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圆锥曲线
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【题型四】焦点三角形
【题型五】中点弦
【题型六】离心率
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：圆锥曲线中的距离和差最值问题
：圆锥曲线的定义、方程与几何性质将继续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．
复杂的代数运算和几何推理仍然是解题的关键，特别是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算．
：
1. 基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决相应问题。
2. 需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，
【题型一】椭圆标准方程及其性质
【例1】已知圆
的圆心为
，设
是圆上任意一点，
，线段
的垂直平分线交
于点
，则动点
的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质结合椭圆定义即可判断；
【详解】
点
在线段
的垂直平分线上，故
．又
是圆的半径，
所以
．
由椭圆的定义知，
的轨迹是椭圆．
故选：B
【例2】椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【答案】D
【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断.
【详解】对于椭圆
的长短半轴长及半焦距分别为
，
对于椭圆
的长短半轴长及半焦距分别为
，
所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故选：D
【例3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
是
上一点，
、
分别是
、
的中点，
为坐标原点，若
，且四边形
的面积为
，
的短轴长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理推导出
，分析可知
的面积为，可求出
的值，利用勾
股定理结合椭圆的定义可求出
的值，由此可求得椭圆
的短轴长.
【详解】记
，由题意
，
所以，
，所以，
，
因为四边形
的面积为
，故
的面积为，
即
，则
，
因为
，所以，
，
即
，可得
，解得
，
因此，双曲线
的短轴长为
.
故选：C.
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦
点的位置，进而确定椭圆的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准
与
,正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是
，
，
，而应是
，
，
．
【变式1】（多选）已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，
为坐标原点，
为
上异于
左、右顶点的一点，
是线段
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
内切圆半径的最大值为
D．
外接圆半径的最小值为1
【答案】ACD
【分析】由椭圆的定义结合中位线的性质可得A 正确；由椭圆的性质令点
在第二三象限时可得B 错误；
由焦点三角形的面积公式结合内切圆的性质和椭圆的性质可得C 正确；由正弦定理可得D 正确.
【详解】
对于A，
，故A 正确；
对于B，由三角形中位线得
，因为当点
在第二三象限时，
，此时
，故B 错
误；
对于C，因为
，
，
当点
在上顶点时，
最大，所以
，所以
，
所以
，所以由三角形相似可得
，
设内切圆半径为，又
，
所以
内切圆半径的最大值为
，故C 正确；
对于D，设
的外接圆半径为
，则由正弦定理可得
，故D 正确.
故选：ACD
【变式2】用平面
截圆柱面，圆柱的轴与平面
所成的角记为
，当
为锐角时，圆柱面的截线是一个椭
圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它
们分别位于
的上方和下方，并且与圆柱面和
均相切，切点分别为
．下列关于截口曲线的椭圆的结
论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距
相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中
为椭圆长轴，
为球
的半径，有
【答案】D
【分析】根据题意利用椭圆定义可判断AB；结合图形的几何特征利用椭圆的离心率定义可判断C；结合图
形的几何特征利用解三角形可判断D.
【详解】设P 为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点
作线段
分别与球
切于点
，
故有
，
由椭圆定义可知，该椭圆以
，
为焦点，
为长轴长，故B 正确．
设椭圆长半轴长为
，半焦距为，设O 为
的中点，
与球
切于点
，
，
，故
，
有
，则
即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A 正确．
由题意可得
，则
，故C 正确．
由题意知
（这是因为
），
则
，故
，
即
，故D 错误．
故选：D．
【题型二】双曲线标准方程及其性质
【例1】已知双曲线
的焦距为6，则
为（ ）
A．5
B．
C．
D．32
【答案】A
【分析】由双曲线的相关概念求解即可.
【详解】因为双曲线
的焦距为6，
所以
，即
，且
，
，
所以
，故
，
故选：A
【例2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
为双曲线的渐近线上的点，
满足
，且
，
的面积为
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得
，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍
角的正切求出
即可得解.
【详解】由
，得
，而
，
的面积为
，
则
，
，
令双曲线
的半焦距为，则
，即
，直线
方程为
，
，而
，则
，
联立解得
，所以双曲线
的方程为
.
故选：A
1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆
的类型；
2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准
与
,正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是
，
，
，而应是
，
，
．
【变式1】已知
为双曲线
的右顶点，
为
上一点，
关于
轴的对称点为
，
，
，
的面积为
，则
的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设
，再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得
，最后点在双曲线上得出
，
计算得出
即可.
【详解】因为
，所以点
在
的右支上，由对称性设
在第一象限，
设
，
，
，则
，由
，
，
得
解得
所以
，所以
，即
，
因为
在
的右支上，所以
，
所以
，
设
的半焦距为
，则
，即
，所以焦距为
．
故选:D．
【变式2】（多选）双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作渐近线的垂线l，
垂足为N，l 与另一条渐近线交于点M，且M，N 都在x 轴上方，
，点
在E 上，则
（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率
C．直线
与
的斜率之积是2
D．双曲线在点P 处的切线与x 轴交于点I，则
【答案】AD
【分析】由题设
，且渐近线为
，若垂直于
，则
，联立渐近线求
得
、
，结合已知得
，结合双曲线参数关系判断A、B；应用斜率的两点式判
断C；设点P 处的切线为
并联立双曲线，由
求得
，即可求得
，即可判
断D.
【详解】由题设
，且渐近线为
，若垂直于
，则
，
，可得
，同理得
，
由
，则
，整理得
，可得
，B 错，
所以
，故渐近线方程为
，A 对，
在双曲线上，则
，则
，
所以
，则
，C 错；
点P 处的切线为
，联立
，得
，
所以
，则
，
所以
，则
，故切线为
，
令
，则
，故
，D 对.
故选：AD
【变式3】（多选）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
的直线与
在第一、四象限的交点分别为
，与
轴的交点为
，
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
的离心率为2
C．
到
上最近点的距离为
D．
【答案】ABD
【分析】利用边相等得三角形全等，来计算
坐标，从而可判断A，通过点
坐标代入双曲线方程可求离
心率来判断B，通过点到直线的距离可判断C，通过联立方程组，利用坐标运算来判断D.
【详解】
记双曲线
的焦距为
，则
，
．因为
，
由
，可解得：
，
如图过
作
轴垂线，垂足为
，则可得：
，
，
所以
，则
，故选项A 正确；
将
代入双曲线
，得
．再将
代入，解得
．
所以
的离心率为
．故选项B 正确；
因为点
到渐近线
的距离为
，所以选项C 错误；
由
，有
，且双曲线
方程化为
．
由
，
，得的方程为
．
将
与
联立，消去
，整理得
．
记
，所以
，得
．
所以
，所以选项D 正确．
故选：ABD．
【题型三】抛物线标准方程及其性质
【例1】已知抛物线
上的点M 与焦点F 的距离为6，则M 到y 轴的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】设
，根据抛物线的定义可知
，结合抛物线方程运算求解即可.
【详解】由抛物线
可知准线为
，
设
，
根据抛物线的定义可知
，即
，
由抛物线方程可得
，即
，
所以M 到y 轴的距离为
.
故选：B.
【例2】已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出
的取值范围.
【详解】抛物线
的准线方程为
，
又点
在
上且
，则
，所以
，
即
，故A 错误，C 正确；
又
，所以
，所以
，故B、D 错误.
故选：C
【例3】已知抛物线
上位于第一象限内的点
到抛物线的焦点
的距离为5，过点
作圆
的切线，切点为
，则
．
【答案】
【分析】先根据抛物线的定义求出点
的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后
根据切线的性质，利用勾股定理求值.
【详解】
在抛物线
中，
，则
，所以焦点
，准线方程为
.
设点
，根据抛物线的定义，可得
，解得
.
把
代入
，得
，因为
，所以
，即
.
将圆
化为标准方程：
，从而圆心为
，半径
.
故
.
故答案为：.
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F 的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
3、抛物线的标准方程求法
（1）定义法：根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出
抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
（2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件
确定关于p 的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论．
【变式1】已知定点
，点
在抛物线
上，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义和性质，结合图象求出
的最小值.
【详解】抛物线
，即
，其焦点为
，准线方程为
，
易知
在抛物线的内部，点
即为焦点
，
如图所示，过点
作
于点
，则
，即
，
显然当
三点共线时
最小，最小值为
，
即
的最小值为4，
故选：B.
【变式2】已知抛物线C：
的焦点为F，点M 在C 上.若M 的横坐标为1，且
，则p
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解.
【详解】由已知可得抛物线的准线方程为
，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以
，解得
，
故选：C.
【变式3】已知抛物线
的焦点为
，过
上一点
作
的准线
的垂线，垂足为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用抛物线的准线确定抛物线方程，结合抛物线定义与特殊三角形计算即可.
【详解】由于
的准线
，所以
，设准线与纵轴交于E 点，
根据抛物线定义可知
，所以
，
易知
，所以
.
故选：A
【题型四】焦点三角形
【例1】（多选）设
是椭圆
的两个焦点，
是椭圆上一点，且
．则下列说法
中正确的是（ ）
A．
B．离心率为
C．
的面积为6
D．
的面积为12
【答案】ABC
【解析】由
，得
，则
，
因为
是椭圆上一点，所以
，
因为
，所以
，
，故A 正确；
对于B，离心率为
，故B 正确；
对于CD，因为
，所以
为直角三角形，
，
所以
，故C 正确，D 错误．故选：ABC
【例2】设
分别是双曲线
的上、下焦点，双曲线上的点
满足
，则
的面积等于（ ）
A．
B．12
C．
D．6
【答案】D
【解析】由
可得
，故
，
又
，故
,即
，
故
的面积为
，故选:D
1、椭圆的焦点三角形：
性质1：|A F1|+|A F2|=2a，|B F1|+|B F2|=2a.（两个定义）
∆A F1 F2的周长为|A F1|+|A F1|+|F1 F2|=2a+2c；∆AB F1的周长为
|A F1|+|A F2|+|B F1|+|B F2|= 4 a
性质2：4 c
2=|F1 F2|
2=|A F1|
2+|A F2|
2−2|A F1||A F2|cosθ（余弦定理）
2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的
方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
【变式1】设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在
第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1
的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，以
为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为
，
可得
，又因为
为
的中点，
为
的中点，
所以
，
，
，
所以
，
又
，得
，
由双曲线的定义可得
，所以
，
所以
，所以
，故选：A
【变式2】如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点，
交
轴于点
.若
，
是线段
的三等分点，则
的周长为（ ）
A．20
B．10
C．
D．
【答案】D
【解析】不妨设点
在第一象限，
，
分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c，
由
，
是线段
的三等分点，得
是线段
的中点，而坐标原点
是
的中点，
则
，
轴，把
代入椭圆方程，得
，而
，则
，
由
为线段
的中点，得
，
因此
，解得
，
而
，于是
，
所以
的周长为
.故选：D
【题型五】中点弦
【例1】已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.
若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
、
，
若
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
因为线段
的中点坐标为
，则
，
则
，两式相减得
，
则
，
因为
，所以，
，
所以，
，解得
，
因此，双曲线
的标准方程为
.故选：D.
【例2】已知双曲线
与直线
相交于A，B 两点，其中
中点的横坐标为
，则该双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
中点为
，由题设易知
，故
，
因为
，故
，
所以
，而
，故
，
故
，故
.故选：A
1、椭圆的中点弦
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与
系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1
(a>b>0 )上两点A 、B ，其中
AB 中点为P(x0，y0)，则有
k AB⋅kOP =−b2
a2 ．
2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程
根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【变式1】已知抛物线
，过点
作弦
，弦
恰被点
平分，则弦
所在直线的斜率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
、
，
因为点
为线段
的中点，则
，
，
若直线
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
由题意可得
，将这两个等式作差可得
，
即
，所以，直线
的斜率为
.故选：D.
【变式2】已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线与椭圆
交于A，B 两点，
且满足
，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，
，即
，可得
，
过
的直线与椭圆
交于
且满足
，则
为线段
的中点，
所以
，
，又
，
，
则
，即
，
所以
，
故直线
的方程为
，即
.故选：C.
【题型六】离心率
【例1】已知
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，则
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由双曲线的定义结合题干条件可解得
的长度，再利用勾股定理即可算出离心率.
【详解】设双曲线
的实半轴、虚半轴、半焦距分别为
，
由双曲线的定义可知
，结合题干条件
，
解得
，又
，
，
由勾股定理可得
，解得离心率
.
故选：A.
【例2】在平面直角坐标系
中，已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交
圆
于点
，交
的右支于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过
作
，设
，利用几何关系计算得出
，再在
中利用勾股定理
即可得.
【详解】设双曲线的右焦点为
，连接
，过
作
，垂足为
，
则
，所以
．
因为
，所以
，即
为线段
的中点．
因为
为
的中点，所以
，所以
，
．
设
，则
，
所以
，
，
，
所以
．
在
中，由勾股定理得
，即
，
解得
，所以
，
．
在
中，由勾股定理得
，即
，
解得
，所以
．
故选：C．
（1）
和
易求，由
求得离心率．
（2）在椭圆中，
，故
；在双曲线中，
，故
．因此，求出
和
的比值即可求出
的值，反之亦然．
（3）
和
不易求，
和
的比值不易求，但是以条件可求出
，
，
的关系式，从而得到齐次式
，等号两边同时除以
，得到关于
的方程，求解即可．注意根据
的取值范围进
行检验．
【变式1】．A，B 分别为双曲线
的左、右顶点，从C 上一点P（异于A，B）向
实轴引垂线，垂足为Q，则
为常数．若C 的离心率为2，则该常数为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】设
，则
，然后将
表示出来，利用离心率为2 即可求解.
【详解】
设
，则
，又由题得
，
则
，
则
，
故选：D
【变式2】已知椭圆的左右焦点分别是
、
，焦距为
，若直线
与椭圆交于
点，且满足
，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】先根据
的斜率得到
，结合椭圆定义得到
，
，由勾股定理列出方程，求出离心率．
【详解】
因为
经过左焦点，且斜率为
，
故
，
为三角形内角，
所以
，所以
，
则
，设
，
则
，
由椭圆的定义可知：
，
即
，解得：
，
所以
，
由勾股定理得：
，
故
，
解得：
，故椭圆离心率
．
故答案为：
.
【题型七】直线与圆锥曲线位置关系
【例1】已知椭圆
，直线
经过
的两个顶点．
(1)求
的方程；
(2)若
为
上一动点，过点
作圆
的两条切线分别交
于
两点，证明：直线
过原点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线过椭圆上顶点和左顶点可得
，从而得到椭圆方程；
（2）首先确定当
或
斜率不存在时，直线
过
；当直线
斜率存在时，利用圆心到直线
距离等于半径可求得
，结合椭圆方程化简得到
；
方法一：将切线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出
，化简得到
；
方法二：假设直线
过原点，结合椭圆对称性可得
，化简得到满足
，从而
得到结论.
【详解】（1）
直线
过
的上顶点和左顶点，
椭圆
的上顶点为
，左顶点为
，即
，
，
的方程为：
.
（2）
当直线
或
斜率不存在时，不妨令
，则
，
直线
方程为
，
，
直线
恒过
．
下证：当直线
和
斜率存在时，直线
过
．
设
，过点
的切线方程为
，
，
，
；
在
上，
，
．
方法一：将过点
的切线
与
联立得：
，
，则
，
同理可得：
；
，
，
则
，
将
代入得：
由椭圆对称性得直线
过
．
综上所述：直线
过原点．
方法二：当直线
过
时，由椭圆对称性可设
，则
，
，
，
，
，
，满足题意．
当直线
和
斜率存在时，直线
过
．
综上所述：直线
过原点．
【例2】已知双曲线
过点
，渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，过点
作动直线与双曲线右支交于不同的两点
，在线段
上取异于点
的点
.
（i）当
为
中点时，
的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线
分别与
轴交于点
，若
为
中点，证明：点
恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程；
（2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率；
（ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与
轴交点坐标，再根据中点关系证明点
在定直线上。
【详解】（1）由题意，得
，则
①，
将点
代入双曲线方程，得
②，
联立①②解得
故
的方程为
.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在.
设直线的方程为
，与
联立得
.
设
，由题意，得
解得
.
（i）解：因为
为
中点，所以
.
由
，得
.
又
，解得
，所以直线的斜率为
.
（ii）证明：设直线
的方程为
，令
，得
.
同理可得，
.
因为
为
中点，所以
，即
.
又因为点
都在直线上，
所以
，
整理，得
，
代入韦达定理，得
，所以
.
因为
，所以点
恒在定直线
上.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
参数法：参数解决定点问题的思路：
①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件
找到k 过定点的曲线之间的关系，得到关于k 与x，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定
点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
【例3】已知
是抛物线
上一点，以点
为圆心，2 为半径的圆过
的焦点
．
按如下方式依次构造点
：过点
作斜率为
的直线与
交于另一点
，点
为
关于
轴的对称点．
(1)求
的方程；
(2)令
，证明
是等差数列，并求其通项公式；
(3)设
是
的面积，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将
的坐标代入，结合抛物线的定义求出
值.
（2）求出点
的坐标，利用斜率坐标公式，结合点在抛物线上推理得证，进而求出通项公式.
（3）结合图形将问题转化为证明
，利用斜率坐标公式结合（2）推理得证.
【详解】（1）
是抛物线
上一点，得
，
而
，则
，即
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）点
关于
轴的对称点为
，直线
的斜率
，
则
，
，即
，又点
都在
上，
于是
，两式相减得
，
因此
，数列
是首项为2，公差为
的等差数列，通项公式为
.
（3）要证
，只需证明
.
直线
的斜率
，
直线
的斜率
，
因此
，即
，
所以
.
1、直线与圆锥曲线的位置关系判断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要注意双曲线
与抛物线中只有一个交点时的特殊情况．
2、弦长公式
设
，
，根据两点距离公式
．
（1）若
，
在直线
上，代入化简，得
．
（2）若
，
在直线
上，代入化简，得
．
（3）构造直角三角形求解弦长
．其中
为直线
斜率，
为直线倾斜角
【变式1】已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
作直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B．设
，直线BC 与直线
交于点N，求证：
直线AN 的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可求得
的值，可求得椭圆的方程；
（2）设直线
，
，与椭圆方程联立方程组由韦达定理可得
，求得
，进而计算可得
，可得结论.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以椭圆
的方程是
．
（2）由题可知直线斜率存在．设直线
．
由
，得
．
由
，得
，即
．
设
，
则
．
直线
的方程为
．
令
，得
的纵坐标为
．
因为
，
所以
．
．
又
．
所以
，即
．
所以直线
的斜率为定值
．
【变式2】已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)当
时，
；
(3)
的最大值为
.
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出
即可；
（2）如图，易知
为钝角，则
，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设
，
：
，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标
表示建立关于
的方程，得
，结合
即可求解.
【详解】（1）由双曲线的方程知
，
，
因为离心率为2，所以
，得
.
（2）当
时，双曲线
，且
.
因为点
在第一象限，所以
为钝角.
又
为等腰三角形，所以
.
设点
，且
，则
得
，所以
.
（3）由双曲线的方程知
，且由题意知
关于原点对称.
设
，则
.
由直线
不与
轴垂直，可设直线
的方程为
.
联立直线与双曲线的方程得
消去
，得
，
且
，即
，得
.
，
由
，得
，
所以
，即
，
整理得
，
所以
，
整理得
，所以
.
又
，所以
，解得
，
所以
，又
，
故
的取值范围是
，故
的最大值为
.
【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，
运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向
量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系.
【变式3】已知椭圆
过点
，且
的右焦点为
．
(1)求
的方程；
(2)设过点
的一条直线与
交于
两点，且与线段
交于点．
（i）证明：直线
平分
；
（ii）若
的面积等于
的面积，求
的坐标．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
．
【分析】（1）代入条件，转化为关于
和
的方程组，即可求解；
（2）（ⅰ）首先设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，得到韦达定理，由题意转化为证明
和
的斜率和为0；
（ⅱ）由面积公式，结合条件
，再结合几何关系，确定
，即可确定点
的位置，即可
求解.
【详解】（1）根据题意有
，
且由椭圆的几何性质可知
，
所以
．
所以
的方程为
．
（2）（i）因为椭圆的长轴右端点横坐标为
，所以
的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）
设
的方程为
，
代入
的方程有：
，
其中
，故
，
设
，
则
，
若直线
平分
，且易知
轴，故只需满足直线
与
的斜率之和为0．
设
的斜率分别为
，则：
，
代入
，
有
，故命题得证．
（ii）由（i）知直线
平分
，即
．
因为
的面积等于
的面积，
故
，即
，故
．
故
，
在线段
的垂直平分线上．
易知线段
的垂直平分线为
，与
的方程联立有
，
故
的坐标为
或
．
【点睛】关键点点睛：本题第二问中第一小问的关键是由几何关系转化为证明
，第二小问的关键
是转化几何关系为
.
易错点：圆锥曲线中和差距离最值问题
例1．设椭圆
的左焦点为
，点
在
上，则
的最小值为 ，最
大值为 ．
【答案】 15 23
【分析】求出椭圆的长轴长及左、右焦点坐标，再结合椭圆定义及线段和差大小关系求出最值.
【详解】椭圆
长轴长为10，左焦点
，令右焦点为
，点
在椭圆
外，
因此
，当且仅当
为线段
与椭圆交点时取等号；
，
当且仅当
为线段
的延长线与椭圆交点时取等号，
所以
的最小值为15，最大值为23.
故答案为：15；23
例2．已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
是圆
上一点，
则
的最小值为 .
【答案】
【分析】利用双曲线定义，将
转化为
，结合圆的性质求解即可.
【详解】设双曲线
的左焦点为
，连接
，
.
由题知，实轴长
，
由双曲线定义知，
，
则
，
当P，D，
三点共线时，
取得最小值，
且最小值为
.
故答案为：
例3．已知点P 是抛物线
上任意一点，若点P 到抛物线C 的准线的距离为
，到直线
的距离为
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
过点F 作
，交直线m 于点E，
由抛物线的定义可知，
，
所以当P 在线段
上时，
取得最小值，
．
故选：B.
变式1．已知抛物线C：
上一点
，点
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】利用抛物线定义将
转化为
，数形结合根据线段和的几何意义求得
的最小值, 即可求得答案.
【详解】在抛物线
中，
,
∴
,
又
, 故
在抛物线
的外部,
∴
,
∵抛物线
的焦点为
, 准线方程为
,
∴
，
，
∵
, 当
三点共线（
在
之间）时，
取到最小值
,
∴
的最小值为
,
故选: C
变式2．设椭圆
的一个焦点为
，
为
内一点，若
上存在一点
，
使得
，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令椭圆
的左焦点为
，利用椭圆的定义可求出
的最大值和最小值，即
可得出
的取值范围，即可求得椭圆
的离心率的取值范围.
【详解】令椭圆
的左焦点为
，则
，
由椭圆的定义知
，则
，
设直线
交椭圆
于
、
两点（如图），
而
，即
，
当且仅当点
、
、
共线时取等号.
当点
与
重合时，
，则
，
当点
与
重合时，
，则
，
所以
，即
，经检验，此时点
在
内，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
变式3．已知双曲线E：
的左焦点为F，点M 是E 右支上的动点，点N 是圆
上的
动点，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得
，再根据定点到圆上一动点的
距离最值的解法即可求解.
【详解】设双曲线E：
的右焦点为
，则
，
.
由双曲线定义可得
，即
.
，
当且仅当
三点共线时，
取得最大值
.
∵点N 是圆
上的动点，
∴
圆心设为
，半径
，
，
.
故答案为：
.
