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专题08 圆锥曲线常考题型全归纳
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题型01 直线和圆锥曲线的位置关系..........................................................................................................................1
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题.................................................................................................................3
题型03 中点弦问题（点差法）..................................................................................................................................6
题型04 直线过定点问题..............................................................................................................................................7
题型05 定点中的探究性问题......................................................................................................................................8
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题...........................................................................................................10
题型07 线段、角度、面积定值问题.......................................................................................................................12
题型08 圆锥曲线与向量结合....................................................................................................................................14
题型09 定直线问题....................................................................................................................................................15
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系
【解题规律·提分快招】
与
联立，两边同时乘上
即可得到
，为了方便叙述，将上式简记为
．该式可以看成一
个关于
的一元二次方程，判别式为
可简单记
．
同理
和
联立
，为了方便叙述，将上式
简记为
，
，可简记
．
与C 相离
；与C 相切
；与C 相交
．
注意：（1）由韦达定理写出
，
，注意隐含条件
．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y 轴上的椭圆，只需要把
，
互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x 轴的双曲线，只要把
换成
即可；
1
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焦点在y 轴的双曲线，把
换成
即可，
换成
即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用
判断根的关系，因为此情况下往
往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二
次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024 高三·全国·专题练习）（1）求双曲线
在点
处的切线方程；
（2）已知
是双曲线外一点，过P 引双曲线
的两条切线
，A，B 为切点，求直线AB
的方程．
2．（2024 高三下·全国·专题练习）已知点
为椭圆
上任意一点，直线
，
点F 为椭圆C 的左焦点．
(1)求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C 相切；
3．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，以
和
的准线上的
两点为顶点可以构成边长为
的等边三角形.
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
只有一个公共点，求直线的方程.
4．（23-24 高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
，且过点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
与双曲线C 的左支交于A，B 两点，求k 的取值范围.
5．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，以
和
的准线上的两点
为顶点可以构成边长为
的等边三角形．
(1)求
的方程；
(2)讨论过点
的直线与
的交点个数．
2
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6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线
，过
上点
作两条互相垂直的直线,
，与
的另一交点为
，
与
的另一交点为
.
(1)证明：
是双曲线；
(2)若
到直线
的距离为
，求直线
的方程.
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题
【解题规律·提分快招】
一、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
二、三角形面积问题
直线
方程：
三、焦点三角形的面积
3
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F2
F1
O
y
x
B
A
直线
过焦点
的面积为
注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
四、平行四边形的面积
C
D
H
O
y
x
B
A
直线
为
，直线
为
注意：
为直线与椭圆联立后消去
后的一元二次方程的系数.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·江西吉安·期末）在以
为原点的平面直角坐标系中，过点
且斜率存在的直线
4
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与椭圆
：
交于
两点，设
的中点为
．
(1)求直线与
的斜率之积；
(2)求
而积的最大值．
2．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，求
面积的最大值.
3．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点
满足：
．
(1)求动点E 的轨迹方程
；
(2)过
作直线交曲线
的y 轴左侧部分于A，B 两点，过
作直线交曲线
的y 轴右侧部分于
C，D 两点，且
，依次连接A，B，C，D 四点得四边形ABCD，求四边形ABCD 的面积的取值范围．
4．（24-25 高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线
的焦点为
，且
为
上不重合的三
点.
(1)若
，求
的值；
(2)过
两点分别作
的切线
与
相交于点
，若
，求
面积的最大值.
5．（24-25 高三下·山西晋中·开学考试）已知抛物线
的焦点为
，直线过点
交
于
，
两点，
在
，
两点的切线相交于点
，
的中点为
，且
交
于点
．当
垂直于
轴
时，
长度为
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若点
的横坐标为
，求
；
(3)设抛物线
在点
处的切线与
，
分别交于点
，
，求四边形
面积的最小值．
6．（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线
上任意一点
满足
．
(1)化简曲线
的方程；
(2)已知圆
（
为坐标原点），直线经过点
且与圆
相切，过点
作直线的
5
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垂线，交
于
、
两点，求
面积的最小值．
题型03 中点弦问题（点差法）
【解题规律·提分快招】
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1；y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：
．
(1)若直线
与双曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，且A，B 关于点
对称，求直线l 的方程．
2．（23-24 高三上·陕西商洛·期末）直线：
与抛物线
：
交于
，
两点，且
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线
与
交于
，
两点，且弦
的中点的纵坐标为
，求
的斜率．
3．（24-25 高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆
.
(1)求斜率为
的平行弦中点的轨迹方程;
(2)若过点
的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程;
(3)求过点
且被
点平分的弦所在直线的方程.
6
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题型04 直线过定点问题
【解题规律·提分快招】
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系
等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式
或者直线系方程
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线
的焦点为
，点
在直线
上，
是抛
物线
上两个不同的点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
的斜率为
，若
，证明：直线
过定点，并求定点坐标.
2．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知点
在离心率为
的双曲线
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
相交于
两点，
关于
轴的对称点为
，求证：直线
过
轴上的定点，
并求出该定点坐标．
3．（24-25 高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆
，椭圆
的短轴长的
，离心
率为
.过点
与
轴不重合的直线交椭圆
于不同的两点
，点
关于
轴对称.
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：直线
过定点.
4．（24-25 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线
的离心率为
，
，
分
别为其左、右焦点，P 为双曲线上任一点，
是双曲线在第一象限内的点，
的最小值是
．
7
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(1)过点
分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，求
四边形OAQB 的面积；
(2)若不过点Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点M，N，且满足
．证明：直线MN 过定点，并求
出该定点坐标．
5．（2024·云南·模拟预测）抛物线
的图象经过点
，焦点为
，过点
且倾斜角
为
的直线与抛物线
交于点
，
，如图．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)当
时，求弦
的长；
(3)已知点
，直线
，
分别与抛物线
交于点
，
．证明：直线
过定点．
6．（24-25 高三下·广西·开学考试）已知椭圆
上一动点P 到原点O 距离的最小值为
，最大值为
椭圆E 的左顶点为A，过A 的两条直线，
关于直线
对称，，
与椭圆的另
外一个交点分别为M，N，，
与y 轴分别交于为S，T.
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)求
的值;
(3)直线MN 是否过定点?如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由.
题型05 定点中的探究性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：
（
）的焦点为F，过点
且斜率为1 的直线
经过点F．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若A，B 是抛物线C 上两个动点，在x 轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB 经过点
8
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M 时，满足
？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知椭圆
的左焦点为（-1，0），点
为椭
圆
上一点，点
为椭圆
的左顶点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线
与椭圆
交于
，
两点，直线
，
分别与直线
交于
，
两点．
①求证：
为定值；
②以
为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由．
3．（23-24 高三下·广东深圳·期中）已知抛物线
的焦点为
，点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的动直线与
交于
两点，
上是否存在定点
使得
（其中
分别
为直线
的斜率）？若存在，求出
的坐标；若不存在，说明理由.
4．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线
的离心率
分别
为其两条渐近线上的点，若满足
的点
在双曲线上，且
的面积为8，其中
为坐标原点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过双曲线
的右焦点
的动直线与双曲线相交于
两点，在
轴上是否存在定点
，使得
为
常数?若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线
：
的实轴长为
，右焦点
到一条渐近
线的距离为1．
(1)求
的方程；
(2)过
上一点
作
的切线，与
的两条渐近线分别交于R，S 两点，
为点
关于坐标原点的
对称点，过
作
的切线
，
与
的两条渐近线分别交于M，N 两点，求四边形
的面积．
(3)过
上一点Q 向
的两条渐近线作垂线，垂足分别为
，
，是否存在点Q，满足
，
若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．
9
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6．（24-25 高三上·北京通州·期末）已知椭圆
，以椭圆
的一个焦点和短轴端点为顶
点的三角形是边长为2 的等边三角形.
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)斜率存在且不为0 的直线与椭圆
交于
两点，与
轴交于点
，点
关于
轴的对称点为
，直
线
交
轴于点
. 在
轴上是否存在定点
，使得
（
为坐标原点）？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题
【解题规律·提分快招】
一、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这
类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量
的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB 必过一
定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P 作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB 必过焦
点.
结论3 过圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB 已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0 的两条直线交圆锥曲线于A，B 两点，则kAB为
定值.
结论5 设点A，B 是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A，B 两点
的任意一点，直线PA，PB 的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b
2
a
2
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线
上的点到点
的距离比到直线
的距离小
10
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为坐标原点.直线过定点
.
(1)直线与曲线
仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线
与直线交于
两点，试分别判断直线
的斜率之和斜率之积是否为定值？并说明理
､
由.
2．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是
上一点，且点
到点
，
的距离之和为
．
(1)求
的方程；
(2)直线
与
交于
，
两点，记直线
，
的斜率分别为
、
．
①当
时，求
的值；
②当
变化时，试探究
是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆
与动圆
，满足
，记
与
公共点的轨迹为曲线T，曲线T 与x 轴的交点记为A，
点A 在点B 的左侧
(1)求曲线T 的方程；
(2)若直线l 与圆
相切，且与曲线T 交于
，
两点点
在y 轴左侧，点
在y 轴右侧
（ⅰ）若直线l 与直线
和
分别交于
，
两点，证明：
；
（ⅱ）记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
是定值.
4．（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知双曲线
的焦点到渐近线的距离为1，右
顶点到点
的距离是
.动圆
（点
为圆心）与
交于四个不同的点
，且直线
的斜
率分别为
.
(1)求
的方程.
(2)设直线
.
①判断点
是否在双曲线
上，并说明理由.
②若
，求直线
的一般式方程.
③试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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5．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．
的离心率为
，点
在双曲线C 上，过C 的左焦点F 的直线l 与C 的左支相交于A，B 两点，且l 分别交C 的两条渐近线
于M，N 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若O 是坐标原点，
，求
的面积；
(3)已知点
，直线AP 交直线
于点Q，设直线QA，QB 的斜率分别
，
，求证：
为定
值．
6．（24-25 高三上·福建南平·期末）已知椭圆
：
的左，右焦点分别为
，
，离心率为
.
(1)求
的标准方程；
(2)若
的左，右顶点分别为
，
，过点
作斜率不为0 的直线，与
交于两个不同的点
，
.
（ⅰ）若
，求直线的方程；
（ⅱ）记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，证明：
为定值.
题型07 线段、角度、面积定值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知动直线
与抛物线
相交于
两点，分别过
两点作抛物线
的切线
相交于点
，点
的轨迹曲线记为
与
相交于两点
（
邻近
）．
(1)求曲线
的方程；
(2)求证：对任意
的面积均相等．
2．（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知
为坐标原点，
为抛物线
：
的焦点，
是
上异于
的一点.
(1)已知点
到
的距离比到
轴的距离大1.
（i）求抛物线
的方程；
12
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（ii）经过点
的直线与抛物线
相交于
，
两点，若
，求的方程.
(2)过点
作抛物线
的切线，与
轴交于点
，证明：
平分
.
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆
：
，点
在
上，且
的焦距
为2，左焦点为
，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为原点，
为
上（除左、右端点外）一点，
的中点为
，直线
与直线
：
（直线
不过
和
）交于点
，过点
作
，交直线
于点
，证明：无论为何值，均有
．
4．（24-25 高三下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
是椭圆
的右顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设斜率为
且过
的直线与椭圆
交于
两点，求
的面积
(3)若过点
的直线
与椭圆
交
两点，直线
为
，设直线
和直线
分别与直线
交于
两点，求
的值.
5．（24-25 高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：
的右焦点为
，过
点F 的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点.当
轴时，
.
(1)若A 点坐标为
，B 点坐标为
，证明：
.
(2)在x 轴上是否存在定点M，使得
为定值?若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；
若不存在，请说明理由.
6．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线
的实轴长是虚轴长的2 倍，
焦点到渐近线的距离为
动直线l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M，N，其中点M 在第一象限，点N 在
第四象限，且与双曲线C 只有一个公共点
13
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(1)求双曲线C 的标准方程;
(2)证明：点P 为线段MN 的中点;
(3)过点P 分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF 的面积为定值，并求出该定
值.
题型08 圆锥曲线与向量结合
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·江西·阶段练习）已知双曲线
的右顶点为
，且它的一
条渐近线的方程为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
是双曲线
上异于顶点的一个动点，过点
作双曲线
的两条渐近线的平行线，与直线
（
为
坐标原点）分别交于点
，证明：
．
2．（24-25 高三上·北京西城·期末）已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率为
，
点
，
的面积为2.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线交椭圆
于点
，线段
的垂直平分线交
轴于点
，点
关于直线
的
对称点为
.若四边形
为正方形，求
的值.
3．（23-24 高三下·安徽亳州·期末）已知
为坐标原点，
是抛物线
上与点
不重合的
任意一点．
(1)设抛物线
的焦点为
，若以
为圆心，
为半径的圆
交
的准线于
两点，且
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的面积为
，求圆
的方程；
(2)若
是拋物线
上的另外一点，非零向量
满足
，证明：直线
必经过一个
定点．
4．（24-25 高三下·重庆南岸·阶段练习）椭圆
的离心率为
，椭圆上任意一点到右
焦点的最小距离为1，斜率为
的直线与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求
的范围；
(3)设
为
的右焦点，
为
上一点，且
．判断
、
、
是否成等差数列，如果
是，说明理由并求该数列的公差．
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线
经过点
，直线与抛物线
有两个不
同的交点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)若直线过点
，求直线的斜率
的取值范围；
(2)若直线过抛物线
的焦点
，交
轴于点
，求
的值；
(3)若直线过点
，设
，求
的值．
6．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线
，点
到
的两条渐近线距离之比为
，过点
的直线与
交于
两点，且当的斜率为0 时，
.
(1)求
的方程；
(2)若点
都在
的右支上，且与
轴交于点
，设
，求
的取值范围.
题型09 定直线问题
【解题规律·提分快招】
一、定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求
轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
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①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点
在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种
情况：
（1）
，即动点恒过直线
．
（2）
，即动点恒过直线
．
（3）
，即动点恒过直线
．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·广东清远·开学考试）椭圆C 的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点
和点Q
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)A、B 是椭圆C 的左、右顶点，过点
的直线l 与椭圆C 相交于M、N 两点（不与A、B 重合），直
线AM 与直线BN 相交于点G，求证：点G 在一条定直线上.
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知双曲线C 的中心为坐标原点，
是
的两个焦点，其中左焦点为
，离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)双曲线
上存在一点
，使得
，求三角形
的面积；
(3)记
的左、右顶点分别为
，过点
的直线与
的左支交于M，N 两点，
在第二象限，直线
与
交于点
.证明：点
在定直线上.
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线
，点
为抛物线
的焦点，过
作直线
分别
交抛物线
于点
和点
，如图所示．当直线的斜率为1 时，
．
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(1)求抛物线
的方程；
(2)延长
交于点
，延长
交于点
，求直线
的方程．
4．（24-25 高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆
（
）的离心率为
，
，
分别
是椭圆
的左，右焦点.过点
且斜率不为0 的直线l 与椭圆
交于A，B 两点.
的周长为8.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线l 的斜率为1，求线段AB 的长；
(3)若点P 在椭圆
上，且
，试问是否存在直线l，使得
的重心在y 轴上？若存在，请求出
直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
5．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系
中，O 为坐标原点，
，动点P 满足
，设点P 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线l 与曲线
在y 轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN 上取异于点M，N 的点D，
满足
．证明：点D 在定直线上．
一、解答题
1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，过焦点
作直线交抛物线
于
两点，
为抛物线
上的动点，且
的最小值为1.
(1)抛物线
的方程；
(2)若直线交抛物线
的准线于点
，求线段
的中点的坐标.
2．（24-25 高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆
的两个焦点分别为
，离心
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率为
，点
为
上一点，
周长为
，其中
为坐标原点．
(1)写出弦长公式.
(2)求
的方程；
(3)直线
与
交于
两点，求
面积的最大值；
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线
的虚轴长为
，离心率为
，
分别为
的左、右顶点，直线
交
的左、右两支分别于
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)记
斜率分别为
，若
，求
的值．
4．（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
(1)求
的方程;
(2)直线l 与
的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD 的斜率分别为
，
，且
（i）求证：直线l 过定点;
（ii）
，直线OP 与BD 交于点Q，判断并证明直线AQ 与BC 的位置关系.
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆
：
的离心率为
，右顶点
与
的上，下
顶点所围成的三角形面积为
．
(1)求
的方程；
(2)不过点
的动直线与
交于
，
两点，直线
与
的斜率之积恒为
，证明直线过定点，并求
出这个定点．
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线
的左、右顶点分别为
，
，左、右焦
点分别为
，
，
，且
的渐近线方程为
，直线交双曲线
于
，
两点.
(1)求双曲线
的方程；
(2)当直线过点
时，求
的取值范围.
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7．（2024·山西·模拟预测）在以
为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线
：
的
虚轴长为4，一条渐近线方程为
，直线：
交双曲线
于
、
两点
，
为直线上一点且
.点
为直线与
轴的交点.
(1)求双曲线
的方程和焦距；
(2)若线段
上一动点
满足
，求直线
与
的斜率之积.
8．（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆
的左焦点为
，过点
的直线交
于
，
两点，分别过点
作的垂线，交
分别于
两点（异于
两点）.当的斜率不存在时，
四边形
的面积为6.
(1)求
的标准方程；
(2)证明：
.
9．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系
中，两定点
，
，直线
，
相
交于点
，且它们的斜率之积是
.
(1)求点
的轨迹方程
，并指出
的形状.
(2)若直线
与点
的轨迹交于
，
两点，求证：直线
与直线
的交点
在定直线
上.
10．（23-24 高三下·河南南阳·期末）已知双曲线
的实轴比虚轴长2，且焦点到渐
近线的距离为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若动直线与双曲线
恰有1 个公共点，且与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
两点，
为坐标
原点，证明：
的面积为定值.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲线M 上，且
．
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(1)求双曲线M 的方程；
(2)记
的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M 上存在相异两点
关于直线l 对称，并求出
（E 为
的中点）的值．
12．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在
双曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
13．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆
的左焦点是抛物线
的焦点，且过
点
．
(1)求
的方程及离心率；
(2)已知
为坐标原点，过
的左，右顶点
作直线分别交
于
点，且直线
的斜率与直线
的斜率之比为
，过点
作
于点
，问
轴上是否存在定点
，使
为定值？若存在，求出定
点
的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25 高三上·湖北襄阳·期末）已知椭圆
的焦点
在
轴上，焦距为4，点
在椭圆
上，
过点
的直线交椭圆
于
两点．
(1)求椭圆
标准方程；
(2)若直线
与坐标轴不垂直，在
轴上是否存在点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的
坐标，若不存在，请说明理由．
15．（24-25 高三上·上海·期中）已知椭圆
的离心率为
，且过点
．直线
交
于
，
两点．点
关于原点的对称点为
，直线
的斜率为
，
(1)求
的方程；
(2)证明：
为定值；
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(3)若
上存在点
使得
，
在
上的投影向量相等，且
的重心在
轴上，求直线AB 的方程．
16．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆
的短轴长为
，且离心率为
.
(1)求C 的方程.
(2)过点
作斜率不为0 的直线与椭圆C 交于S，T 不同的两点，再过点
作直线ST 的平行线与椭
圆C 交于G，H 不同的两点.
①证明：
为定值.
②求
面积的取值范围.
17．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知双曲线
的离心率为
，左、右顶点分别为
，过点
的直线与
的右支交于
两点．
(1)求
的方程；
(2)证明：直线
与
的斜率之比为定值．
18．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线
，动直线与抛物线
交于
，
两点，分
别过点
、点
作抛物线
的切线和
，直线与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
, 和
相交于点
．当点
为
时，
的外接圆的面积是
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线的方程是
，点
是抛物线
上在
，
两点之间的动点（异于点
，
），求
的取值范围；
(3)设
为抛物线
的焦点，证明：若
恒成立，则直线过定点
19．（2024·上海松江·一模）已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，斜率为
的直线与椭圆
有两个不同的交点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线的方程为：
，椭圆上点
关于直线的对称点
（与
不重合）在椭圆
上，求的值；
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(3)设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，若点
和点
三点共线，求
的值.
20．（23-24 高三上·云南保山·期末）已知椭圆
：
（
），且椭圆
的长轴长为4，离
心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，
，现过点
的直线分别交椭圆于
，
两点，且
直线交线段
于点
，试判断
与
的大小，并说明理由.
21．（2024·四川德阳·模拟预测）已知抛物线
：
，过点
的直线交
于
，
两点.
(1)若
，求的斜率；
(2)分别过
，
作
的切线，相交于点
.
①判断
的形状，并证明；
②记
，连接
，
并延长，与
交于点，点
，求
面积的最小值.
22．（23-24 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知点
，圆
，点
是圆
上的任意一
点.动圆
过点
，且与
相切，点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若与
轴不垂直的直线与曲线
交于
、
两点，点
为与
轴的交点，且
，若在
轴上存在异于点
的一点
，使得
为定值，求点
的坐标；
(3)过点
的直线与曲线
交于
、
两点，且曲线
在
、
两点处的切线交于点，证明：在定直
线上.
23．（24-25 高三上·浙江丽水·期末）已知
分别为椭圆
的左，右焦点，
为
的上顶点，点
为椭圆
上的一个动点，且三角形
面积的最大值为1，焦距为2.
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(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点
作两直线
分别与椭圆
相交于点
和点
.
（i）若点
不在坐标轴上，且
，求直线的方程；
（ii）若直线
斜率都存在，且
，求四边形
面积的最小值.
24．（2024·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，双曲线C：
的渐近线方程为
．
(1)求C 的标准方程；
(2)过点
的直线l 交C 于M，N 两点，交x 轴于Q 点．若
，问
是否存在？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
25．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离与到直线
的距离
之比为
，记
的轨迹为曲线
，直线交
右支于
，
两点，直线
交
右支于
，
两点，
．
(1)求
的标准方程；
(2)证明：
；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面
积的取值范围
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