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要
求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为
公差为
､
的等差数列，若一个鬼工球最
外层与最内层的半径之差为
，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．（23-24 高三下·云南·月考）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又
称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔
子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列
的前
项和为
，则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·上海·期中）已知数列
为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数
，均有
，则称数列
为“ 阶弱减数列”. 现有以下两个命题：
①数列
为无穷数列且
（
为正整数），则
是数列
是“ 阶弱减数列”的充分条
件；
②数列
为无穷数列且
（
为正整数），则存在
，使得数列
是“ 阶弱减数列”的充要条件是
.
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
6．（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，
3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个
数的和.人们把这样的一列数组成的数列
称为斐波那契数列，现将
中的各项除以2 所得的余数按原
来的顺序排列，构成的数列记为
，数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）（多选题）在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一
书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，
第
行的所有数字之和为
，若去除所有为1 的项，依次构成数列
：2，3，3，4，6，4，5，10，
10，5，
，则下列说法正确的是（
⋯
）
A．
B．
C．第
项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
8．（多选题）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4 为等差数
列，则数列1，3，6，10 被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列
，其前6 项依次为4，8，10，10，
8，4，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列
的公差为2
B．
C．数列
的前7 项和最大
D．
9．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要
著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差
数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4
项为1，3，7，13，则该数列的第14 项为 .
10．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规
律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，
4，6，4，1，
，记作数列
，则
；若数列
的前
项和为
，则
.
11．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来
经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，
把被3 除余数为2，被4 除余数为2 的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列
，
，将
，
中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列
，则
.
12．历史上有一个著名的“伯努利装错信笺问题”，它讲的是某人想邀请朋友来家中聚会，写好了n 封请
柬，需要装入n 个写好友人名字的信封，结果因为粗心把请柬全部装错了信封，求装错的可能会有多少种
的问题．瑞士著名数学家欧拉
按一般情况给出解答：用A，B，C，……表示
写着n 位友人名字的信封，a，b，c，……表示n 份对应的写好的请柬，把装错的情况总数记作
，假设
把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：第一类：b 装入A 里，这时每种错装的其余部
分都与A，B，a，b 无关，应有
种错装法；第二类：b 装入A，B 之外的一个信封，这时的装信工作实
际是把（除a 之外的）
份请柬b，c，……装入（除B 以外的）
个信封A，C，……，显然这时装
错的情况有
种，总之在a 装入B 的错误之下，共有错装法
种．a 装入C，装入D……的
种错误之下，同样都有
种错装法，因此可得到
的关系式为 ；通过枚举法，
容易求出
，于是可以迅速用多种方法求出
．
13．（2024·四川·模拟预测）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数
列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔
子数列”，
满足
，
（
，
），则
是斐波那契
数列的第 项.
14．如果数列
对任意的
，则称
为“中值偏大数列”
(1)若数列
为“中值偏大数列”，求正实数
的取值范围；
(2)若数列
为“中值偏大数列”，且任意项
，求整数
的最大值．
15．（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知数列
具有性质
：对
任意的
，
与
两数中至少有一个属于
．
(1)分别判断数集
和
是否具有性质
；
(2)证明：当
时，
，
，
，
不可能成等差数列；
(3)证明：当
时，
，
，
，
，
是等比数列．
16．（24-25 高三下·甘肃平凉·月考）对一个给定的数列
的相邻两项作差，得到一个新数列
，
，…，
，…这个数列称为
的一阶差数列．如果记该数列为
，其中
，再
求
的相邻两项之差，那么称所得数列
，
，…，
，…为数列
的二阶差数列．依
此类推，对任意
，可以定义数列
的p 阶差数列．如果
的p 阶差数列是一个非零常数列，那么
称它为p 阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称
为高阶等差数列．
(1)若
，证明：数列
是二阶等差数列；
(2)若
，证明：数列
的前n 项和公式为
；
(3)设数列
是一个三阶等差数列，其从前往后连续的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列
的通项公式．
17．任取数列
中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列
具有
性质.已知具有
性质
的数列
共有
项，且所有的项之和为
.
(1)若
，且
，求
的所有可能值；
(2)若
，且
恒成立，求
；
(3)若
，证明：
.
18．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并
用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把
个
物体放进
个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进
个或更多个物体．已知数列
与数列
满足
，若数列
是递增数列，则称数列
具有性质
．
(1)当
，且数列
具有性质
时，
①写出一个满足
，项数为6 的数列
；
②若
，数列
的前
项和为
，证明：当
时，至少存在两个不同的数列
，使得这两个
数列的前
项和
相等．
(2)从项数为
的数列
中选取一部分元素构成新的数列
，判断是否存在项数为
的数列
具有性质
，并说明理由．
（参考数据：
）
19．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列
，其中
，
.在
中
选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为
的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的
，均存在
的相应子列，使得该子列的各项之和为
，则称
具有性质
.
(1)判断
：
，
，
，
，
，
，
是否具有性质
？说明理由；
(2)若
，是否存在
具有性质
？若存在，写出一个
，若不存在，说明理由；
(3)若
，且存在
具有性质
，求的取值范围.
20．（2025·河南·模拟预测）若
，则称
是
和的减比中项.
(1)若
是
和的减比中项，求
的取值范围.
(2)已知数列
满足
，
，数列
满足
，
，存在正数
，使
是
和
的等比中项，且
是
和
的减比中项，
.
（i）证明：
是
和
的减比中项；
（ii）记数列
的前
项和为
，证明：
.
21．（2025·湖北·模拟预测）定义：若对任意，
，
，数列
的第
项都等于
数列
的第
项，则称数列
为数列
的“
分段反序数列”.已知数列
的“
分段
反序数列”为
，数列
的前
项和为
.
(1)若
，求
，
的值；
(2)若
，求
；
(3)若
，证明：数列
为常数列.
22．如果数列
满足：
且
，则称数列
为
阶“归化数列”.若数列
还满足：数列
项数有限为
；则称数列
为“
阶可控摇摆数
列”.
(1)若某6 阶“归化数列”
是等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某13 阶“归化数列”
是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)已知数列
为“
阶可控摇摆数列”，其前
项和为
，且存在
，使得
，探究：
数列
能否为“
阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
23．（2025·湖北·三模）已知数列
，其中
，且
.若数列
满足
，当
时，
或
，则称数列
为数列
的“调节数列”.例如，数列
的所有“调节数列”为
；或者
；或者
；或者
.
(1)直接写出数列
的所有“调节数列”
；
(2)若数列
满足通项
，将数列
的“调节数列”中的递增数列记为
，数列
中的各项
和为
，求所有
的和；
(3)已知数列
满足：
，若数列
的所有“调节数列”
均为递增数列，求所有符合条件的
数列
的个数.
24．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由
数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将
阶数阵
记作
（其中
）.已知
，且满足
，
(1)求
和
的值；
(2)求
的表达式；
(3)是否存在
，使得
，
，
成等比数列，如存在，请
求出
，如不存在，请说明理由.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一
数列如下定义：设
为斐波那契数列，
，
，
，其通项公式为
，设
是
的正整数解，则
的最大值为
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（24-25 高三上·江西·月考）若项数有限的数列
满足
，且
，则称数列
为“n 阶上进数列”.
(1)若等比数列
是“2024 阶上进数列”，求
的通项公式；
(2)若数列
是“n 阶上进数列”，其前n 项和记为
.
（i）证明：
；
（ii）若存在
，使得
，且
的前m 项均为非负数，其他项均为非正数，判断数列
是
否是“n 阶上进数列”，并说明理由.
参考公式：
.
3．（2025·北京东城·一模）已知有限数列
满足
.对于给定的
，若
中存在
项满足
，则称
有
项递增子列；若
中存在
项满足
，则称
有
项递减子列.当
既有
项递增子列又有
项递减子
列时，称
具有性质
.
(1)判断下列数列是否具有性质
；
①
；
②
.
(2)若数列
中有
，证明：数列
不具有性质
；
(3)当数列
具有性质
时，若
中任意连续的
项中都包含
项递增子列，求
的最大值.
4．（2024·河北邢台·二模）若数列
若满足递推关系
其中
为常数，我们称该数列为k 阶常系数齐次线性递推数列，并称方程
为递推
关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列
的特征根.我们有以下结论：对于k 阶常系数齐次线性
递推数列，若其不同的特征根为
，
，…，
，且特征根
的重数为
，则数列
的通项公式为
其中
，
，这里
都是常数，它们由数列初始值可以确
定.
(1)若数列
满足
，且
，
，
，求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足对于所有非负整数m，n（
），
都成立，且
，求数列
的通项公式；
(3)设边长为1 的正六边形ABCDEF，O 是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O 到每个顶
点连一条线段，共得到12 条长度为1 的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点
终点均为点O 的一条移动路线.求长度为2024 的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数
量）
5．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对
无穷数列
，
，定义无穷数列
，记作
，称为
与
的卷
积．卷积运算有如图所示的直观含义，即
中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，
易知有交换律
．
(1)若
，
，
，求
，
，
，
；
(2)对
，定义
如下：①当
时，
；②当
时，
为满足通项
的数列
，即将
的每一项向后平移
项，前
项都取为0．试找到数列
，使
得
；
(3)若
，
，证明：当
时，
．
