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专题五 统计概率（解答题10种考向）考向一 超几何分布、二项分布、独立事件与正态分布
【例1-1】（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．
商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出
3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为 ．
(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；
(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲
盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．【例1-2】（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为
五个层级，分别对应如下五组质量指标值： 、 、 、 、 ．根据长期检测结
果，发现芯片的质量指标值 服从正态分布 ，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取 件作为样本，
统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差 的近似值为 ，用样本平均数 作为 的近似值，用样本
标准差 作为 的估计值，可得到X服从的正态分布 ．求 和 的值；
(2)从样本中质量指标值在 和 的芯片中随机抽取 件，记其中质量指标值在 的芯片件数为 ，
求 的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于 的芯片称为 等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为 等品
的概率为 ，用第（1）问结果试估计 的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则
， ， ．）【例1-3】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的
设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和
裁布三个环节，简记为工序A，工序 ，工序 .经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 ， ， .
现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地
激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，
可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后
没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【例1-4】（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球 个，白球 个，黑球 个，小球
除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记 分，摸到白球记 分，摸到黑球记 分.抽奖人摸 个球为一次抽奖，
总分记为 ，若 ，则获奖.
方案一：从中一次摸 个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸 个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求 的分布列和数学期望.【例1-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，
D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为 （
， ），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n
次是与第 次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否
则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购
物抽奖活动.
(1)求程序运行2次小明获奖的概率；
(2)若 ，求小明获奖的概率；
(3)若 ，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.考向二 统计案例
【例2-1】（2024·贵州毕节）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法
得到电动汽车销量 （单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程 ，且销量 的方差为
，年份 的方差为 ．
(1)求 与 的相关系数 ，并据此判断电动汽车销量 与年份 的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买电动汽
性别 购买非电动汽车 总计
车
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的
人数为 ，求 的分布列和数学期望．
①参考数据： ．
②参考公式：线性回归方程为 ，其中 ；
相关系数 ，若 ，则可判断 与 线性相关较强；，其中 ．附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【例2-2】（2025·宁夏银川·一模）数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查
了 名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为 .
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
感兴趣 不感兴趣 合计
成年男性
成年女性
合计
(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得 元，每一
局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉 元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：
一种是手中赌金为 元，即赌徒输光：一种是赌金达到预期的 元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为
，当赌徒手中有 元 时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
①请直接写出 与 的数值.
②证明 是一个等差数列，当 时，分别计算 时， 的数值，并结合实际，解
释当 时， 的统计含义.
附： .
0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635 10.828
【例2-3】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大
批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客
共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用
爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道
数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下：
滑道数量 11 12 13 14 15
平均等待时间 （分
88 81 75 70 66
钟）
(1)通过回归分析，可以利用模型 对 与 的关系进行拟合.利用表中数据，求出 关于 的回归方程，
并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？
(2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个 体验项目
每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气
原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率；
(3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择：
方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%；
方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会
增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， .
参考数据：设 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， .
【例2-4】（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试
成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测
试分析，记负责人来自甲部门的人数为 ，求 的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩 （满分100分）与绩效等级优秀率 ，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9
8 4 4 8 6 4 4
根据数据绘制散点图，初步判断，选用 作为回归方程．令 ，经计算得 ，
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样
本方差 ．经计算 ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 的概率．
参考公式与数据：① 取 ．
②线性回归方程 中， ， ．
③若随机变量 ，则 ， ，
．
考向三 条件概率与全概率
【例3-1】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分
学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占 ，女生中有 的人日均运动时间大于 小时，男生中有
的人日均运动时间大于 小时.
(1)在被调查的学生中任选 人，若此人日均运动时间大于 小时，求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取 人，求日均运动时间大于 小时的人数 的期望和方差.【例3-2】（2025·湖北武汉·二模）有 ， ， ， ， ， ， ， 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采
用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，
已知 这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 ， 运动员与其它运动员对决时， 获胜的概率
为 ，每场对决没有平局，且结果相互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
(2)求 与 对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求 与 对决过且最后获得冠军的概率．
【例3-3】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，
奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖
牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国
冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中
甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上 球队的胜负情况 合计场
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成 列联表，并判断根据小概率值 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关
联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后
卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附： ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【例3-4】（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞
技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活
动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取 局 胜制，每局都是单打模式，每队有 名队员，比
赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入
最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手 对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队其余 名队员对乙队每名队员的胜率均为 .（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终 获胜且种子选手 上场的概率；
(2)已知甲队 获得最终胜利，求种子选手 上场的概率.
【例3-5】（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，
来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象
棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以
报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每
轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，
积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.
(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所
有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的
概率为多少?
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自
荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，
0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用 表示
选出的该同学的级别，求X的分布列.
考向四 统计概率与导数
【例4-1】（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3
道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮
的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为 .假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知 .
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为 ，求 的最大值.
【例4-2】（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运
知识， 大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已
经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2) 大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：
对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360
元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为 ，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为 ，求 的极大值；
（Ⅱ） 大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试
求此时 的取值范围．【例4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）现市场上治疗某种疾病的药品有 两种，其治愈率与患者占比如表
所示，为试验一种新药 ，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药 的治愈率为
，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为 ，求 的最大值点 ；
(2)设用新药 的患者占比为 （药品 减少的患者占比，均为新药 增加占比的一半， ，以
（1）问中确定的 作为 的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用 表
示）
(3)按照市场预测，使用新药 的患者占比 能达到 以上，不足 的概率为 ，不低于 且不超过
的概率为 ，超过 的概率为 ，某药企计划引入药品 的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的
影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条
1 2 3
数
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品 的年总利
润均值最大，应引入几条生产线？【例4-4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”， 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛
事共有 个大项， 个分项， 个小项，有来自 个国家和地区， 多名运动员参赛，是一场令人回味无
穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参
加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加
比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为 ，
①设 ，记小明答完前三道题得分为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得 分的概率为 ，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为 ，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累
计得分为 ，记小明答题累计得分为 的概率为 ，求数列 的通项公式.
【例4-5】（2025·重庆·一模） 年 月 日国家市场监督管理总局第 次局务会议审议通过《食品安全抽
样检验管理办法》，自 年 月 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物
含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于 为优级品，固形物含量低于
且不低于 为一级品，固形物含量低于 为二级品或不合格品．
(1)现有 瓶水果罐头，已知其中 瓶为优级品， 瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出 瓶，取出的罐头不放回，求在第 次抽到优级品的条件下，第 次抽到一级品的概
率；
（ⅱ）对这 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出 瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数
为 ，求随机变量 的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 ，且各件产品是否为优级品相互独立，若在 次独立重复抽检中，至少有 次抽到优级品的概率不小于 （约为 ），求 的最小值．
考向五 统计概率与数列
【例5-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为
，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即
可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的
概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为 ，其中 ，设甲在接下来第 球
比赛中获胜的概率为 .
(1)若 ，求甲以 获胜的概率；
(2)求 与 的关系；
(3)证明： .
【例5-2】（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中， 三个小组进行了一种算法模型的优
化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次
后，有 的概率在本小组互传， 的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有 的概率传给A小
组， 的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给 小组的概率均为 ．假设每次传递都是
独立事件，且项目开始时，模型在A小组．
(1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率；(2)记 次传递后，模型在A小组的概率为 ，在B小组的概率为 ．
（i）证明：数列 是等比数列．
（ii）求 ．
【例5-3】（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为 ，标
准差为 ．经分析，X近似服从正态分布 ，用奖金的平均值 作为 的近似值，用奖金的标准差s
作为 的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在 的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者
掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，
游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为 ，求 ；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游
戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据： ，
．【例5-4】（2025·云南·模拟预测）有 个编号分别是 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.
第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1
个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，
直至从第 个罐子中随机取出一颗糖果.设事件 表示从第 个罐子中取出红色糖果，记事件 发生
的概率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的值，并证明：当 时， ；
(3)求 （用含 的式子表达）.考向六 统计概率与空间几何
【例6-1】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，已知正四棱锥 的体积为 ，高为 .
(1)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从 点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与
点 的距离 的分布列及期望.
【例6-2】（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥 的体积为 ，高为 .
(1)现有一蚂蚁从 点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动 个单位，求 秒后该蚂蚁与点
的距离 的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中 的蚂蚁计划只可能从 点出发，另外 的蚂蚁计划既可能从 点出发，
又可能从 点出发. 若蚂蚁只可能从 点出发，则记 分；若既既可能从 点出发，又可能从 点出发，则记
分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取 只蚂蚁 ，记这 只蚂蚁的合计得分恰为 分的概率为 ，求 ；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为 分的概率为 ，随着抽取蚂蚁的无限增加，
是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.考向七 决策问题
【例7-1】（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 ，输
的概率为 ，每局比赛的结果是独立的．
(1)当 时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 分；方案二：最
终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【例7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题
型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全
部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1
个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三个
选项的概率为 ．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个
选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．
(1)若 ，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；
(2)以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？【例7-3】（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼
券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小
相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面
都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投
掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，
不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚
小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩
余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方
案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，
并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
考向八 证明题
【例8-1】（2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖
和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设 ）是第一次
抽奖中奖的概率，此后若前 次抽奖均未中奖，则进行第 次抽奖时中奖的概率 满足 其
中 时一定中奖.设中奖时共抽奖 次.(1)证明：当 时， ；
(2)证明：当 时， ；
(3)当 时，求 的分布列和期望.
【例8-2】（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索
赔情况，结果如下：
单位：人
驾龄
一年内是否索赔 合计
不满10年 10年以上是 10 5 15
否 90 95 185
合计 100 100 200
(1)依据小概率值 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾
龄有关？
(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为 ，投保的老司机索赔的概率均为 ．假设
投保司机中新司机的占比为 .随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第 年索赔”为 ，事件
“这名司机是新司机”为 .已知 .
（i）证明： ；
（ii）证明： ，并给出该不等式的直观解释.
附： ，
【例8-3】（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 和路线 .公园附近的居民经
常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 的居民第二天选择路线 和路线 的概率均为 ；
前一天选择路线 的居民第二天选择路线 和路线 的概率分别为 和 .已知居民第一天选择路线 的概率为，选择路线 的概率为 .
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 散步的人数为 ，求 的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第 天选择路线 的概率为 .
（i）请写出 与 的递推关系；
（ii）设 ，求证： .
【例8-4】（2025·山西临汾·一模）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由
法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间内随机事
件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽
车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、
激光的光子数分布等等.泊松分布的概率函数为： ， .
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的最大值；
(3)若 ，求证： .【例8-5】（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩 和物理成
绩 如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成
绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩
和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相关系数约为 ，
分析相关系数的向量意义，求 的样本相关系数的最大值.
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两两不相同，
两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在 中排名是 位 在
中的排名是 位 .定义变量 和变量 的斯皮尔曼相关系数（记为 ）为变量
的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 ，其中 ，证明： ，并
用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数 ）考向九 最值
【例9-1】（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村
开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬
老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需
用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人
带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为 ，张大爷每次套中奖品的概率为 .
(1)若 ，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.
【例9-2】（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共
有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组
，第五组 ，第六组 ，得到如下频率分布直方图：
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；
(2)若评分结束后只对所有评分在区间 的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为 ，获评为二等奖的概率为 ，每个节目的评奖结果相互独立．
（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为 ，求 的极大值点 ；
（ⅱ）以（ⅰ）中 作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总
奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．
【例9-3】（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳
至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的
科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级
学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 ，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛
成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高二年级竞赛分数在 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，
记成绩优秀的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取 人，求 为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.【例9-4】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会
舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味
着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙
两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是 局 胜制，
例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是 局 胜制，例如一场比赛有7
局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束．
(1)若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率
为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了 场比赛，试自行绘制 列联表，并根据小概率
值 的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
(2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为 ，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采
用5局3胜制比赛，记事件 ： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件 ： “两俱
乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明： ;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行 局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．
若甲俱乐部每局比赛获胜的概率 ，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.02 0.01
0.10 0.05
5 0
2.70 3.84 5.02 6.63
6 1 4 5附： ，其中 ．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·江西·一模）（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打
卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善
的人数．统计结果如下：
月份 1 2 3 4 5
身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90
若身体指标明显改善人数 与月份变量 （月份变量 依次为 ）具有线性相关关系，请预测第6个
月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，
该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为 ，若X组挑战Y组，则
下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为 和 ；若竞赛发起权在Z组，
则挑战X组、Y组的概率分别为 和 ；
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望；
②定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当 时，（ 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚点．经过 次竞赛后，
竞赛发起权在X组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值．附：回归方程 中
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
【例10-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知集合 ，设S的所有元素按一定顺序排列得
到数列 和 .若X和Y满足 ，则称X和Y关于S封闭.
(1)若 ， ，写出两个不同的数列Y，使得X和Y关于S封闭；
(2)已知数列 ， 和Z关于S封闭.
（i）若随机变量 服从 ， ，求 ；
（ii）证明：存在不同于X的数列Y，使得Y和Z关于S封闭.
（参考公式： ）【例10-3】（2024·重庆）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧
仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最
早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．
卡特兰数是符合以下公式的一个数列： 且 ．如果能把公式化成上面这种形式
的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：
在一个无穷网格上，你最开始在 上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，
你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到 ，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为(1)证明 是卡特兰数；
(2)求 的通项公式．
