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第14 讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共16 小题）
1．已知椭圆
的两个焦点分别为
、
，短轴的两个端点分别是
、
．
（1）若△
为等边三角形，求椭圆
的标准方程；
（2）若椭圆
的短轴长为2，过点
的直线与椭圆
相交于
、
两点，且以
为直
径的圆经过点
，求直线的方程．
【解答】解：（1）
椭圆
的两个焦点分别为
、
，
短轴的两个端点分别是
、
，△
为等边三角形，
，解得
，
椭圆
的标准方程为
．
（2）
椭圆
的短轴长为2，椭圆
的两个焦点分别为
、
，
椭圆
的标准方程为
，
过点
直线与椭圆
相交于
、
两点，且以
为直径的圆经过点
，
当直线的斜率
不存在时，直线为
，此时以
为直径的圆不经过点
，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
．
由
，得
．
设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
过点
的直线与椭圆
相交于
、
两点，且以
为直径的圆经过点
，
，
，
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，解得
，即
．
故直线的方程为
或
．
2．已知动圆过定点
，且在
轴上截得的弦
的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹
的方程；
（Ⅱ）已知点
，设不垂直于
轴的直线与轨迹
交于不同的两点
，
，若
轴是
的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心
，
，过点
作
轴，垂足为
，则
，
，
，化为
．
当
时，也满足上式．
动圆圆心的轨迹
的方程为
．
（Ⅱ）设
，
，
，
由题意可知
，
，
．
轴是
的角平分线，
，
，
，化为
．
直线
的方程为
，
，化为
，
化为
，
，令
，则
，
直线
过定点
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3．设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
．已知椭圆的短轴长为4，离
心率为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
且
为原点），求直线
的斜率．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为
，
依题意，
，
又
，可得
，
，
，
所以，椭圆的方程为
．
（2）由题意，设
，
，
，
，
设直线
的斜率为
，
又
，则直线
的方程为
，
与椭圆方程联立
整理得
，
可得
，代入
得
，
进而直线
的斜率
，
在
中，令
，得
，即
，
所以直线
的斜率为
，
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由
，得
，化简得
，
从而
．
所以，直线
的斜率为
或
．
4．已知椭圆
，抛物线
，点
，斜率为
的直线
交
抛物线于
、
两点，且
，经过点
的斜率为
的直线
与椭圆相交于
、
两点．
（1）若抛物线的准线经过点
，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在
，使得四边形
的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及
的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的准线
方程
，焦点坐标
，
则
，抛物线的标准
方程为
，焦点
．
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，得点
在直
线
上，且
，
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且
四
边
形
的
面
积
．
由
，
得
，
则
，
，
因
为
，
所
以
由
，
的斜率分别为
，
由图知
必过点
，
可
设
，
且
，
故直线
，令
，
则直线
，代入椭圆方
程
，
得
，
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点
到
的距离
，
四
边
形
的
面
积
当且仅当
时，面积
最大为
．
5．已知椭圆
过点
，左右焦点分别为
，
，且线段
与
轴的交点
恰好为线段
的中点，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的离心率；
（2）与直线
的斜率相同的直线与椭圆
相交于
，
两点，求当
的面积最大
时直线的方程．
【解答】解：（1）由椭圆过点
，则
，①
连接
，由
为线段
的中点，
为线段
的中点，
则
，则
，
由
，②
由①②得
，
，
则椭圆的离心率
；
（2）由（1）椭圆
与方程
，直线的斜率
，
不妨设直线的方程
，设
，
，
，
，
，整理得：
，
则△
，解得：
，
，
，
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，
由
到
的距离
，
则
的
面
积
，
当且仅当
时，取等号，即
，
则直线的方程
．
6．已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆
交于
，
两点（不同于点
，记直线
，
的斜率
分别为
，
，试判断是否存在定值
，使当
变化时
总成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为
，则
①，
又过点
，所以
，解得
，
由①可得
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）由（1）可知，点
，设
，
，
，
，
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联立方程组
，可得
，
所以
，
所以
，
，
因为
，所以
，
整理可得，
，
所以
，
化简整理可得，
，
解得
或
，
若
，则
过点
，则
，
与点
重合，不符合题意，
所以
，
故存在定值
，使当
变化时
总成立．
7．如图，已知椭圆
经过点
，离心率
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设
是经过右焦点
的任一弦（不经过点
，直线
与直线
相交于点
，
记
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：
，
，
成等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）由点
在椭圆上得，
①
②
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由①②得
，
，
，
故椭圆
的标准方程为
．（4 分）
（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标
，显然直线
斜率存在，
设
的斜率为
，则直线
的方程为
③
．（5 分）
代入椭圆方程
，
整理得
．（6 分）
设
，
，
，
，
则有
④
．（7 分）
在方程③中，令
得，
，从而
，
，
（9 分）
又因为
、
、
共线，则有
，
即有
，
所以
⑤
将④代入⑤得
，
（12 分）
又
，
所以
，即
，
，
成等差数列．
．（13 分）
8．已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
，点
在椭圆上，直
线
的斜率为
，直线
被圆
截得的线段的长为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点
在椭圆上，若直线
的斜率大于
，求直线
为原点）的斜率的取
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值范围．
【解答】解：（1）由已知有
，又
，可得
，
设直线
的方程为
，由圆心到直线
的距离公式可得
，
，
故所求的椭圆方程为
；
（2）设点
的坐标为
，直线
的斜率为，
联立
消去
整理
，
可解得
或
．
再设直线
的斜率为
，
再联立
①当
时，
故
得
②当
时，
故
得
综上直线
的斜率
的取值范围
．
9．已知抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上一点，且在第一象限，满
足
，
（1）求抛物线
的方程；
（2）已知经过点
的直线交抛物线
于
，
两点，经过定点
和
的直线
与抛物线
交于另一点
，问直线
是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明
理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点
，
，满足
，
的
的坐标
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为
，
，
在抛物线上，
所以
，即
，
，解得
，所以抛物线的方程为：
；
（2）设
，
，
，
，
，
，则
，
，
直线
的斜率
，
则直线
的方程为：
，即
①，
同理可得直线
的方程整理可得
②，
将
，
分别代入①，②的方程可得
，消
可得
，
易知直线
，则直线
的方程为：
，
即
，故
，
所以
，
因此直线
恒过定点
．
10．设直线与抛物线
相交于不同两点
、
，与圆
相切于
点
，且
为线段
的中点．
（1）若
是正三角形
为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若
，求直线的方程；
（3）试对
进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）
【解答】解：（1）设
的边长为
，
则
，
，
，
；
（2）设直线
，
时，
，
符合题意；
时，方程联立可得
，设
，
，
，
，
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则
，
，
，
，
，
，
，
△
，
，
，
，舍去，
综上所述，直线的方程为
，
；
（3）
时，直线有4 条；
，
，
时，2 条；
，
，1 条．
11．如图，已知椭圆
与圆
在第一象限相交于点
，椭圆
的左、右焦点
，
都在圆
上，且线段
为圆
的直径．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线与椭圆
相交于
，
两点，且直线与
轴相交于
点，
为线段
的
中点，
为坐标原点，若
，求
的最大值．
【解答】解：（1）圆
的圆心为
，半径为
，
由题意可得
，
，
由中位线定理可得
，即
，
由椭圆的定义可得
，即
，
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又
，
即为
，解答
，
，
则椭圆方程为
；
（2）设直线的方程为
，代入椭圆方程
，
可得
，
设
，
，
，
，可得：
，
，
由中点坐标公式可得
，
，
，由
，可得
，即
，
即有
的坐标为
，
，
，
又
，
即有
，
当
，即
，
时，
取得最大值
．
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12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆上一点
与
椭圆右焦点的连线垂直于
轴．
（1）求椭圆
的方程；
（2）与抛物线
相切于第一象限的直线，与椭圆
交于
，
两点，与
轴交于
点
，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求直线
斜率的最小值．
【解答】解：（1）
点
与椭圆右焦点的连线垂直于
轴，
，将
点坐标代入椭圆方程可得
，
又
，联立可解得
，
，
椭圆
的方程为
；
（2）设切点坐标为
，则
．
整理，得
．
，设
，
，
，
，
联立
，可得
，
△
．
．
的中点坐标为
，
的垂直平分线方程为
，令
，得
，
即
，
．
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，
，当且仅当
时取得等号．
直线
的斜率的最小值为
．
13．已知圆
的圆心
在直线
上，且与直线
相切于点
．
（1）求圆
的方程；
（2）过点
的直线与圆
交于
，
两点，线段
的中点为
，直线与直线
的交点为
．判断
是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，
说明理由．
【解答】解：（1）设过点
且与直线
垂直的直线为
，
则
，解得
，即
，
由
，解得
，即圆心坐标为
，
所以半径
，
所以圆的方程为
．
（2）当直线的斜率存在时，设过点
的直线为
，
所以
，消去
得
，
设
，
、
，
，则
，
，
所以
，所以
的中点
，
由
解得
，即
，
所以
，
，
所以
；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，
由
，解得
或
，
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即
、
，所以
，所以
，
又
解得
，即
，
所以
，所以
，
综上可得
．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学
习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆
上点
，
处的切线方程为
．理由如下：
．
（2）椭圆
上一点
，
处的切线方程为
；
（3）
是椭圆
外一点，过点
作椭圆的两条切线，切点分别为
，
，
如图，则直线
的方程是 ．这是因为在
，
，
，
两点处，椭圆
的
切线方程为
和
．两切线都过
点，所以得到了
和
，由这两个“同构方程”得到了直线
的方程；
（4 ）问题（3 ）中两切线
，
斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
，由
，得
，
化简得△
得
．
若
，则由这个方程可知
点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线
上一点
，
处的切线方程为
；
（6）抛物线
，过焦点
的直线与抛物线相交于
，
两点，分别过点
，
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作抛物线的两条切线
和
，设
，
，
，
，则直线
的方程为
．
直线
的方程为
，设
和
相交于点
．则①点
在以线段
为直径的圆
上；②点
在抛物线
的准线上．
【解答】解：（1）圆
上点
，
处的切线方程为
．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为
，则
，
所以
，
又过点
，
，
由点斜式可得，
，
化简可得，
，
又
，
所以切线的方程为
；
②若切线的斜率不存在，则
，
此时切线方程为
．
综上所述，圆
上点
，
处的切线方程为
．
（3）在
，
，
，
两点处，椭圆
的切线方程为
和
，
因为两切线都过
点
，
所以得到了
和
，
由这两个“同构方程”得到了直线
的方程为
；
（4 ）问题（3 ）中两切线
，
斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
，
由
，可得
，
由△
，可得
，
因为
，
则
，
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所以
式中关于
的二次方程有两个解且其乘积为
，
则
，
可得
，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为
．
故答案为：（1）
，理由见解析；
（3）
；
（4）
．
15．如图1，在平面直角坐标系
中，椭圆
的方程为
，
，
为椭圆的左
右顶点，
、
是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点
，在椭圆上有一动点
，则求
的最大值和最
小值分别是多少？
（2）如图1，若直线经过点
且垂直于
轴，点
是椭圆上异于
，
的任意一点，直
线
交于点
，设过点
垂直于
的直线为
．求证：直线
过定点，并求出定点
的坐标．
（3）如图2，若直线过左焦点
交椭圆于
，
两点，直线
，
分别交直线
于
，
两点，求证：以线段
为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，点
是椭圆上除
，
外的任
意一点，当直线
，
的斜率都存在，并记为
为定值．
（5）如图4，若动直线
与椭圆
有且只有一个公共点，点
，
是直线上
的两点，且
，
，求四边形
面积
的最大值．
（6）如图5，若过点
且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于
，
两点．试探究：线段
上是否存在点
使得
，若存在，求出实数
的取值范围，若不存
在，说明理由．
（7）如图6，若点
为抛物线
上的动点，设
为坐标原点，是否存在同时满足
下列两个条件的
？①点
在椭圆
上；②点
为
的重心，若存在，求出点
的坐标，若不存在，说明理由．
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【解答】解：（1）设
为椭圆的左焦点，连结
，作过
、
的直线交椭圆于
、
两点，如图所示
中，
，
，
，可得
，
．
由椭圆的定义，得
，
由平面几何知识，得
，
当
与
重合时，
达到最大值
；当
与
重合时，
达到最小值
．
由
，可得
的最大值为
，最小值为
．
的取值范围为
，
．
（2）设
，
，设
，
，
，
则
，
，
，
，
三点共线，
，得
，
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
则
直
线
的
方
程
为
，
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，
即
．
所以直线
过定点
．
（3）证明：设
，
，
，
，
，
代入椭圆方程
，整理，得
，
，
，
，
，
，
，
设
与
轴交于点
，以线段
为直径的圆与
轴交于点
，
，
则
，
，
，
点
，
的坐标为
，
，
以线段
为直径的圆过
轴上的两个定点
和
．
证明：设
、
是椭圆上关于原点对称点，设
，
，则
，
，
（4）设
点坐标为
，则
，
．
即
，
，
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为定值．
（5 ）将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，得
．
由直线与椭圆
仅有一个公共点知，△
，
化简得：
．
设
，
，
法一：当
时，设直线的倾斜角为
，
则
，
，
，
，
当
时，
，
，
．
当
时，四边形
是矩形，
．
所以四边形
面积
的最大值为
．
法
二
：
，
．
．
四边形
的面积
，
．
当且仅当
时，
，故
．
所以四边形
的面积
的最大值为
．
（6）存在这样的点
符合题意．设线段
的中点为
，
，
，
，
，
，
，
直线
的斜率为
，注意到
，则直线
的方程为
，
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由
消去
得：
，
所以
，
故
，
．
又点
在直线
上，所以
，
由
可得
，
，
，
整理得
，
所以，在线段
上存在点
符合题意，其中
．
（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设
，
由条件①知
，
由条件②得
，又因为点
，
所以
即
，
故
，
解之得
或
（舍，
当
时，解得
不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．
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16．已知直线
与抛物线
交于
，
、
两点，过点
与
直线垂直的直线交抛物线
于点
，
．如图所示．
（1）求抛物线
的焦点坐标；
（2）求经过
、
两点的直线与
轴交点
的坐标；
（3）过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线
的交点
、
的直线
是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；
如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线
的方程化为
，
，
．
（2 分）
抛物线
的焦点坐标为
．
（4 分）
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（2）联立方程组
，解得点
坐标为
．
（6 分）
联立方程组
，解得点
坐标为
．
（7 分）
所以直线
的方程为
，
（8 分）
令
，解得
．
点
的坐标为
．
（9 分）
（3）结论：过抛物线
的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线
恒过定点
．
（10 分）
证明如下：
设过抛物线
的顶点的一条直线为
，
则另一条为
，
联立方程组
，解得点
坐标为
．
（11 分）
联立方程组
，解得点
坐标为
，
．
（12 分）
所以直线
的方程为
，
（13 分）
令
，解得
．
直线
恒过定点
．
（14 分）
