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5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）
一．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线
下方叫俯角(如图1).
二．方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图2).
三．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
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考法一 解三角形在实际生活中的运用
【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056 年，是世界上现存最古老最高大
之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016 年、释迦塔被吉尼斯世界纪录
认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔
的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点
，并垂
直竖立一高度为
的标杆
，从点
处测得木塔顶端
的仰角为60°，再沿
方向前进
到达
点，
并垂直竖立一高度为
的标杆
，再沿
方向前进
到达点
处，此时恰好发现点
，
在一条直
线上.若小张眼睛到地面的距离
，则小张用此法测得的释迦塔的高度
约为（参考数据：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个
山头M，N 间架设一条索道．为测量M，N 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
，在BC 同一水平面上选一点A，测得M 点的仰角为
，N 点的人仰角为
，
以及
， 则M，N 间的距离为（ ）
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A．
B．120m
C．
D．200m
【一隅三反】
1．（2023 春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑
的高度，
为该建筑顶部.在
处测得仰角
，当沿一固定方向前进60 米到达
处时测得仰
角
，再继续前进30 米到达
处时测得仰角
，已知该建筑底部A 和
、
、
在同
一水平面上，则该建筑高度
为（ ）
A．
B．
C．45
D．90
2．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907 年拜占庭风格的
东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称
之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正
东方向找到一座建筑物
，高为
，在它们之间的地面上的点
（
三点共线）处测得楼顶
，
教堂顶
的仰角分别是
和
，在楼顶
处测得塔顶
的仰角为
，则小明估算索菲亚教堂的高度约
为(取
)（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远
处选取了与该建筑物的底端
在同一水平面内的两个测量基点
与
，现测得
，
，
米，在点
处测得酒店顶端
的仰角
，则酒店的高度约是（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．91 米
B．101 米
C．111 米
D．121 米
考法二 解三角形与平面向量的综合
【例2】（2023·全国·高三专题练习）在
中，角A，B，C 对应边分别为a，b，c，已知三个向量
，
，
共线，则
形状为（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【一隅三反】
1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点
为
的外心，且
，
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则
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
2．（2022·广东广州·三模）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，向量
，
，
.
(1)若
，
，
为边
的中点，求中线
的长度；
(2)若
为边
上一点，且
，
，求
的最小值.
考法三 解三角形与三角函数性质综合
【例3】（2023 春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，求
的取值范围.
【一隅三反】
1．（2023·上海·高三专题练习）已知
，
，
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（1）求
的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
，
，求
边上的高的最大值．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量
，
，函数
.
（1）求函数
的零点；
（2）若钝角
的三内角
的对边分别是
，
，，且
，求
的取值范围.
3．（2023·安徽）已知函数
，将
的图象横坐标变为原来的
，纵坐标不变，
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再向左平移
个单位后得到
的图象，且
在区间
内的最大值为
.
（1）求
的值；
（2）在锐角
中，若
，求
的取值范围.
考法四 解三角形与各种心的综合
【例4】（2022·广东·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.
①
为
的内心；②
为
的外心；③
为
的重心.
(1)求
；
(2)若
，__________，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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【一隅三反】
1.（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，在△ABC 中，已知
，
，
，BC 边
上的中线AM 与
的角平分线
相交于点P．
(1)
的余弦值．
(2)求四边形
的面积.
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2．（2022·广东广州·三模）在①
；②
这两个条件中任选一个，补充
在下面的问题中，并作答.
问题：已知
中，
分别为角
所对的边，__________.
(1)求角
的大小；
(2)已知
，若
边上的两条中线
相交于点
，求
的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC 中，已知
，
，
，BC，AC 边上的
两条中线AM，BN 相交于点P．
(1)求
的正弦值；
(2)求
的余弦值．
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