16.双变量放缩中的“剪刀”模型_11.3-2_2026-11-03

16.双变量放缩中的“剪刀”模型
一．典例分析
（2025届杭州市高三一模）已知函数 f(x)axlnxx31.
（1）若a1，求 f(x)的单调区间;
（2）若0„ a„ 3，求证: f(x)0;
f(x)x31
（ 3） 若 h(x) ,x  x 使 hx hx b， 求 证 :
a 1 2 1 2
be1 x x b1.
1 2
1
解析：（3）因为h(x) xlnx，所以h(x)lnx1，令h(x)0，则0 x ，所以
e
 1 1  1 1  1 
h(x)在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增.因为h    ，所以b   ,0 
 e e  e e  e 
.
 1 1 
不妨设x  x ，则x   0,  ,x   ,1 .
1 2 1  e 2 e 
先证:x x b1，易知h(x)在x1处的切线方程为 y  x1，该切线与直线y b的
2 1
交点的横坐标x b1.易知x  x x ，所以x x  x b1.
3 3 2 1 2 1 3
1 1
再证x x be1.设 A

,

,B(1,0)，易知直线OA方程为 y x，直线 AB方程
2 1 e e
为
1
y  (x1)，则直线OA,AB与直线y b交点的横坐标分别为
e1
x b,x (e1)b1，所以 x x be1.因为 x bx lnx  x ，同理可证
4 5 5 4 4 1 1 1
x  x ，所以x  x  x .类似的可以证明x  x  x .所以x x  x x ，即
4 2 1 4 2 1 5 2 5 4 2 1
be1 x x ，所以be1 x x b1.
2 1 1 2双变量导数中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考1卷中名满天下！该模
型的实质是凸凹函数切割线放缩（牛顿切线法），值得注意的是，该方法已经出现在人教
版新教材选择性必修二82页阅读材料中，未来完全可能再度出现在高考试题中！本节我
们就通过这两道高考题展示其基本原理与解题方法.
1. 函数凸凹性：
若函数 f(x)在区间I 上有定义，若 f ''(x)0，则称 f(x)为区间I 上的凸函数. 反之，称
f(x)为区间I 上的凹函数.
2. 切线不等式： f(x)在I 上为凸函数，x I ，有 f(x) f '(x )(xx ) f(x ). 反
0 0 0 0
之，若 f(x)为区间I 上的凹函数，则x I ，有 f(x) f '(x )(xx ) f(x ).
0 0 0 0
证明：取定x I ，令F(x) f(x) f '(x )(xx ) f(x )，则F'(x) f '(x) f '(x )
0 0 0 0 0
，再次求导可得F''(x) f ''(x)0. 故F'(x)在区间 x x 上递减，在区间 x x 上递
0 0
增，故 F(x)存在最小值，即 F (x) F(x )0，即 f(x) f '(x )(xx ) f(x )证
min 0 0 0 0
毕.
注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.
3.剪刀模型
已知函数 f(x)为定义域上的凸函数，且图象与 y m交于A,B两点，其横坐标为x ,x ，
1 2
这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与 y m的交点将x ,x 的范围予以估计，
1 2
这便是切线放缩的基本原理.
如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下
界，而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解（精确解）的估计，
下面我们通过例子予以分析.
三.更多案例
例2.（2021新课标1卷22题）已知函数 f(x) x(1lnx).（1）讨论 f(x)的单调性；
1 1
（2）设a,b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2  e.
a b
解析：注意到函数 f(x) x(1lnx)不含参数，那就求导分析凸凹性. f '(x)lnx，再
1 1
求 f ''(x) 0, f '''(x) 0, f(x), f '(x)在其定义域上分别是凹函数与凸函数.
x x2
blnaalnb ab lna 1 lnb 1
另 一 方 面 ， blnaalnbab      ， 即
ab ab a a b b
1 1 1 1 1 1 1 1
(1ln ) (1ln ) f( ) f( )，若令 x  ,x  ，则原命题等价于，已
a a b b a b 1 a 2 b
x x e
知 f(x ) f(x )证明：2 x x e1 1 2  .
1 2 1 2 2 2
证明 x x e③.由于 f(x ) f(x )，不妨假设这是函数假设 f(x)的图象与直线
1 2 1 2
y m的两个交点，考虑到 f(x)的图象性质可知 m(0,1).故而， x ,x 即为方程
1 2
f(x)m0的两根，结合函数的凸凹性，我们使用切线放缩来证明③.观察③的结构及
f(e)0可得 f(x)在(e,0)点处切线为 y xe.由前文背景理论常用性质（2）可知：
f(x)xe,x(0,).如图所示，假设 f(x)与 y m，交于 A,B两点，其横坐标
为0 x  x .y m与切线y xe交于C点，其横坐标x’.由图1可知：
1 2 2
y xe
  x' em.显然，再做函数图象的割线： y  x，则显然：由图象可知：
y m 2
0 x m，0 x  x' em，故x x e.证毕.
1 2 2 1 2
例3．已知函数 f xxb ex a b0 在点  1, f 1 处的切线方程为
e1xeye10.
（1）求 ；
（2）设曲线y  f x 与x轴负半轴的交点为点P，曲线在点P处的切线方程为
y hx ，求证：对于任意的实数x，都有 f xhx ；
（3）若关于x的方程 f xm有两个实数根x ，x ，且x x ，证明：
1 2 1 2m12e
x x 1 .
2 1 1e
解析 ：（3）a b1； f xx1 ex 1  . hx   1 1   x1 . 设hxm的
e 
me
根为x，则x1 .曲线y  f x 在点 0,0 处的切线方程为y tx ，有
1 1 1e
tx x，设txm的根为x，则x m.
2 2
 me 
m12e
由于x  x .又x x ，所以x x  x xm  1  1 .
2 2 1 1 2 1 2 1  1e 1e
四．小结
1.观察题干是否考察零点之差的不等式：x x 型；
1 2
2.验证函数y  f(x)的凸凹性；
3.在步骤2的基础上考察函数y  f(x)在关键特殊点处的切线，最终构造出剪刀模型，完
成证