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专题05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一
个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成
立，则只需
．
③求最值.
二、典型题型
1．（2024·全国·模拟预测）不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到
，根据
，得出
，从而得解.
【详解】
，即
，
设
，
则
，令
得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，
则
，当且仅当
时，取等号，
又易知
单调递增，
，
，
所以
在
上存在唯一零点，故
，
又
恒成立，则
.
1
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故答案为：
．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间和极值；
(3)若对任意
，有
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
的单调递减区间为：
；递增区间为：
，
的极大值为
，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
，
，
所以切线方程为
．
（2）当
时，
，
．
令
，
，
故
在R 上单调递减，而
，因此0 是
在R 上的唯一零点
即：0 是
在R 上的唯一零点
当x 变化时，
，
的变化情况如下表：
x
0
0
极大值
的单调递减区间为：
；递增区间为：
2
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的极大值为
，无极小值
（3）由题意知
，即
，即
，
设
，则
，
令
，解得
，
当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
所以
，
所以
3．（2024·浙江丽水·二模）设函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数
，恒有
，求实数
的取值范围.（其中
是
自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得
在
上恒成立，设
，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到
且
，利用导数求出
的范围，即可求出
的范围.
【详解】（1）当
时
定义域为
，
且
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
3
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又
，所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）函数
定义域为
，
依题意
在
上恒成立，
设
，
，则
，
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
且当
时
，当
时
，
所以
使得
，即
，
所以
，
则当
时
，即
单调递减，
当
时
，即
单调递增，
所以
，
令
，则
且
，
所以
为增函数，
由
，所以
，
又
与
均为减函数，所以
在
上单调递减，
所以当
时
，
所以实数
的取值范围为
.
4．（2024·山西长治·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
4
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【答案】(1)0；
(2)
.
【分析】（1）当
时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当
时，不等式恒成立，当
时，利
用导数探讨存在实数使得
得解.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，求导得
，
显然函数
在
上单调递增，而
，
则当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值
.
（2）函数
的定义域为
，
当
时，
，
，则
，
由（1）知，
，
，而
，即有
，
因此
恒成立，此时
；
当
时，
，由（1）知，函数
在
上单调递减，在
上单调递
增，
则
，而
恒成立，不等式
不恒成立，
所以实数a 的取值范围是
.
5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；
（2）先将不等式变形，将条件转化为
对
恒成立，再通过导数研究
的单调性即知
的取值范围.
5
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【详解】（1）当
时，
，
可得
，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由条件知
，即
，即
，即
，
当
时，不等式恒成立；
当
时，我们有
．
所以命题等价于
对
恒成立，
令
，则：
，
而当
时，
，故，
当
时，
，故
在区间
上单调递增；
当
时，
，故
在区间
上单调递减，
所以
．
综上所述，实数
的取值范围为
．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
.
(1)求
时，
在
处的切线方程；
(2)讨论
在
上的最值情况；
(3)
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
6
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【分析】（1）由已知，求出
，再求出
和
，再由点斜式写出方程；
（2）对求
导，得到导函数等于0 时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论
在
上的最值情况；
（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出
，从而得到的参数的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，
，
又当
时
，所以
在
处的切线方程为：
.
（2）由
得
①当
，即
时，
在
上单调递增，函数
无最值；
②当
，即
时，由
，
解得
，
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小
值
单调递增
由
得
，
③当
，即
时，
，且
时，
时，
，此时
无最值；
④当
，即
时，
，且
时，
时，
，所以
有最小值，无最大
值.
综上可知，当
时，
有最小值，无最大值；当
时，
无最值.
（3）由
，
，
，
所以
是
在
处的切线，
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若
，则当
，且
时
所以此时
，所以存在
x 使得
，不符合条件；
当
时，
设
现证明
，
得
，故
在
上单调递增，在
上单调
递减，
所以，当
时，
，
当
或
时，
，所以成立.
综上，实数
的取值范围是
.
三、专项训练
一、单选题
1．（2022·福建南平·三模）对任意的
，当
时，
恒成
立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数
，再借助函数单调性、最值求解作
答.
【详解】依题意，
，令
，
，
则对任意的
，当
时，
，即有函数
在
上单调递减，
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因此，
，
，而
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将原不等式变形为
，令
，根据题意和函数的单调性可知
在
上恒成立，进而得出结果.
【详解】依题意，
，
则
（*）．
令
，则（*）式即为
．
又
在
上恒成立，
故只需
在
上单调递增，
则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，解得
．
故选：D.
3．（2024 高二·江苏·专题练习）已知函数
，若对任意两个不等的正数
，
，都有
恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将已知条件转化为
时
单调递增，利用导数结合参数分离的
方法求出a 的取值范围．
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【详解】对任意
都有
恒成立，不妨设
，
则不等式变形为
，
设函数
，该函数在定义域的任意子区间内不是常函数，
则
，
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
，当
时恒成立，
，当
时恒成立，
，
故选：A
4．（2024·广西·模拟预测）已知
，设函数
，若关于
的不等
式
在
上恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由二次函数性质及不等式恒成立易得
，当
时对
求导研究单调性求
最小值，结合恒成立求参数范围即可.
【详解】当
时，
的开口向上且对称轴
，
此时
，要使
恒成立，则
，
当
时
，
上
，即
递减，
上
，即
递增；
所以
，要使
，则
，即
，故
；
综上，
的取值范围为
．
故选：C
5．（2024 年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（五））已知函数
，若关于x 的不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】方法一：利用导数研究函数
的单调性，结合题意得
，等
价变形得
，设
，利用单调性得
，求解
值域即可得解；方法二：原不等式化为
，利用反函数性质得
，分离参数，构造函数
，利用导数求解最值即可求解；方法三：
原不等式化为
，构造函数
，利用导数研究函
数单调性，即可转化为
，分离参数，构造函数
，利用导数求解最
值即可求解.
【详解】方法一：
，显然
在
上单调递增，
故存在唯一的
，使得
，即
，
且当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
因此
的最小值为
，
则
，即
.
对
两边取对数得
，则
，
代入
得
.
设
，则
，
所以
在
单调递减且
，
可知不等式
的解为
，
因此
.
又
，则
.
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方法二：
即
，即
，
而
与
互为反函数，
根据互为反函数的函数图象关于直线
对称，问题转化为
即可，
即
恒成立.
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
故
，即得
.
方法三：
，
构造
，则转化为
.
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
有极小值
，且
，
则
转化为
，
即
，设
，则
，
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
故
，即得
.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问
题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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6．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对不等式分离参数得到
，令
，构造函数
，
，则
，通过导数研究
单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式
恒成立，且
，
分离参数得
，所以
，即
，
设
，得
，
，设
，
，则
.
，由
得
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
所以
.
所以
.
故选：C.
7．（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的
，且
，都有
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
变形为
，构造函数
，可判
断
在
上单调递减，进而利用导数求出
的递减区间，列出不等式，即可得答
案.
【详解】由题意知
，且
，
故
，即
，
13
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故
，令
，则
在
上单调递减，
又
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
故
，则
，
即
的最小值是
，
故选：B
8．（2024·陕西·二模）
，有
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】参变分离可得
在
上恒成立，令
，
，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为
，有
恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
，
则
，
令
，得
，当
时，
，故
在
上单调递增，
当
时，
，故
在
上单调递减，
则
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
14
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故选：C．
二、多选题
9．（23-24 高二下·宁夏·阶段练习）设函数
，若不等式
对任意的
恒成立，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】求得
，得到函数
的单调性，把
转化为
在
上恒成立，结合二
次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因为
，且
，则
且
，
所以不等式
，
即为
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，当
时，可得
，
所以
，解得
，即
，
结合选项，可得选项C、D 符合题意.
故选：CD.
10．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
，在其图象上任取两
个不同的点
，
，总能使得
，则实数a 的取值可
以为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】BCD
【分析】根据
结合
，可得出
，可知函
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数
在
上为增函数，可得出
，结合参变量分离法可求得实
数
的取值范围.
【详解】由
以及
，
，
所以
，
构造函数
，则
，
所以函数
在
上为增函数，
由于
，则
对任意的
恒成立，
由
，可得
，
当
时，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
，因此实数
的取值范围是
.
故A 错误，BCD 正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24 高二下·浙江·期中）已知不等式
在
上恒成立，则
的取
值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式
转化为
，构造函数
，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为
，设
，求导
讨论单调性得最值，即可打求得
的取值范围.
【详解】
整理得
，即
，
设
，则
恒成立，所以
在
上单调递增，
则由不等式
即为
恒成立，所以
在
上恒成
立，
故
，设
，则
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，则
，符合题意；
当
时，
时，
，
单调递减，
时，
，
单
调递增，
则
，解得
；
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综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
12．（2024·全国·模拟预测）不等式
在
上恒成立，则实数a 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到
，根据
，得出
，从而得解.
【详解】
，即
，
设
，
则
，令
得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，
则
，当且仅当
时，取等号，
又易知
单调递增，
，
，
所以
在
上存在唯一零点，故
，
又
恒成立，则
.
故答案为：
．
13．（22-23 高二下·广东深圳·期中）已知函数
，若
恒成立，
则实数
的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数最小值，依题意
，即可得到关
于
的不等式，解得即可．
【详解】∵
的定义域为
，
∴
，
令
，
，
又易知
在
上单调递增，
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又
，
，
∴
，使得
，
∴
时
，即
单调递减；
当
时
，即
单调递增；
∴
的最小值为
，
∵
，∴
，
，
∴
的最小值为
，
又
恒成立，
∴
，∴
，
故实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
四、解答题
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数
（
），
(1)讨论函数
的零点个数；
(2)若
恒成立，求函数
的零点
的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)
.
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按
分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨
单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数
的定义域为R，求导得
，而
，
由
得
，由
得
，因此函数
在
上递减，在
递增，
又当
时，
恒成立，
，因此函数
在
存
在唯一零点，
所以函数
的零点个数是1.
（2）由（1）知函数
存在唯一零点
，且
，
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①当
时，
，由
得：
，即
，
设
，求导得
，
在
上单减，则
，解得
；
②当
时，由
得：
，即
，
设
，求导得
，而
，
则
，
在
上单增，则
，解得
，
综上得
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．（2024·浙江丽水·二模）设函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数
，恒有
，求实数
的取值范围.（其中
是
自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得
在
上恒成立，设
，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到
且
，利用导数求出
的范围，即可求出
的范围.
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【详解】（1）当
时
定义域为
，
且
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）函数
定义域为
，
依题意
在
上恒成立，
设
，
，则
，
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
且当
时
，当
时
，
所以
使得
，即
，
所以
，
则当
时
，即
单调递减，
当
时
，即
单调递增，
所以
，
令
，则
且
，
所以
为增函数，
由
，所以
，
又
与
均为减函数，所以
在
上单调递减，
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所以当
时
，
所以实数
的取值范围为
.
16．（2024·山西长治·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)0；
(2)
.
【分析】（1）当
时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当
时，不等式恒成立，当
时，利
用导数探讨存在实数使得
得解.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，求导得
，
显然函数
在
上单调递增，而
，
则当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值
.
（2）函数
的定义域为
，
当
时，
，
，则
，
由（1）知，
，
，而
，即有
，
因此
恒成立，此时
；
当
时，
，由（1）知，函数
在
上单调递减，在
上单调递
增，
则
，而
恒成立，不等式
不恒成立，
所以实数a 的取值范围是
.
17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)递增区间为
，递减区间为
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(2)
【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；
（2）可借助
，得到
，在
的情况下，借助
，从而构造函数
，结合该函数的单调
性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到
对任意的
恒成立，
通过研究
得解.
【详解】（1）当
时，
，其定义域为
，
，
令
，得
（
舍去），
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减．
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）方法1：由条件可知
，于是
，解得
．
当
时，
，
构造函数
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，于是
，
因此实数m 的取值范围是
．
方法2：由条件可知
对任意的
恒成立，
令
，
，只需
即可．
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
于是
，所以函数
在
上单调递增，
所以，于是，因此实数m 的取值范围是．
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