学科网（北京）股份有限公司
处理导数解答题的八种常用方法
一、方法：
1. 列表
根据导函数正负，推导原函数的单调性，列表求极值和最值。
2. 分类讨论
导函数最常用的方法，对参数进行分段讨论。
3. 分离参数
对于恒成立问题和能成立问题，避免复杂的分类讨论，将参数分离出来，构造新函数求最值。
4. 洛必达法则
对于端点值取不到的情况，使用洛必达法则，大题可以直接使用。
5. 两边取对数
指数型的不等式或者连乘的不等式，可以两边取对数，利用对数运算降低运算级别。
6. 变换主元
若导数问题中含有双变量，根据简单原则确定主元。
7. 设而不求
导数零点无法确定的隐零点问题，采用设而不求的方式设出零点，根据方程整体代换，再利用零点
存在定理逐步逼近零点。
8. 二阶求导
对于导函数无法判断正负的情况，可以尝试二次求导或者多次求导，再根据图像依次倒推出原函数
的单调性。
1
学科网（北京）股份有限公司
二、例题：
分离参数+列表
1.已知函数
.
⑴若
，求
的单调区间；
⑵已知
是
的两个不同的极值点，且
，若
恒成立，求实
数b 的取值范围。
解：⑴
，
或1
令
，解得
令
，解得
，
的增区间为
；减区间为
，
⑵
，即
由题意两根为
，
，又
且△
，
.
设
，
或
2
+
0
0
+
极大值
极小值
又
，
，
，
.
2
( )
(
)
x
f x
x
a e
3
a
( )
f x
1
2
,
x x
( )
f x
1
2
1
2
|
| |
|
x
x
x x
3
2
3
3 ( )
3
2
f a
a
a
a
b
2
3,
( )
(
3)
x
a
f x
x
e
2
( )
(
2
3)
0
x
f
x
x
x
e
3
x
( )
0
f
x
(
, 3)
(1,
)
x
( )
0
f
x
( 3,1)
x
( )
f x
(
, 3),(1,
)
( 3,1)
2
( )
(
2
)
0
x
f
x
x
x
a e
2
2
0
x
x
a
1
2
,
x x
1
2
1
2
2,
x
x
x
x
a
1
2
1
2
|
| |
|
x
x
x x
2
2
a
4
4
0
a
1
2
a
3
2
2
3
2
3
3
( )
3 ( )
3
3(
)
3
2
2
a
g a
f a
a
a
a
a
a e
a
a
a
2
1
5
( )
3(
1)(
1)
0
2
a
g a
a
a
e
a
0
a
a
( 1,0)
0
5
1
(0,
)
2
5
1
2
5
1
(
,2)
2
( )
g a
( )
g a
(2)
g
(0)
0
g
2
(2)
6
8
g
e
2
max
( )
6
8
g a
e
2
6
8
b
e
2
学科网（北京）股份有限公司
二、分离参数+洛必达法则
2.已知函数
,（其中
R, 为自然对数的底数）.
(1)当
时,求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
≥1 时,若关于
的不等式
≥0 恒成立,求实数
的取值范围.
(3)当
≥1 时,若关于
的不等式
≥0 恒成立,求实数
的取值范围.
解：（1）当
时，
,
,
,
切线方程为
．
（2）[方法一]
设
,则
,
在
上为增函数,
≥
,
,
在
上为增函数,
≥
,
≤
．
[方法二]
,
,
设
,
,
≥0,
≥0,
在
上为增函数,
≥
.（如何判断其符号？由已知
恒成立有
）
又
≥0 恒成立,
≥0,
≤
,
≥
,
,
在
上为增函数, 此时
≥
≥0 恒成立,
≤
．
（改x≥0 时，
≥0 恒成立.
≤1）
1
2
)
(
2
ax
x
e
x
f
x
a
e
0
a
)
(x
f
y
))
0
(
,0
(
f
x
x
)
(x
f
a
x
x
)
(x
f
a
0
a
1
2
)
(
2
x
e
x
f
x
x
e
x
f
x
)
('
1
)
0
('
,0
)
0
(
f
f
x
y
1
2
)1
(
)
(
2
x
e
x
x
x
0
)1
(
)
('
x
e
x
x
)
(x
)
,1[
)
(x
0
2
1
)1(
0
1
2
)1
(
)
('
2
2
x
x
e
x
x
g
x
x
x
e
x
g
x
1
2
)
(
2
)
,1[
)
(x
g
2
3
)1(
e
g
a
2
3
e
1
2
)
(
2
ax
x
e
x
f
x
a
x
e
x
f
x
)
('
a
x
e
x
h
x
)
(
1
)
('
x
e
x
h
x
1
)
('
xe
x
h
a
x
e
x
h
x
)
(
)
,1[
)
(x
h
a
e
h
1
)1(
1
2
)
(
2
ax
x
e
x
f
x
2
3
)1(
a
e
f
a
2
3
e
)
(x
h
0
1
)1(
a
e
h
0
)
('
a
x
e
x
f
x
1
2
)
(
2
ax
x
e
x
f
x
)
,1[
)
(x
f
2
3
)1(
a
e
f
a
2
3
e
)
(x
f
3
学科网（北京）股份有限公司
解：先证明
在
上是增函数，再由洛比达法则
，∴
，∴
≤1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上
，分两种情况讨论可得
≤1）
三、两边取对数
3.设函数
且
）
（1）求
的单调区间；
（2）求
的取值范围；
（3）已知
对任意
恒成立，求实数
的取值范围。
解：（1）
,
当
时，即
.
当
时，即
或
.
故函数
的单调递增区间是
.
函数
的单调递减区间是
.
（2）由
时，即
，
由（1）可知
在
上递增，在
递减，所以在区间（－1，0）上，
当
时，
取得极大值，即最大值为
.
在区间
上，
.
函数
的取值范围为
.分
（3）
，两边取自然对数得
1
( )
(
1
(
1)ln(
1)
f x
x
x
x
0
x
( )
f x
( )
f x
1
1
2
(
1)m
x
x
( 1,0)
x
m
2
2
ln(
1) 1
'( )
(
1) ln (
1)
x
f
x
x
x
'( )
0
f
x
1
ln(
1) 1
0, 1
1
x
x
e
'( )
0
f
x
ln(
1)
1
0,0
x
x
1
1
e
0
x
( )
f x
1
( 1,
1)
e
( )
f x
1
(
1,0),(0,
)
e
'( )
0
f
x
1
ln(
1) 1
0,
1
x
x
e
( )
f x
1
( 1,
1)
e
1
(
1,0)
e
1
1
x
e
( )
f x
1
(
1)
f e
w
(0,
)
( )
0
f x
( )
f x
(
,
)
(0,
)
e
1
1
2
(
1)
0,
( 1,0)
m
x
x
x
1
ln 2
ln(
1)
1
m
x
x
4
学科网（北京）股份有限公司
四、两边取对数的技巧、换元构造函数
4.已知函数
⑴求函数
的单调区间;
⑵若不等式
对任意的
都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.解: ⑴
函数
的定义域是
，
设
则
令
则
当
时，
在（－1，0）上为增函数，当x＞0 时，
在
上为减
函数.所以h(x)在x=0 处取得极大值，而h(0)=0,所以
，函数g(x)在
上为减函
数.
于是当
时，
当x＞0 时，
所以，当
时，
在（－1，0）上为增函数.当x＞0 时，
在
上为减函数.
故函数
的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为
.
⑵不等式
等价于不等式
由
知，
＞0，∴上式变形得
设
，则
则
由⑴结论知，
（
≤
）即
所以
于是G(x)在
上为减函数.
2
2
( )
ln (1
)
.
1
x
f x
x
x
( )
f x
1
(1
)n a
e
n
≤
N*
n
( )
f x
( 1,
)
2
2
2
2
2ln(1
)
2
2(1
)ln(1
)
2
( )
.
1
(1
)
(1
)
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
2
( )
2(1
)ln(1
)
2 ,
g x
x
x
x
x
( )
2ln(1
)
2 .
g x
x
x
( )
2ln(1
)
2 ,
h x
x
x
2
2
( )
2
.
1
1
x
h x
x
x
1
0
x
( )
0,
h x
( )
h x
( )
0,
h x
( )
h x
(0,
)
( )
0(
0)
g x
x
( 1,
)
1
0
x
( )
(0)
0,
g x
g
( )
(0)
0.
g x
g
1
0
x
( )
0,
f
x
( )
f x
( )
0,
f
x
( )
f x
(0,
)
( )
f x
(0,
)
1
(1
)n a
e
n
1
(
)ln(1
)
1.
n
a
n
1
1
1
n
1
ln(1
)
n
1
.
1
ln(1
)
a
n
n
≤
1
x
n
1
1
( )
,
0,1 ,
ln(1
)
G x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
1
1
(1
)ln (1
)
( )
.
(1
)ln (1
)
(1
)ln (1
)
x
x
x
G x
x
x
x
x
x
x
2
2
ln (1
)
0,
1
x
x
x
( )
f x
(0)
0
f
2
2
(1
)ln (1
)
0.
x
x
x
( )
0,
G x
0,1 ,
x
0,1
5
学科网（北京）股份有限公司
故函数
在
上的最小值为
所以a 的最大值为
五、变换主元
5.设函数
.
⑴若函数
在
处与直线
相切：
①求实数
的值；②求函数
在
上的最大值；
⑵当
时，若不等式
≥
对所有的
都成立，求实数
的取值范围.
解：（1）①
。
∵函数
在
处与直线
相切
解得
.
②
当
时，令
得
；令
，得
，
上单调递增，在[1，e]
上单调递减，
.
（2）当b=0 时，
若不等式
对所有的
都成立，则
对所有的
都成立，
即
对所有的
都成立，
令
为一次函数，
.
上单调递增，
，
对所有的
都成立.
..
（注：也可令
所有的
都成立，分类讨论得
对
( )
G x
0,1
1
(1)
1.
ln 2
G
1
1.
ln 2
2
( )
ln
f x
a
x
bx
( )
f x
1
x
1
2
y
,a b
( )
f x
1
[ , ]e
e
0
b
( )
f x
m
x
2
3
[0, ],
[1,
]
2
a
x
e
m
'( )
2
a
f
x
bx
x
( )
f x
1
x
1
2
y
'(1)
2
0
,
1
(1)
2
f
a
b
f
b
1
1
2
a
b
2
2
1
1
1
( )
ln
,
'( )
2
x
f x
x
x
f
x
x
x
x
1
x
e
e
'( )
0
f
x
1
1
x
e
'( )
0
f
x
e
x
1
1,
1
)
(
e
x
f
在
max
1
( )
(1)
2
f x
f
( )
ln
f x
a
x
( )
f x
m
x
2
3
0,
,
1,
2
a
x
e
ln
a
x
m
x
2
3
0,
,
1,
2
a
x
e
,
ln
x
x
a
m
2
,1
],
2
3
,0
[
e
x
a
)
(
,
ln
)
(
a
h
x
x
a
a
h
则
min
( )
m
h a
2
1,
,
ln
0,
x
e
x
3
( )
[0, ]
2
h a
a
在
min
( )
(0)
h a
h
x
m
x
2
1,
x
e
2
2
1
,
1,
x
e
e
x
2
min
(
)
m
x
e
( )
ln
,
( )
h x
a
x
x
m
h x
则
2
1,
x
e
2
min
( )
2
m
h x
a
e
6
学科网（北京）股份有限公司
所有的
都成立，
，请根据过程酌情给分）
3
[0, ]
2
a
2
2
min
(2
)
m
a
e
e
7
学科网（北京）股份有限公司
六、二阶求导
6.设函数
.
⑴若
，求
的最小值；
⑵若当
时
，求实数
的取值范围.
解：（1）
时，
，
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调减小，在
上单调增加
故
的最小值为
（2）
，
当
时，
，所以
在
上递增，
而
，所以
，所以
在
上递增，
而
，于是当
时，
.
当
时，由
得
当
时，
，所以
在
上递减，
而
，于是当
时，
，所以
在
上递减，
而
，所以当
时，
.
综上得
的取值范围为
.
2
( )
2
x
k
f x
e
x
x
0
k
( )
f x
0
x
( )
1
f x
k
0
k
( )
x
f x
e
x
'( )
1
x
f
x
e
(
,0)
x
'( )
0
f
x
(0,
)
x
'( )
0
f
x
( )
f x
(
,0)
(0,
)
( )
f x
(0)
1
f
'( )
1
x
f
x
e
kx
( )
x
f
x
e
k
1
k
( )
0 (
0)
f
x
x
( )
f
x
0,
(0)
0
f
'( )
0 (
0)
f
x
x
( )
f x
0,
(0)
1
f
0
x
( )
1
f x
1
k
( )
0
f
x
ln
x
k
(0,ln )
x
k
( )
0
f
x
( )
f
x
(0,ln )
k
(0)
0
f
(0,ln )
x
k
'( )
0
f
x
( )
f x
(0,ln )
k
(0)
1
f
(0,ln )
x
k
( )
1
f x
k
(
,1]
8
学科网（北京）股份有限公司
七、分类讨论
7.已知函数
（Ⅰ）求函数f (x)的定义域
（Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.
（Ⅲ）若x>0 时
恒成立，求正整数k 的最大值.
解：（1）定义域
（2）
单调递减。
当
，令
，
故
在（－1，0）上是减函数，即
，
故此时
在（－1，0）和（0，+
）上都是减函数
（3）当x>0 时，
恒成立，令
又k 为正整数，∴k 的最大值不大于3
下面证明当k=3 时，
恒成立
当x>0 时
恒成立
令
，则
，
，
当
∴当
取得最小值
当x>0 时，
恒成立，因此正整数k 的最大值为3
x
x
n
x
f
)1
(
1
1
)
(
1
)
(
x
k
x
f
)
,0
(
)
0,1
(
,
0
)]
1
ln(
1
1
[
1
)
(
2
时
当
x
x
x
x
x
f
0
)
(
x
f
)
0,1
(
x
0
)1
(
1
1
)1
(
1
)
(
)1
ln(
1
1
)
(
2
2
x
x
x
x
x
g
x
x
x
g
0
)1
(
1
1
)1
(
1
)
(
)1
ln(
1
1
)
(
2
2
x
x
x
x
x
g
x
x
x
g
)
(x
g
0
1
)
0
(
)
(
g
x
g
)]
1
ln(
1
1
[
1
)
(
2
x
x
x
x
f
1
)
(
x
k
x
f
]
2
ln
1[2
1
k
x
有
)
0
(
1
)
(
x
x
k
x
f
0
2
1
)1
ln(
)1
(
x
x
x
x
x
x
x
g
2
1
)1
ln(
)1
(
)
(
时
当
1
,1
)1
ln(
)
(
e
x
x
x
g
0
)
(
x
g
0
)
(
,
1
0
x
g
e
x
时
)
(
,
1
x
g
e
x
时
0
3
)1
(
e
e
g
0
2
1
)1
ln(
)1
(
x
x
x
9
学科网（北京）股份有限公司
八、分离参数+设而不求
8.已知函数
，
.
若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立．求正整数
的最大值．
解：不等式
，即
，即
.
转化为存在实数
，使对任意
，不等式
恒成立,
即不等式
对任意
上恒成立。
即不等式
在
上恒成立。
设
，则
。
设
，则
，因为
，有
。
故
在区间
上是减函数。
又
故存在
，使得
。
当
时，有
，当
时，有
。
从而
在区间
上递增，在区间
上递减。
又
所以当
时，恒有
；当
时，恒有
；
故使命题成立的正整数
的最大值为5.
3
2
( )
(
6
3
)
x
f x
x
x
x
t e
t
R
0,2
t
1,
x
m
( )
f x
x
m
( )
f x
x
3
2
(
6
3
)
x
x
x
x
t e
x
3
2
6
3
x
t
xe
x
x
x
0,2
t
1,
x
m
3
2
6
3
x
t
xe
x
x
x
3
2
0
6
3
x
xe
x
x
x
1,
x
m
2
0
6
3
x
e
x
x
1,
x
m
2
( )
6
3
x
x
e
x
x
( )
2
6
x
x
e
x
( )
( )
2
6
x
r x
x
e
x
( )
2
x
r x
e
1
x
m
( )
0
r x
( )
r x
1,m
1
2
3
(1)
4
0, (2)
2
0, (3)
0
r
e
r
e
r
e
0
(2,3)
x
0
0
(
)
(
)
0
r x
x
0
1
x
x
( )
0
x
0
x
x
( )
0
x
( )
y
x
0
1, x
0,
x
1
2
3
(1)
4
0, (2)
5>0, (3)
6>0,
e
e
e
4
5
6
(4)
5>0, (5)
2
0, (6)
3
0.
e
e
e
1
5
x
( )
0
x
6
x
( )
0
x
m
10
学科网（北京）股份有限公司
九、设而不求+两边取对
9.已知函数
（Ⅰ）试判断函数
上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若
恒成立，求整数k 的最大值；
（Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.
解：（I）
上递减.
（II）
则
上单调递增，
又
存在唯一实根a，且满足
当
∴
故正整数k 的最大值是3 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴
令
，则
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3
).
0
(
)1
ln(
1
)
(
x
x
x
x
f
)
,0
(
)
(
在
x
f
1
)
(
x
k
x
f
)]
1
ln(
1
1
[
1
)]
1
ln(
1
1
[
1
)
(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
f
.0
)
(
,0
)1
ln(
,0
1
1
,0
,0
2
x
f
x
x
x
x
)
,0
(
)
(
在
x
f
.
)]
1
ln(
1
)[
1
(
)
(
,
1
)
(
恒成立
即
恒成立
k
x
x
x
x
h
x
k
x
f
).
0
)(
1
ln(
1
)
(
,)1
ln(
1
)
(
x
x
x
x
g
x
x
x
x
h
记
)
,0
(
)
(
,0
1
)
(
在
x
g
x
x
x
g
.0
2
ln
2
2
)3
(
,0
3
ln
1
)
2
(
g
g
0
)
(
x
g
).
1
ln(
1
),
3,2
(
a
a
a
.0
)
(
,0
)
(
0
0
)
(
,0
)
(
x
h
x
g
a
x
x
h
x
g
a
x
时，
，当
时，
)
4,3
(
1
)1
(
)]
1
ln(
1
)[
1
(
)
(
)
(
min
a
a
a
a
a
a
a
a
h
x
h
)
0
(
1
3
)1
ln(
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
1
3
2
1
1
3
)1
ln(
*)
)(
1
(
N
n
n
n
x
)1
(
3
2
)]
1
(
1
ln[
n
n
n
n
3
2
1
3
3
2
)
1
1
1(
3
2
])1
(
1
3
2
3
2
1
1
[3
2
])1
(
3
2
[
)
3
1
3
2
(
)
2
1
3
2
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
11
