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专题 02 19 题新结构定义题（函数与导数部分）(典型题型归类训练)
1．（2024·广东茂名·统考一模）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.
(1)若 ，判断 是否为 上的“3类函数”；
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， .
【答案】(1) 是 上的“3类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明 即可；
（2）由已知条件转化为对于任意 ，都有 ， ，只需
且 ，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分 和 两种情况进行证明， ，用放缩法
进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的 ，
有 ， ，所以 ，
，
所以 是 上的“3类函数”.
（2）因为 ，
由题意知，对于任意不同的 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，
故 且 ，故 为 上的增函数， 为 上的减函数，
故任意 ，都有 ，
由 可转化为 ，令 ，只需
，令 ， 在 单调递减，
所以 ， ，故 在 单调递减，
，
由 可转化为 ，令 ，只需
，令 ， 在 单调递减，
且 ， ，所以 使 ，即 ，
即 ，
当 时， ， ，故 在 单调递增，
当 时， ， ，故 在 单调递减，
，
故 .
（3）因为 为 上的“2类函数”，所以 ，
不妨设 ，
当 时， ；
当 时，因为 ，
，
综上所述， ， ， .
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数 恒成立 或 恒成立
；②数形结合（ 的图象在 上方即可）；③讨论最值 或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计
算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力
计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用
计算器得出函数 的零点 的近似值，为了实际应用，本题中取 的值为-0.57．
哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线 ，
其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为 ，其在 处的切线为 ，
现计划再建一条总干线 ，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出 的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线 上的点不在直线 的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线 ，计划将仓库中直线 与 之间的部分设为隔离区，两条运
货总干线 、 分别在各自的区域内，即曲线 上的点不能越过直线 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ，证明见解析.
(2)
【分析】（1）求得 ，得到 且 ，结合导数的几何意义，求得 的直线方程
，令 ，利用导数求得函数 的单调性和最
大值，得到 ，即可得到结论；
（2）令 ，求得 ，得到函数 的
单调性和最小值 ，令 ，化简得到 ，结合
和 ，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
则 且 ，
所以 的方程为 ，即
因为函数 的零点 的近似值，即 ，所以 ，可得
又因为 ，所以 的直线方程为
令
其中 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，也为最大值 ，即 ，
所以在直角坐标系中，智能运货总干线 上的点不在直线 的上方.
（2）解：由曲线 且 ，
令 ，
要使得两条运货总干线 、 分别在各自的区域内，则满足 恒成立，
又由 ，令 ，可得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
当 时，函数 取得最小值，
最小值为 ，
令 ，即 ，
即 ，
即 ，
因为 ，可得 ，
又因为函数 的零点 的近似值，即 ，所以 ，
则 ，又由 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：应用函数知识求解实际应用问题的方法：
1、正确地将实际问题转化为函数模型，这是解答应用问题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、
归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
2、用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．
3、把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
3．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）若 在 上的值域是 的子集，则
称函数 在 上是封闭的.
(1)若 在 上是封闭的，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上是封闭的，求实数 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在 上的值域，利用分类讨论思想可得结果；
（2）根据新的定义，即求二次函数在 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.
【详解】（1）函数 开口向上，对称轴是 ，
当 时， ，
因为 在 上是封闭的，
则有 ，解得 ；
当 时， 在 上为减函数，则有 ，解得 ，又 ，故无解；
综上， 的取值范围是
（2）函数 开口向上，对称轴是 ，
当 时， ，因为 在 上是封闭的，则有 ，解得 ，
依题意有 ，解得 ，
所以 ，
当 时， 在 上为减函数，则有 ，
所以 ，即 （舍去）
综上， 的最大值是 .
4．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈
德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在 上，
．
(1)请用描述法写出满足方程 的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式 ；
(3)探究是否存在非零实数 ，使得 为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) 为大于1的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得 ，则 关于 对称，即
，则 为偶函数，即可得解.【详解】（1）依题意， ，
当 时， ，则方程 无解，
当 为 内的无理数时， ，则方程 无解，
当 ( 为既约真分数)时，则 ， 为大于1的正整数，
则由方程 ，解得 ， 为大于1的正整数，
综上，方程 的解集为 为大于1的正整数 .
（2）若 或 或 为 内无理数时， ，
而 ，此时 ，
若 ( 为既约真分数)，则 ， 为大于1的正整数，
由 ，得 ，解得 ，
又因为 ( 为既约真分数)，所以 ，
综上，不等式 的解为 .
（3）存在非零实数 ，使得 为偶函数，即 为偶函数，证明如下：
当 或 时，有 成立，满足 ，
当 为 内的无理数时， 也为 内的无理数，所以 ，满足 ，
当 ( 为既约真分数)，则 为既约真分数，
所以 ，满足 ，
综上，对任意 ，都有 ，
所以 关于 对称，即 ，则 为偶函数，
所以，存在非零实数 ，使得 为偶函数.
5．（2023上·贵州贵阳·高二统考期中）阅读材料：
差分和差商古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而
在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根
究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一
个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻 有相同的位置，就
说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概
念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函
数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不
出变化的.设函数 在实数集 上有定义.为了研究 的变化规律，需要考虑它在 中两点处的函
数值的差.定义（差分和差商）称 为函数 从 到 的差分，这里若无特别说明，均假定
.通常记 叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值 叫做 在 和
的差商.显然，当 和 位置交换时，差分变号，差商不变.随着 所描述的对象不同，差商可以是平均
速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当 时，它是 在区间 上
的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间 上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦
然；某区间 上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.
回答问题：
(1)计算一次函数 的差商.
(2)请通过计算差商研究函数 的增减性.
【答案】(1)
(2)函数 在 和 递减，在 递增
【分析】（1）由材料根据差商定义式 求解即可；
（2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性.
【详解】（1）一次函数 的定义域内任取 ，且 ，
差商为 ，
一次函数 的差商处处为 ；
（2）函数 的定义域为 ，设 ，计算 在 的差商为 ，
当 时， ，
从而 ，故函数 在 递减；
当 ， ，
从而 ，故函数 在 递减；
当 时，则 ，
从而 ，故函数 在 递增；
综上所述，函数 在 和 递减，在 递增.
6．（2023下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、
概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函
数 ，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且 ，就称函数
为倒函数．
(1)已知 , ,判断 和 是不是倒函数，并说明理由；
(2)若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是严格增函数．记 ，证
明： 是 的充要条件．
【答案】(1) 是倒函数， 不是倒函数；理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案；
（2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可,
【详解】（1）对于 ，定义域为 ，显然定义域 中任意实数 有 成立，又
，
是倒函数，
对于 ，定义域为 ，
故当 时， ，不符合倒函数的定义，所以 不是倒函数；
（2）因为 ，又 是 上的倒函数，
所以 ，所以 ，
故 ，
充分性：当 时， 且 ，又 在 上是严格增函数，
所以 ， ，
所以 ， ，故 .
必要性：当 时，
有
，
又 恒大于0，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上是严格增函数．所以 ，即有 成立.
综上所述： 是 的充要条件．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为 的函数，如果存在区间 ，同时满足下列
两个条件：
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
(1)区间 是函数 的黄金区间，求 ， 的值
(2)如果 是函数 的一个“黄金区间”，求 的最大值
【答案】(1) ，
(2)
【分析】(1)根据函数增减性，判断求出 ， ;
(2) 在 和 上均为增函数，将其转化为 是方程 的两个同号的实数根，结合二次函数与韦达定理求解问题.
【详解】（1）因为区间 是函数 的黄金区间， 是增函数，
所以 ，解得 ；
（2）由 在 和 上均为增函数，
已知 在“黄金区间” 上单调，
所以 或 ，且 在 上为单调递增，
则同理可得 ，
即 是方程 的两个同号的实数根，
等价于方程 有两个同号的实数根，
注意到 ，则只要
所以 或 ，
而由韦达定理知 ，
所以
，
其中 或 ，
所以当 时， 取得最大值 .
8．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链
线. 年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为 ，其中 为参数.当 时，该方程就是
双曲余弦函数 ，类似的我们有双曲正弦函数 .(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数 的最小值；
① ；
② ；
③ .
(2)求证： ， .
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数 的最小值为 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令
，利用二次函数的基本性质可求得函数 的最小值；
（2） ，将所证不等式等价转化为 ，分 、 两种情
况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：选①，
；
选②， ；
选③， .
，令 ，因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 也为 上的增函数，
故 ，则 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最小值为 .
（2）证明： ，
，
当 时， ， ，所以 ，
所以 ，所以 成立；
当 时，则 ，且正弦函数 在 上为增函数，
，所以 ， ，
所以 成立，
综上， ， .
