文档文本内容
专题04 随机变量的分布列与数字特征
题型
考情分析
考向预测
1. 离散型随机变量的分布列
2025 年新课标Ⅰ卷：第19 题考查：实际
应用背景、分布列、数学期望、决策分
析
2025 年新课标Ⅱ卷：第20 题考查：概率
递推、分布列、数学期望
2024 年新高考Ⅰ卷：第19 题考查超几何
分布、二项分布、数学期望、方差
2024 年新高考Ⅱ卷：第18 题考查：分布
列、数学期望、概率综合应用
2023 年新高考Ⅰ卷：第21 题考查分布
列、数学期望、概率递推、马尔可夫链
模型
2023 年新高考Ⅱ卷：第18 题考查：古典
概型、分布列、数学期望
随机变量分布列与数字特
征是高考概率统计核心考
点，以解答题为主。复习
需熟练掌握离散型随机变
量取值、概率计算、分布
列书写及期望方差运算，
重点突破二项分布、超几
何分布。马尔可夫链递推
模型与切比雪夫不等式考
查可能性极大，需重点掌
握；同时强化条件概率、
全概率综合训练。
2. 离散型随机变量的分布列的
性质
3. 求离散型随机变量的均值
4. 离散型随机变量均值的性质
5. 两点分布问题
6. 求离散型随机变量的方差和
标准差
7. 方差的性质
8. 决策性问题
9. 赛制问题
10.切比雪夫不等式
11.马尔科夫链
题型1 离散型随机变量的分布列
随机变量的概念、表示及特征
离散型随机变量
离散型随机变量的分布列
定
义
一般地，对于随机试验样本空间Ω 中的
每个样本点ω 都有唯一的实数X(ω)与
之对应，我们称X 为随机变量．
一般地，设离散型随机变量X 的可能取
值为x1，x2，…，xn，我们称X 取每一
个值xi 的概率P(X ＝xi) ＝pi ，i ＝
1,2,3，…，n 为X 的概率分布列，简称
1
分布列．
性
质
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
【例1】（25-26 高二下·全国·课堂例题）现有10 道题，其中6 道甲类题、4 道乙类题，张同学从中任取3
道题解答．
(1)求张同学至少取到1 道乙类题的概率；
(2)已知所取的3 道题中有2 道甲类题、1 道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是
，答对每道乙类
题的概率是
，且各题答对与否相互独立，用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）设事件
：“张同学所取的3 道题至少有1 道乙类题”，则有
：“张同学所取的3 道题都
是甲类题”．
因为
，
所以
．
（2）
所有可能的取值为0，1，2，3．
，
，
，
2
．
所以
的分布列为
0
1
2
3
【变式1】（25-26 高三下·月考）若
是一个三位正整数，且
的个位数字大于十位数字，十位数字大于百
位数字，则称
为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所
有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三
个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得
分；若能被10 整除，
得1 分．
(1)写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分
的分布列．
【答案】(1)125，135，145，235，245，345．
(2)答案见解析
【详解】（1）个位数字是5 的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345．
（2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为
，
随机变量
可能的取值为
.
，
，
．
所以
的分布列为
0
1
3
题型2 离散型随机变量的分布列的性质
离散型随机变量的分布列其重要性质为p1＋p2＋…＋pn＝1.主要利用其解题。
【例2】（25-26 高三下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量
的分布列如表，若随机变量
，
则
（ ）
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【答案】D
【详解】由分布列性质可得：
，解得
；
因为
，故
.
故选：D.
【变式2】（25-26 高三下·河北保定·期中）已知离散型随机变量
的分布列如下表所示，则
的值为
（ ）
0
1
2
3
0.12
0.16
A．0.16 B．0.09 C．0.59 D．
【答案】A
【详解】由表可得
，所以
，
满足
，故
.
故选：A.
题型3 求离散型随机变量的均值
4
离散型随机变量的均值的概念：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
X1
X2
…
Xi
…
Xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝∑
i=1
n
(xi−E(X))
2
pi为随机变量X 的均值或数学期望．
【例3】（25-26 高二上·江西宜春·期末）赣
正如火如荼地举行中，宜春队2 名队员在某次训练时，推出
的球车中装有
个篮球，其中
个是新的，
个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取
个球来用，
用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为
，第二次取出的新球数为
.设最终
球车中旧球数为
.
(1)求
的概率；
(2)已知最终球车中旧球数为
，求第一次取出的新球数不超过的概率；
(3)求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）从球车中任取2 个球的试验有
个基本事件，
的事件有
个基本事件，
所以
.
（2）由最终球车中旧球数为4，得
，则
，
，
，
，
，
5
因此
，
所以第一次取出的新球数不超过1 的概率为
.
（3）最终球车中旧球数为
，
的可能取值为
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列如下：
2
3
4
5
6
P
数学期望
.
【变式3】（25-26 高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射
门一次，若
轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4 轮比赛后，
两人的进球数相差小于2 也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为
6
0.5 和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立．
(1)求1 轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率；
(2)求甲、乙最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了
轮比赛，求
的分布列及期望．
【答案】(1)0.5
(2)0.1889
(3)分布列见解析，3.49
【详解】（1）记1 轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为
，
由两人的进球数相同可以是
或
，
则
.
（2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为
，甲比乙少进一个球的概率为
，
．
因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4 轮比赛，分三种情况：
①4 轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为
．
②4 轮比赛中，有2 轮比赛甲、乙的进球数相同，有1 轮比赛甲比乙多进一个球，有1 轮比赛甲比乙少进
一个球，其概率为
．
③4 轮比赛中，有2 轮比赛甲比乙多进一个球，有2 轮比赛甲比乙少进一个球，且前2 轮比赛中甲或乙没
有连续2 轮比对方多进一个球，其概率为
0.0064.
故甲、乙两人最终平局的概率为
.
（3）
的所有可能取值为2，3，4．
，
，
7
.
的分布列为
2
3
4
0.17
0.17
0.66
.
题型4 离散型随机变量均值的性质
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)
＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y 的分布列为
Y
Ax1＋b
Ax2＋b
…
Axi＋b
…
Axn＋b
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋
b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
【例4】（25-26 高二下·江苏苏州·期中）已知随机变量X 的分布列如图：
X
0
1
p
a
则a=______；设
，则Y 的数学期望
=______.
【答案】
【详解】
；
8
.
【变式4-1】（2026 高三·全国·专题练习）已知随机变量
的分布列为
，又
的
均值
，且
______．
【答案】
【详解】因为
，可得
，即
．
又因为
，
联立方程
，解得
，所以
．
故答案为：
.
【变式4-2】（25-26 高三·重庆·月考）已知盒中有
个白球和
个黑球，一次性不放回地任取
个球，记
是摸到黑球的个数，则
______，若变量
，则
______．
【答案】
【详解】由题意可得
，
由题意可知，随机变量
的可能取值有
、、
，
则
，
，
，
9
所以
，
因为
，故
.
故答案为：
；.
题型5 两点分布问题
两点分布
两点分布的
概念
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
我们称X 服从两点分布或0－1 分布．
两点分布的
均值
如果随机变量X 服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
【例5】（2026·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4 位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学
只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为
，
，
，
，每位同学答对与否相互
独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3 位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2 分，答错题目得0 分，X 表示4 位同学得分之和，求X 的数学期望.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件
，
10
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件
，
，
故在小林答对的情况下，求恰有3 位同学答对题目的概率为
，
（2）设
表示第位同学的得分
，分别对应小林，小张，小陈，小王），
则
，
由数学期望的性质可知
，
对于
，答对得2 分，答错得0 分，
服从两点分布，
；
；
则
.
【变式5】（25-26 高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X 服从
分布，且
，
则
_________．
【答案】
/
【详解】∵随机变量X 服从
分布，且
，
∴
，
11
∴
，
所以
故答案为：
题型6 求离散型随机变量的方差和标准差
设离散型随机变量X 的分布列如表所示．
X
X1
X2
…
Xn
P
P1
P2
…
Pn
我们用X 所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率
的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝∑
i=1
n
(x i−E(X ))
2 pi为随机变量X 的方差
(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
【例6】（25-26 高三上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：
共进行5 轮比赛，每轮比赛每个班可以从
、
两个题库中任选1 题作答，在前两轮比赛中每个班的题目
必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，
题库每题20 分，
题库每题30 分，
一班能正确回答
、
题库每题的概率分别为
、
，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选
题库，后三轮选
题库，求其总分不少于100 分的概率；
(2)若一班在前两轮比赛中选了
题库，而且两轮得分60 分，后三轮换成
题库，设一班最后的总分为
，
求
的分布､期望及方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
，
12
【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得
分，后三轮得
分，总分为
分，
其概率为
，
若一班在前两轮得
分，后三轮得
分或
分，总分为
或
分，
其概率为
，
于是一班总分不少于
分的概率为
.
（2）依题意随机变量
的可能取值为
，
，
，
，
所以
，
，
，
．
所以
的分布列为：
60
80
100
120
所以
，
.
【变式6】（25-26 高二下·全国·课后作业）一个口袋中装有大小相同的2 个白球和4 个黑球．若采取放回
抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出
两个球，则摸出白球的个数的方差为________．
13
【答案】
【详解】“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为
．
所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
．
“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为
，
依题意得
，
，
．
所以
，
．
题型7 方差的性质
离散型随机变量方差的性质
1．设a，b 为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c 为常数)．
【例7】（25-26 高三·湖南·月考）已知随机变量
取所有的值
是等可能的，且
，则
________．
【答案】
【详解】由题意可得
，
14
则
，解得
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
【变式7-1】（25-26 高二·全国·课堂例题）已知
是离散型随机变量，
，
，
，
那么
______，
______．
【答案】 7 2
【详解】由期望和方差的运算性质知，
，
．
故答案为： 7；2.
【变式7-2】（25-26 高三·福建·期中）已知随机变量
的分布列为
，则
__________．
【答案】
【详解】随机变量
的分布列为
，
则其数学期望
，则方差
，
所以
.
15
故答案为：
.
题型8 决策问题
决策问题解题攻略
1.
设定随机变量表示收益、得分、成本或时长，确定其所有可能取值。
2.
依据题目条件计算每个取值对应的概率，规范写出分布列。
3.
计算数学期望E(X)，期望越大表示方案越优；如需判断稳定性，计算方差D(X)，方差越小越稳
定。
4.
结合期望与方差给出明确决策结论，完整书写作答步骤。
【例8】（2026 高三·南昌·月考）某科技公司推出“AI 艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10
天的运营数据，整理成如下图表：
客流量等级
小客流（A）
中客流（B）
大客流（C）
天数
3
5
2
日固定收入（元）
4000
10000
22000
设备“故障”概率
0.1
0.2
0.4
①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为
，严重故障的概率为
；
②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200 元；
③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000 元；
每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率．
(1)求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率；
(2)设该项目某一日的运营总损失为
（单位：元），
维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求
的分布列及
；
(3)项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的
，但每
日需额外支付系统使用费100 元，判断是否值得引入该系统，并说明理由．
16
【答案】(1)
；
(2)分布列如下表，
；
0
200
3000
6000
12000
(3)值得引入，因为期望总成本从578 元降至389 元
【解析】（1）由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为：
，
记某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障为事件
，
则其概率为
（2）该项目某一日的运营总损失
的可能取值为
，
当
时，当日设备没有发生故障，
；
当
时，当日设备发生轻微故障，
；
当
时，当日为小客流且发生严重故障，
；
当
时，当日为中客流且发生严重故障，
当
时，当日为大客流且发生严重故障，
所以
的分布列为：
17
0
200
3000
6000
12000
所以
（3）由于引入“故障预警系统”后，各客流量等级下的故障概率降至原来的一半，
故当客流量等级为小客流（A）时，设备“故障”概率为0.05；
客流量等级为中客流（B）时，设备“故障”概率为0.1；
客流量等级为大客流（C）时，设备“故障”概率为0.2；
设引入“故障预警系统”后，某一日的运营总损失为
（不含系统使用费100 元）
则
的可能取值仍为
，对应的概率分别为：
；
；
；
；
，
所以
所以引入系统后，每天的损失大约为
，
因此引入系统后期望成本降低，值得引入.
【变式8】（2026 高三·武汉·一模）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9 个
正品和1 个次品；乙箱中有8 个正品和2 个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽
出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，
18
则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为
.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检
验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
【答案】(1)
(2)
(3)方案一
【解析】（1）将首次检验选到甲箱记为事件
，选到乙箱记为事件
，首次检验抽到合格品记为事件
.
则首次检验抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
.
（3）将二次检验抽到合格品记为事件
.
由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
，
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率
.
19
.
从而，在首次检验通过，即事件
发生的条件下：
①若选择方案一，则
，
.
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率
.
所以在方案一下，检验通过的概率
；
②若选择方案二，则
，
.
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率
.
所以在方案二下，检验通过的概率
.
而
，故选择方案一检验通过的概率更大.
题型9 赛制问题
赛制问题解题攻略
1.
明确单场胜负概率、比赛总局数与赛制规则（如三局两胜、五局三胜）。
2.
按比赛结束的局数分类，用分类加法计数原理计算获胜概率。
3.
以获胜场数、得分或比赛局数为随机变量，求分布列、期望与方差。
4.
复杂赛制利用全概率公式分步拆解，清晰列式，避免重复或遗漏。
【例9】（2026 高三·浙江·开学考试）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先
20
胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是
，乙获胜的概
率是
．假设每局比赛结果互不影响．
(1)求比赛进行四局且甲获胜的概率：
(2)比赛结束时、甲、乙共进行了
局比赛，求
的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，
则所求概率
（2）由题意可知
的所有可能取值分别是3，4，5．
则
的分布列为
3
4
5
故
．
【变式9】（2026 高三·福建·一模）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3 局的学校
获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分
21
出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为
，乙校获胜的概率为
，在女
生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为
，乙校获胜的概率为
，每局比赛结果相互独立．
(1)求甲校以3:1 获胜的概率；
(2)记比赛结束时女生比赛的局数为
，求
的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为
，则
的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出
的概率分布及期望．
【解析】（1）解：甲校以
获胜的情况有：
①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，概率为：
，
②前两局男排比赛中甲1 胜1 负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，概率为：
，
甲校以
获胜的概率为：
；
（2）解：记比赛结束时女生比赛的局数为
，则
的可能取值为1，2，3，
，
，
，
的概率分布为：
22
1
2
3
所以
.
题型10 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式（定义+解题攻略）
定义：设随机变量X 的期望为E(X)=μ，方差为D(X)=σ²，则对任意正数ε，有
解题攻略：
1. 先计算随机变量的期望μ 与方差σ²；
2. 根据题目确定ε 的值，直接代入公式计算概率上界；
3. 用于概率区间估计、概率大小判断，高考多以选择、填空题出现。
【例10】（2026 高三·浙江·一模）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和
切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量
的期望
和方差
存在
但其分布未知的情况下，对事件“
”的概率作出上限估计，其中
为任意正实数．马尔科夫
不等式的形式如下：设
为一个非负随机变量，其数学期望为
，则对任意
，均有
，切比雪夫不等式的形式为：
，其中
是关于
和
的表达式，且
，由于记忆模糊，该同学只能确定
的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和
所学相关知识，确定该形式是（ ）
23
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得切比雪夫不等式的形式为
，
而由题得到
，
而由方差的定义得
，则
，
得到
的具体形式为
，故D 正确.
故选：D.
【变式10】（2026 高三·山东·月考）某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为500 元.根据历史
数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为：
x
0
10000
50000
0.95
0.04
0.01
(1)求每份保单的期望利润和方差；
(2)若保险公司卖出n 份保单，设总利润为
，求
的期望
和方差
；
(3)保险公司希望总利润为正的概率不低于
，利用切比雪夫不等式，求最小保单数量n；
(4)保险公司还希望平均每份保单的利润不低于100 元的概率不低于
，求最小保单数量n.
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)176188
(4)
【详解】（1）每份保单的利润
.
24
期望利润：
方差：
所以
（2）设
为第i 份保单的利润，则
独立同分布，
总利润
（3）要求
根据切比雪夫不等式：
要求
，即
令
，解得
25
因此，最小保单数量为176188.
（4）平均每份保单的利润为
，要求
即
，等价于
，
根据切比雪夫不等式：
令
，解得
因此，最小保单数量为2256.
题型11 马尔科夫链
马尔可夫链（定义+解题攻略）
定义：一种无后效性的随机过程，即下一状态的概率分布仅由当前状态决定，与之前状态无关。
解题攻略：
1. 设第n 次处于某状态的概率为Pₙ；
2. 利用全概率公式建立Pₙ 与Pₙ₋₁ 的递推关系；
3. 构造等比数列求出通项公式；
4. 可进一步求极限、判断状态趋势或计算期望
【例11】（2026 高三·江西·一模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的
基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国
26
数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第
次的状
态有关，与第
，
，
，⋯次状态无关.现有
，
两个盒子，各装有1 个黑球和1 个红球，现从
，
两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，记
盒子中红
球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
.则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设第
次操作后
盒子中恰有2 个红球的概率为
，则没有红球的概率为
.
由题意知，
，
，
因为
，所以
.
又因为
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.
所以
，
.
故选：A.
【变式11】（2026 高三·浙江·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工
智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”
的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口
袋中各装有1 个黑球和2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行
次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为
，恰有1 个黑球的概率为
．
(1)求
的值；
(2)求
的值（用
表示）；
27
(3)求证：
的数学期望
为定值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设恰有2 个黑球的概率为
，则恰有0 个黑球的概率为
．
由题意知
，
，
所以
．
（2）因为
，
所以
．
又因为
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列．
所以
，
．
（3）因为
①，
②．
所以①
②，得
．
28
又因为
，所以
．所以
．
所以
的概率分布列为：
0
1
2
p
所以
．
所以
的数学期望
为定值
一、单选题
1．（2026 高三·江西抚州·一模）下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）
A．到2025 年5 月1 日止，我国发射的卫星
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10 次，投中的次数
【答案】D
【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的，
对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意；
对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意；
对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意.
故选：D.
2．（2026 高三·山西大同·月考）已知随机变量
，
均服从两点分布，且
，
，
29
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由于
服从两点分布，且
，
因此
.
由全概率公式得
，
即
，
所以
，
由条件概率计算公式得
.
故选：D
3．（25-26 高三·全国·月考）为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知
识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7 道题（4 道多选题，3 道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机
抽取2 道题，再在剩下的5 道题中随机抽取1 道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设先抽取2 道题中多选题的题数为
，则
的可能取值为0，1，2，
可得
，
，
，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为
30
．
故选：C.
4．（25-26 高三·辽宁朝阳·月考）已知随机变量
的分布列如下：
0
1
2
若
，则
（ ）
A．
B．7
C．21
D．22
【答案】C
【详解】易知
，可得
；
又
，可知
，所以
，解得
，
因此
；
所以
.
5．（25-26 高三·全国·一模）若随机变量
服从两点分布，其中
，
，
分别为随机
变量
的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】随机变量
服从两点分布，其中
，所以
.
31
所以
，故A 选项结论正确；
，故C 选项结论正确；
，故B 选项结论正确；
，故D 选项结论错误．
故选：D.
6．（25-26 高三·广东清远·月考）已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是
，其中
，又
，
，随机变量X 的方差的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可得
，
所以随机变量
的期望为
，
则方差为
，
所以当
时，方差取得最小值，最小值为
.
故选：A.
二、多选题
7．（25-26 高三·河南南阳·期末）已知随机变量
，且
，则（ ）
32
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意可得
，
则
，
，
故A，C，D 均正确，B 错误．
故选：ACD.
8．（25-26 高三·辽宁朝阳·期末）现有编号
的
个学生，入座编号
的
个座位，设学
生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为
，已知
时共8 种坐法，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A.由条件可知，3 人错位排列有2 种方法，所以
，解得
，故
A 错误；
B.
表示4 人全部坐错，4 人全部坐错有
种方法，4 人的全部坐法有
种坐法，
所以
，故B 正确；
C.
，
，
，
,
所以
，故C 错误；
D.
，故D 正确.
故选：BD
9．（2026 高三·全国·月考）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、
33
球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能
性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为
，则（ ）
A．
的所有可能取值为1，2，3
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】依题意
的所有可能取值为1，2，3，
当
时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3 种选法；
当
时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有
种选法；
当
时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有
种选法．
则
，
，
．
．
．
故选：AC.
10．（2026 福建福州高三期中）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手
甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛
的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为
（
），有选手晋级所需要的比赛局
数的期望值记为
，则下列说法中不正确的是（ ）
A．打满三局结束比赛的概率为
34
B．
的常数项为
C．函数
在
上单调递增
D．
【答案】ABD
【详解】设实际比赛局数为
，则
的可能取值为
所以
，
，
因此三局结束比赛的概率为，则A 不正确；
故
由
知常数项为
，故B 不正确；
由
，故D 不正确；
由二次函数性质可得函数
在
上单调递增，
而
，所以函数
在
上单调递增，C 正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（2026 高三·江西萍乡·期末）有5 个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3 次，
35
每次取1 个球.记随机变量X 为取出的3 次球所对应的数字的极差，则X 的数学期望
______.
【答案】
/
【详解】由题意可知，
对于
，当3 次取到球上的数字仅有或5 时，则概率为
，
当3 次各取到1 次
且1 次
或3 或4，则概率为
，所以
；
对于
，当3 次取到数字仅有
或仅有
时，则概率为
，
当3 次各取到1 次
且1 次
或3，或当3 次各取到1 次
且1 次
或4，则概率为
，所以
；
对于
，当3 次取到数字仅有
或
或
时，则概率为
，
当3 次各取到数字恰好为
或
或
，则概率为
，所以
；
对于
，当3 次取到
或
或
或
时，则概率为
，
36
所以
；
对于
，当3 次取到相同数字时，则概率为
，所以
；
因此
，
，
，
，
.
所以
.
故答案为：
12．（2026 高三·浙江宁波·一模）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有
个红球、
个白球和
个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏
结束时取球次数为
，则
________________．
【答案】
【详解】
，
，
，
.
故答案为：
13．（2026 高三·辽宁鞍山·二模）已知随机变量X，Y 满足
，且随机变量X 的分布列如下：则随
37
机变量Y 的方差
等于_____.
0
1
2
【答案】
【详解】由随机变量的分布列的性质，得
，即
.
再由期望公式
，
所以
，
由方差的性质得
.
故答案为：
14．（2026 高三·天津南开·月考）一质点从
的顶点
出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时
终止，则质点
次运动过程中仅次经过顶点
的条件下，第
次回到顶点
的概率
____________，记
质点
次运动过程中经过顶点
的次数是
，则
____________．
【答案】
【详解】因为质点
次运动过程中仅次经过顶点
的情况有：
，
，
，
，
38
，
，
，共
种，
第四次回到顶点
有
种，所以质点
次运动过程中仅次经过顶点
的条件下，第
次回到顶点
的概率
.
记质点 4 次运动过程中经过顶点
的次数是
，
的所有可能取值为
，
质点4 次运动，共有
种情况，
当X=0 时，
，共有1 种情况，则
，
当X=1 时，
，
，
，
，
，
，
，共有7 种情况，
所以
，又
，
所以X 的分布列为：
，
故答案为：
，
.
四、解答题
15．（2026 高三·黑龙江·开学考试）甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标
号为0 的小球有1 个，标号为1 的有3 个，标号为2 的有
个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是
2 的概率是
.
39
(1)求
的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1 的概率；
(3)从两个袋子中各取一个小球，用
表示这两个小球的标号之和，求
的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为
，取到两个标号为2 的球的组合数为
.
则取到的标号都是2 的概率是
，
整理得
，解得
或
（舍去）.
（2）设事件
表示“其中一个标号是1”，事件
表示“另一个标号也是1”.
因为
，
，
所以
.
（3）
的可能取值为
，
因为从袋子中取个球，编号为
的概率分别为
，
所以
，
，
40
，
，
.
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
.
16．（2026 高三·江西·开学考试）联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n
，
的n 个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），
再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下：
①抽奖人首先选择一个箱子（记作k 号箱）．
②主持人会从剩下的
个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k
号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开．
③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择．
(1)设
，
，且主持人打开了3 号箱．现在给你一次重新选择的机会：
①策略一：若你仍然选择1 号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？
②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率
分析并说明哪种策略更优．
(2)设
，
，且主持人打开了5 号箱．定义随机变量X 为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的
箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则
．求X 的分布列及期望
．
(3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量
和
，有
，设
，
，
主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y 的方差
．验证Y 是否满足切比雪夫不等式对于
的情况．
41
【答案】(1)①中奖条件是1 号箱有奖，
；②选择2 或4 号箱均可，中奖概率为
.策略1 更优.
(2)分布列见解析；期望为
(3)Y 满足切比雪夫不等式对于
的情况
【分析】（1）利用古典概型计算策略1 的概率，结合列举法求对应事件的概率.
（2）明确
的取值，利用列举法求出
对应值的概率，可得
的分布列，再根据期望公式求期望.
（3）先求
，代入公式，计算验证即可.
【解析】（1）分析
，主持人打开3 号箱的情况
策略一：仍然选择1 号箱
已知
，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1 号箱，主持人打开3 号箱（空箱）。
若仍然选择1 号箱，中奖条件是奖品在1 号箱中。
最初主持人从4 个箱子选2 个放奖品，总共有
种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,3)，(2,4)，(3,4)。
因为主持人打开了3 号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，
(1,4)，(2,4)，共3 种。
其中奖品在1 号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2 种。所以仍然选择1 号箱中奖概率
。
策略二：改选其他箱子
剩下未被选（1 号）和未被打开（3 号已打开 ）的箱子是2 号和4 号。
由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3 种情况。
若改选，要中奖则奖品不能在1 号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2 号或4 号箱（因为(2,4)表示奖品
在2 和4 号箱 ）。
奖品在(2,4)这1 种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率
（选2 号或4 号其中一个，这里以整
42
体看改选后的中奖情况 ）。
对比
，
，策略一更优
（2）分析
，
，主持人打开5 号箱的情况
首先，
，抽奖人选2 号箱，主持人打开5 号箱（空箱）．
最初放奖品的总情况有
种：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
因为主持人打开5 号箱（空箱），所以排除
，
，
，
，剩下6 种情况：
，
，
，
，
，
．
求X 的分布列
X 为另一个未被打开且未被选择（2 号被选，5 号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号，
若奖品在已打开箱子（这里已打开5 号，若奖品有5 号才会
，但已排除含5 号的情况，所以X 取值
为1，3，4．
当
时：奖品分布为
，
，
，共3 种情况，概率
．
当
时：奖品分布为
，
（此时最小编号是3），共2 种情况，概率
．
当
时：奖品分布为
，共1 种情况，概率
．
X 的分布列：
X
1
3
4
P
43
．
（3）验证
，
时Y 是否满足切比雪夫不等式
首先，
，抽奖人选1 号箱，主持人从2，3，4，5，6 号箱中打开一个空箱，Y 表示打开的箱子号码．
先求
：Y 可能取值为2，3，4，5，6．计算
．
切比雪夫不等式要求验证
，这里
，
，
则
．
计算
，即
，
．
因为
，所以Y 满足切比雪夫不等式对于
的情况．
44
