文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数
，对任意实数
，使得不等式
恒
成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】不等式
等价于
即
，
原命题等价于存在实数
，
，对任意实数
不等式
恒成立，
等价于存在实数
，
，不等式
成立，
记
，则
，
（1）当
时，对任意
，
恒成立，即
在
上单调递减
①当
，即
时，
，
②当
，即
时，
，
从而当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
；
（2）当
时，令
，解得
，
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
①当
时
，此时
，
当
即
时，
，
当
即
时，
，
从而当
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增,
所以
；
令
，则
，
，记
，
则
，
当
时，
恒成立，
即
在区间
上单调递减，即
，
即
；
②当
时
，此时
，
当
即
时，
，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
即
时，
，
从而当
时，
，
则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
；
（3）当
时，对任意
，
恒成立，即
在
上单调递增，
①当
，即
时，
，
②当
，即
时，
，
从而当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
；
综上所述，
，
所以
.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集 ．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若
恒成立，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，则
，不符合题意；
当
时，
，
恒成立，
即
恒成立，
设
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
故当
时，
取得最大值
，
所以
，解得
，
故选：C．
3．（2023·江西九江·统考一模）若对
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由已知得：
，由
，得
即
，可得
．
令
，
，则
，
求导得
，
，解得
；
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时
；当
时，
，函数图像如图所示．
，
，
，
由
及
的图像可知，
恒成立，即
成立，
而
，
，实数
的取值范围是
.
故选：C．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，若对于任意的
，都有
，则
实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于任意的
，都有
，即
，
令
，
则
，且对于任意的
，都有
.
①当
时，
，
，所以
，
所以
在
上单调递减，所以
，符合题意；
②当
时，令
，则
，令
，得
.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，则
，
所以当
时，
在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，
所以
在
上单调递增，所以
，这与
矛盾，不符合题意；
当
时，则
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，
，符合题意.
综上，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)
恒成立⇔
；
恒成立⇔
；
能成立⇔
；
能成立⇔
.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数
，当
时，恒有
，则实数t
的取值范围 ．
【答案】
【详解】因为
时，恒有
，所以
，
即
恒成立.
设
，则
，且
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
，
所以当
时，
，
在
单调递减；当
时，
，
在
单调递增；
所以
，
所以
在
恒成立，故
在
单调递增，
所以
恒成立，即
，所以
恒成立，
令
，则
，
，
所以当
时，
，
在
单调递增；当
时，
，
在
单调递
减；所以
.
所以
.
故答案为：
.
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数
在
时有极小值.曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)若对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
，
在
中，
，
在
时有极小值.曲线
在点
处的切线方程为
.
∴
即
，
，
，
当
时，
在
上单调递增.
当
时，
在
上单调递减.
当
时，
在
时有极小值.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
符合题意，即为所求.
（2）由题意及（1）得，
，
在
中，
，即
对任意实数
恒成立，
设
，则
.
当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
当
时，
，则
，故
在
上单调递减；
当
时，
，则
，
故
时
有极小值，也就是
的最小值
，
故
即为所求.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法判断函数单调性，导数法解决函数恒成立问题，构造
函数法，考查学生的计算能力和逻辑思维能力，具有很强的综合性.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)
【详解】（1）当
时，
，则
，
由
，得到
，又
，当
时，
，
时，
，
所以
在
处取到极小值，极小值为
，无极大值.
（2）由
恒成立，得到
恒成立，即
恒成立，
又
，所以
恒成立，
令
，则
，
令
，则
恒成立，
即
在区间
上单调递减，
又
，所以当
时，
，
时，
，
即
时，
，
时，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，所以
，即
，
所以，实数
的取值范围为
.
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二
是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知
，且
恒成立，则k 的值不可以是（
）
A．－2
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【详解】由
，知
，
，则
，即
，
令
，则
，令
，则
，
函数
在
上单调递增，于是
，即
，
从而
，令
，则
，
则当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
因此
在
时取得最小值2，即
，
所以
，即
可取
，不能取4.
故选：D
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】不等式
在
上恒成立，
两边同除
得
在
上恒成立，
令
，则
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
令
，
，
即
在
上恒成立，
所以只需
即可，
令
，则
，
令
，则
在
上恒成立，
单调递增，
又因为
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
故选：B
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知
，
为实数，不等式
在
上恒成立，则
的最小值为（ ）
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
【答案】C
【详解】设
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
此时，
在
不恒成立，不合题意
当
时，
时，
，函数在
上单调递增，
时，
，函数在
上单调递减，
所以
在
时取得最大值，
由题意不等式
在
恒成立，只需
即
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
，
设
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
所以
在
取得最小值为
，
所以
最小值为
，
故选：C
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，则
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】已知
，
当
时，
成立；
当
时，
恒成立或
恒成立；
即
恒成立或
恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
当
时，
成立或
成立；
当
时，
成立或
无解；
当
时，
恒成立或
恒成立；
即
恒成立或
恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最小值.
设
单调递减；
无最小值.
当
时，
恒成立或
成立；
当
时，
成立；或
无解；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
.
故选：BD .
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数
，若
恒成立，则实数的可能
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】
，
故
恒成立，转化成
恒成立，
记
，则
在
单调递增，故由
得
，
故
恒成立，
记
，故当
时，
单调递减，当
时，
单调递
增，故当
时，
取最大值
，
故由
恒成立，即
,故
，
故选：AD
6．（2023·海南·模拟预测）若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的值可以为
（ ）
（附：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当
时，
恒成立；
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
恒成立，即
恒成立，
在
上单调递增，
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，即实数
的取值范围为
.
，
，
，
.
故选：BD.
三、填空题
7．（2023 上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数
，若
对
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】易知
，由
可得
，
即
，则有
，
设
，易知
在
上单调递增，
故
，所以
，即
，
设
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则有
，解之得
．
故答案为：
.
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数
，
，若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】
，则
，
则
时，
，
单调递增.
时，
恒成立，即
恒成立，
则
在
上恒成立，
则
即
在
上恒成立，
令
，
，则
则当
时，
，
单调递减；
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
单调递增.
则当
时
取得最小值
，则
则实数
的取值范围是
故答案为：
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数
（其中为自然对数的底数）．
(1)当
时，讨论函数
在
上的单调性；
(2)若对一切
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)函数
在
上单调递减，在
上单调递增
(2)
【详解】（1）当
时
，则
．
记
，则
．
令
，得
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
上单调递减，在
上单调递增．
又
，
，
，
所以当
时，
；当
时，
．
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）当
时，
恒成立，即
恒成立．
①当
时，
，此时
．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②当
时，
，即
记
，
，则
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，所以
，
综上可知，实数m 的取值范围为
．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线方程为
，求实数a，b 的值；
(2)若
，对任意的
，且
，不等式
恒成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
由曲线
在
处的切线方程为
，得
，解得
，
，
所以
，
.
（2）当
时，函数
，求导得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
不妨设
，则
，
，
不等式
恒成立，即
恒成立，
则
恒成立，设
，
于是
，
恒成立
则
在
上单调递增，于是
在
上恒成立，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
在
上恒成立，
，当且仅当
时取等号，因此
，
所以m 的取值范围为
．
11．（2023 下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数
．
(1)当
时，讨论
在区间
上的单调性；
(2)若当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）设
，由题意知当
时，
．
求导得
．
设
，则
，
令
，则
，当
当
故函数
在
单调递增，在
单调递减，所以
；
令
，可得
，故
在
单调递增时，
．
所以当
时，
．
故
在
上单调递增，
当
时，
，且当
时，
．
若
，则
，函数
在
上单调递增，
因此
，
，符合条件．
若
，则存在
，使得
，即
，
当
时，
，则
在
上单调递减，此时
，不符合条件．
综上，实数
的取值范围是
．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数
．
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当
时，求
的零点；
(2)讨论
在
上的最大值；
(3)是否存在实数
，使得对任意
，都有
？若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)存在，
的取值范围是
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
又因为当
时
，
，
，
所以
仅有一个零点，
.
（2）
，令
，解得
，
在区间
内，
单调递
增
极大值
单调递减
当
（即
）时，在
上
单调递减，
，
当
（即
）时，在
上
单调递增，
，
当
（即
）时，在
上
单调递增，在
上
单调递减，
．
综上所述，当
时，
的最大值为
，当
时，
的最大值为
，当
时，
的
最大值为
.
（3）由（2）知在
上，
，
构造函数
，由题意应使
，
，令
，解得
．
1
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
单调递减
极小
值
单调递增
所以
，
所以使
的实数
只有
，即
的取值范围是
．
19
