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圆锥曲线
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【题型四】焦点三角形
【题型五】中点弦
【题型六】离心率
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：圆锥曲线中的距离和差最值问题
：圆锥曲线的定义、方程与几何性质将继续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．
复杂的代数运算和几何推理仍然是解题的关键，特别是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算．
：
1. 基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决相应问题。
2. 需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【例1】已知圆
的圆心为
，设
是圆上任意一点，
，线段
的垂直平分线交
于点
，则动点
的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【例2】椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【例3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
是
上一点，
、
分别是
、
的中点，
为坐标原点，若
，且四边形
的面积为
，
的短轴长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦
点的位置，进而确定椭圆的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准
与
,正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是
，
，
，而应是
，
，
．
【变式1】（多选）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，
为坐标原点，
为
上异于
左、右顶点的一点，
是线段
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
内切圆半径的最大值为
D．
外接圆半径的最小值为1
【变式2】用平面
截圆柱面，圆柱的轴与平面
所成的角记为
，当
为锐角时，圆柱面的截线是一个椭
圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它
们分别位于
的上方和下方，并且与圆柱面和
均相切，切点分别为
．下列关于截口曲线的椭圆的结
论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距
相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中
为椭圆长轴，
为球
的半径，有
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【例1】已知双曲线
的焦距为6，则
为（ ）
A．5
B．
C．
D．32
【例2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
为双曲线的渐近线上的点，
满足
，且
，
的面积为
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆
的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准
与
,正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是
，
，
，而应是
，
，
．
【变式1】已知
为双曲线
的右顶点，
为
上一点，
关于
轴的对称点为
，
，
，
的面积为
，则
的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作渐近线的垂线l，
垂足为N，l 与另一条渐近线交于点M，且M，N 都在x 轴上方，
，点
在E 上，则
（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率
C．直线
与
的斜率之积是2
D．双曲线在点P 处的切线与x 轴交于点I，则
【变式3】（多选）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与
在第一、四象限的交点分别为
，与
轴的交点为
，
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
的离心率为2
C．
到
上最近点的距离为
D．
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【例1】已知抛物线
上的点M 与焦点F 的距离为6，则M 到y 轴的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【例2】已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知抛物线
上位于第一象限内的点
到抛物线的焦点
的距离为5，过点
作圆
的切线，切点为
，则
．
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F 的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
3、抛物线的标准方程求法
（1）定义法：根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出
抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
（2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件
确定关于p 的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论．
【变式1】已知定点
，点
在抛物线
上，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2】已知抛物线C：
的焦点为F，点M 在C 上.若M 的横坐标为1，且
，则p
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【变式3】已知抛物线
的焦点为
，过
上一点
作
的准线
的垂线，垂足为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【题型四】焦点三角形
【例1】（多选）设
是椭圆
的两个焦点，
是椭圆上一点，且
．则下列说法
中正确的是（ ）
A．
B．离心率为
C．
的面积为6
D．
的面积为12
【例2】设
分别是双曲线
的上、下焦点，双曲线上的点
满足
，则
的面积等于（ ）
A．
B．12
C．
D．6
1、椭圆的焦点三角形：
性质1：|A F1|+|A F2|=2a，|B F1|+|B F2|=2a.（两个定义）
∆A F1 F2的周长为|A F1|+|A F1|+|F1 F2|=2a+2c；∆AB F1的周长为
|A F1|+|A F2|+|B F1|+|B F2|= 4 a
性质2：4 c
2=|F1 F2|
2=|A F1|
2+|A F2|
2−2|A F1||A F2|cosθ（余弦定理）
2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的
方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【变式1】设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在
第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1
的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2
B．
C．
D．
【变式2】如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点，
交
轴于点
.若
，
是线段
的三等分点，则
的周长为（ ）
A．20
B．10
C．
D．
【题型五】中点弦
【例1】已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.
若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知双曲线
与直线
相交于A，B 两点，其中
中点的横坐标为
，则该双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、椭圆的中点弦
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与
系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1
(a>b>0 )上两点A 、B ，其中
AB 中点为P(x0，y0)，则有
k AB⋅kOP =−b2
a2 ．
2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程
根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【变式1】已知抛物线
，过点
作弦
，弦
恰被点
平分，则弦
所在直线的斜率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线与椭圆
交于A，B 两点，
且满足
，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型六】离心率
【例1】已知
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，则
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【例2】在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交
圆
于点
，交
的右支于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
（1）
和
易求，由
求得离心率．
（2）在椭圆中，
，故
；在双曲线中，
，故
．因此，求出
和
的比值即可求出
的值，反之亦然．
（3）
和
不易求，
和
的比值不易求，但是以条件可求出
，
，
的关系式，从而得到齐次式
，等号两边同时除以
，得到关于
的方程，求解即可．注意根据
的取值范围进
行检验．
【变式1】．A，B 分别为双曲线
的左、右顶点，从C 上一点P（异于A，B）向
实轴引垂线，垂足为Q，则
为常数．若C 的离心率为2，则该常数为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式2】已知椭圆的左右焦点分别是
、
，焦距为
，若直线
与椭圆交于
点，且满足
，则椭圆的离心率是 .
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【例1】已知椭圆
，直线
经过
的两个顶点．
(1)求
的方程；
(2)若
为
上一动点，过点
作圆
的两条切线分别交
于
两点，证明：直线
过原点．
【例2】已知双曲线
过点
，渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，过点
作动直线与双曲线右支交于不同的两点
，在线段
上取异于点
的点
.
（i）当
为
中点时，
的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线
分别与
轴交于点
，若
为
中点，证明：点
恒在一条定直线上.
【例3】已知
是抛物线
上一点，以点
为圆心，2 为半径的圆过
的焦点
．
按如下方式依次构造点
：过点
作斜率为
的直线与
交于另一点
，点
为
关于
轴的对称点．
(1)求
的方程；
(2)令
，证明
是等差数列，并求其通项公式；
(3)设
是
的面积，求证：
．
1、直线与圆锥曲线的位置关系判断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要注意双曲线
与抛物线中只有一个交点时的特殊情况．
2、弦长公式
设
，
，根据两点距离公式
．
（1）若
，
在直线
上，代入化简，得
．
（2）若
，
在直线
上，代入化简，得
．
（3）构造直角三角形求解弦长
．其中
为直线
斜率，
为直线倾斜角
【变式1】已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
作直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B．设
，直线BC 与直线
交于点N，求证：
直线AN 的斜率为定值．
【变式2】已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
【变式3】已知椭圆
过点
，且
的右焦点为
．
(1)求
的方程；
(2)设过点
的一条直线与
交于
两点，且与线段
交于点．
（i）证明：直线
平分
；
（ii）若
的面积等于
的面积，求
的坐标．
易错点：圆锥曲线中和差距离最值问题
例1．设椭圆
的左焦点为
，点
在
上，则
的最小值为 ，最
大值为 ．
例2．已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
是圆
上一点，
则
的最小值为 .
例3．已知点P 是抛物线
上任意一点，若点P 到抛物线C 的准线的距离为
，到直线
的距离为
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知抛物线C：
上一点
，点
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
变式2．设椭圆
的一个焦点为
，
为
内一点，若
上存在一点
，
使得
，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
变式3．已知双曲线E：
的左焦点为F，点M 是E 右支上的动点，点N 是圆
上的
动点，则
的最大值为 .
