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期末复习(五) 生活中的轴对称
01 知识结构
本章知识在考试中涉及的考点主要有：识别轴对称图形，运用轴对称的性质求线段或角，运用等腰三角形、线段垂直
平分线或角平分线的性质求三角形中的角度和边长，证明三角形中相关角度或边长之间的关系等．
02 典例精讲
【例1】 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D)
【思路点拨】 选项A，B，C 的图形中分别有1 条对称轴；而选项D 的图形中有4 条对称轴，在几个备选项中对称轴最
多．21·cn·jy·com
【方法归纳】 本题考查轴对称图形及对称轴的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形，其中这条直线叫做对称轴．轴对称图形是针对一个图形本身而言，成轴对称是对两个
图形而言，注意他们的本质区别．www.21-cn-jy.com
【例2】 (黄冈中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则
∠EBC 的度数为36
°
.2·1·c·n·j·y
【思路点拨】 根据垂直平分线的性质可得边相等，再由等腰三角形的性质得角相等．
【方法归纳】 此题主要借助等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理等几何知识来求解．
【例3】 如图1，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个
作全等三角形的方法，解答下列问题：
【来源：21·世纪·教育·网】
(1)如图2，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，AD，CE 相交于点F.请你判断
并写出FE 与FD 之间的数量关系；21*cnjy*com
(2)如图3，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若
成立，请证明；若不成立，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
【思路点拨】 首先按题意要求完成画图(作出全等三角形)，易联想到全等三角形的性质、判定及角平分线的性质等
相关知识，为解决后面的问题提供了探究的途径和方法．21 教育名师原创作品
【解答】 画图略．
(1)FE 与FD 之间的数量关系为FE＝FD.
(2)FE＝FD 仍然成立．理由：在AC 上截取AG＝AE，连接FG.因为∠BAD＝∠DAC，AF 为公共边，所以△AEF≌△AGF.
所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG.
因为∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，所以∠DAC＋∠FCA＝60°.所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°.
所以∠CFG＝60°.又因为∠FCA＝∠DCE，FC 为公共边，
所以△CFG≌△CFD.
所以FG＝FD.所以FE＝FD.
【方法归纳】 本例是一道设计新颖的几何结论探究性试题，旨在考查学生应用所学知识解决三角形有关问题的综合
能力．解决此类问题重点抓住全等三角形的判定和性质及角平分线的性质解题．
【例4】 如图，有一条小船及A，B 两点，如果该小船先从点A 航行到达岸边l 的点P 处补货后，再航行到点B，但要求
航程最短，试在图中画出点P 的位置．21*cnjy*com
【思路点拨】 题目要求航程最短，就是在岸边l 上找一点P，使点P 到A，B 的距离之和最短．只要找出A 点关于l 的
对称点A′，连接A′B，A′B 与l 的交点就为所求的P 点．
【解答】 (1)作出点A′，使点A′与点A 关于直线l 成轴对称．
(2)连接A′B 交直线l 于点P，则点P 为所求，如图所示．
【方法归纳】 由轴对称性质可知AP＝A′P，要使AP＋PB 的和最小，即A′P＋PB 的和最小，于是求出点P 的位置的问
题，转化为“两点之间，线段最短”的问题．
03 整合集训
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
1．(龙东中考)下列交通标志图案是轴对称图形的是(B)
2．如图所示的轴对称图形中，对称轴最多的是(B)
3．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是(C)
A．20° B．50°
C．65° D．80°
4．如图是一个风筝的图案，它是以直线AF 为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是(D)
A．△ABD≌△ACD
B．AF 垂直平分EG
C．∠B＝∠C
D．DE＝EG
5．(凉山中考)如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为
(C)www-2-1-cnjy-com
A．30° B．45°
C．60° D．75°
6．如图，已知五边形ABCDE 和五边形A1B1C1D1E1关于直线MN 对称，点B 到直线MN 的距离是3，则下列说法中正确的是
(B)2-1-c-n-j-y
A．点A1到MN 的距离是3
B．点B1到MN 的距离是3
C．点C1到MN 的距离是3
D．点D1到MN 的距离是3
7．(丹东中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D，交AC 于点E，连接BE，则∠CBE 的
度数为(D)【版权所有：21 教育】
A．70°
B．80°
C．40°
D．30°
8．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在点A′处，BC 为折痕，若BE 是∠A′BD 的平分线，则∠CBE 的度数为
(C)21·世纪*教育网
A．65° B．115°
C．90° D．75°
9．下列说法不正确的是(D)
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．圆有无数条对称轴
D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线
10．如图，点B，C，E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是(D)
A．△ACE≌△BCD
B．△BGC≌△AFC
C．△DCG≌△ECF
D．△ADB≌△CEA
二、填空题(每小题4 分，共20 分)
11．在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是幸．
12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 为BC 边中点，∠BAD＝20°，则∠CAD＝20
°
.
13．如图，△ABC 与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°.
14．如图，D，E 为AB，AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，点A 落在点F 处，若∠B＝50°，则∠BDF＝80
°
．
15．(河南中考)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD，若CD＝
AC，∠B＝25°，则∠ACB 的度数为105
°
．【出处：21 教育名师】
三、解答题(共50 分)
16．请作出图中四边形ABCD 关于直线a 的轴对称图形，要求：不写作法，但必须保留作图痕迹．
解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
17．(6 分)已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为CA 延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB 于点F，∠BFE 与∠D 相等吗？并
说明理由．
解：∠BFE＝∠D.
理由：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为DE⊥BC，
所以∠BEF＝∠DEC＝90 °.
在△BEF 和△CDE 中，
因为∠B＝∠C，∠BEF＝∠DEC，
所以∠BFE＝∠D.
18．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，把△BCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O，若∠DBC＝15°，求
∠BOD 的度数．21 世纪教育网版权所有
解：因为AD∥BC，∠DBC＝15°，所以∠BDO＝15 °.
由折叠可知，∠DBC＝∠DBO.
所以∠BDO＝∠DBO＝15 °.
又因为三角形内角和为180 °，
所以∠BOD＝180 °－2∠DBO
＝180 °－2×15 °
＝150 °.
19．(10 分)某中学七(2)班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满
了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C 处，请你在图上帮助他设计一条行走路线，使其所走的
总路程最短．21cnjy.com
解：①分别作点C 关于OA，OB 的对称点M，N；
②连接MN，分别交OA 于点D，OB 于点E，则C→D→E→C 为所求的行走路线．图略．
20．(12 分)如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D.
(1)求∠DBC 的度数；
(2)若△DBC 的周长为14 cm，BC＝5 cm，求AB 的长．
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C.
因为∠A＝40 °，
所以∠ABC＝＝70 °.
因为MN 是AB 的垂直平分线，
所以DA＝DB.所以∠DBA＝∠A＝40 °.
所以∠DBC＝70 °－40 °＝30 °.
(2)因为MN 垂直平分AB，所以DA＝DB.△DBC 的周长为BD＋DC＋BC＝DA＋DC＋BC＝AC＋BC.21 教育网
因为△DBC 的周长为14 cm，BC＝5 cm，
所以AC＝14－5＝9(cm)．
所以AB＝9 cm.
21．(12 分)如图1 所示，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AB 于点N，交BC 或BC 的延长线于点M.
(1)如图1 所示，若∠A＝40°，求∠NMB 的大小；
(2)如图2 所示，如果将(1)中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小；
(3)你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
解：(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.所以∠B＝(180 °－∠A)＝(180 °－40 °)＝70 °.
又因为∠BNM＝90 °，
所以∠NMB＝90 °－∠B＝90 °－70 °＝20 °.
(2)同理可得：∠NMB＝35 °.
(3)猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即∠NMB＝∠A.
理由：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C＝(180 °－∠A)．
因为∠BNM＝90 °，
所以∠NMB＝90 °－∠B＝90 °－(180 °－∠A)＝∠A.
故∠NMB＝∠A.
