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⾼三冲刺笔记-平⾯向量（五）
考点归纳：向量范围问题（⼀）三⻆不等式
⼀、向量三⻆不等成
1
. 定义:对于任意两个向量
a ,
b ,
有I
1
- 151
≤± b
'
≤
+ 151
2
. 诞明
:
当代
,
⑤供线时
,
a + b 的⽅向与ω
,
b
都不同⾮零
) 则有
:
I 3
- 151
a at
5
2 at
5
a
→
⼋
≥
a+5
1 a
-
1}
<
G
+ b
<
a
+
5
,
b
'
> 换成
+
(
- ⽚
”
)
,
⼤⼩没变
”
Λ
a
→
ia5 》
IG
-
I5
T
K
a
-
b
'
a
a
t
57
,
5
2
当⾮雯代
,
b
'
共线时
.
设|1
> l 51
i > , 与b 同何时, a + 的⽅向与@ , 5 相同且
| * + 5 |=
1 a 1 + 15
,
a
. -
5的⽭向与
a ” 相同且(
a -
5 |= 11
. 15)
。
@
,
,
,
,
<
a
→
,
?
'
1 + 51
= la 1
+1
,
》
a + 5
》
→
a
a
→
- 5
→
,
,
,
<
>
,
,
| a
. 5
'
1
= 11
- 151
。
5
a
2
-
511
i
⻔, @ 与
☆异何时
,α^+ b 的⽅向与
a ^ 相同且
@ +
5
)
=
1 a 1
- 15}
a
'
- 5 的⽅向与
θ 相同且
1 - 5 |=
1 a 1
+
1 b
)
⼈
,
a
>
< 5
a
,
>
+ 5' )
: 11 - 1}
少
a
+ 5
→
,
a
,
sa
'
- b
>
,
I | : |θ 1 + 15 )
<
5
| a
- 51
3
θ
.
5 ⾄少有⼀个了时
1 a1
-
15
'
1
=
| a ± 51
=
δ 1 + 151
🌶
📍
题型训练：向量中的绝对值三⻆不等式
🌶
D
解
:
atb
→|≤
adi
-1
}
[
= 11 + 151
= 3
.
a? 5}
≤
ar
-ib
|=
÷ 11 + 15}
= 3
. la '
t
5'
1
- ta
.
⑤←
≤2
.
[
-2 . DJ
解
:
:
CEE )
P
+
( ε
. D ]
P
- CE
-
☆
- D )
= =δ
-
2 Q
.
5
,
∴(
E
" -
a
'
)
2
+ (
[
" - 5
'
)
'
÷
1
+
E '-
2
a .
5'
:
( a)
= 2
h
=
1
,
,
Ia + bl
E
I
1
.
3 J
由
Tc'
- ca + 5
)
/
p
- ia+h
≤
δ
1
+
1 δ+ 51
8 - ca + 5 ) 1
≤
iE 1
tttb
即
P|
≥
1
-
1 at 51
由
IG + 5 I
ε I
1
,
35
.
得
P≥1
- HA+⑪] 恒成交
由
| 11 -
1
a +5'|
≤
|
E
- catb
→
1
|
=
1
即
1 atb
→
I
-
1
≤
I δ 1
≤
1 +
(t5]
L
CE
- )=+ CE-5 ) fmax=
IHC
L
+5I +
1 )2- 2
d .
5
= 1 tG +
b
= tltaatht 2ab
7
= It
2
5taab
≤11
.
I
aDE -I
⼜Q
. 5 ≥
,
-( )
}· |
}
=-
2
解
:
t πδ| : ta -
5 + 5 -
ε 1 ,
1
a - 51
-
15 -
δ '
= ia
- 51
-
1
.
∵
|a |:
2 , a, 夹⻆为
:
ta
- ]
令
= a
, 则
a
2
2 SinA
.
2.
5
B
Q =
α 只a
”
. 5
sinA
=
Sinc
→
sinc
=
sinC
:
sinc
.
360
A
∵
Cx
<
5
π
∴
Sinc
<
a
≤
1
ε b
.
:
( min
= √3
,
🌶
解
:
θ 2 =
4
b
2
=
1
. 5
=
1
.
:
| 2 a + 4 b |
=
2
at 2b
→
1
:
2 a
"
+ Hab
+ 452
=
40s
.
=
c
- aa
-
* 5)
=
101
- 12at *bl |
、
去绝对值
I 2a + 45 I
-
I E
- 2a
- 45
)
÷
I 8 )
≤| 2D + 451
+
I 2☆+ 45 ]
.
∴25
≤
| )
≤
6 污
4 ⼗√下
解
:
| a
. δ|+ 15
, d
1
:
I θ
. "
1
+ 15
.
( 5 +δ )
|
=
ia
, 8 +1 |
b '
"+ 25 δ
1
: IG,) + 14+ 5
, δ )
当a
。δ
,
4 t 5
. ☆
同号时
G 81
+
4 t 581
- IG
. Ʃ
+ 4t 5
, δ
1
:
( a + 5 )
, E
+ 4
|
≤|+51
-
1 δ ( t 4
)
在
|π+5 '
|
2
=
θ
2 +
D
2
+ 2
a
. '
≤
1 +
4 + 2
= T
,
则Ia
. E 1
+
I 5
. dI
≤
4 + T
当a
。δ
,
4 + 5
. D 异号时
,
a
. 81
+
14
+ b ' δ|
= |
☆.
"
-
4 - '
δ
1
: ((
a- 5
) 。
δ "
- 4
|≤|
a- )
, ¢ 1 +4
⽽
( a
- B |
F
=
θ
"
+ b
-
2 a.
5'
2 ⽚
.
p
则Ia . 71
+ 15 .
1
≤4 t T
,
因此
, laeeltl
5'd
max
=
4 +T
