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专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用
导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是
根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质
求解.
(一) 抽象函数的奇偶性及应用
若
两边求导得
，即
，即若可导函数
是偶函数，则
是奇函数，同理可得：若可导函数
是奇函数，则
是偶函数.
【例1】（2024 届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为
的函数
，其图象是连续的曲线，且存
在定义域也为
的导函数
.
(1)求函数
在点
的切线方程；
(2)已知
，当
与
满足什么条件时，存在非零实数
，对任意的实数
使得
恒成立？
(3)若函数
是奇函数，且满足
.试判断
对任意的实数
是否恒
成立，请说明理由.
【解析】（1）由题可知，
，
所以切线的斜率为
，且
，
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所以函数在点
的切线方程为
，即
；
（2）由题可知
，
又因为定义域上对任意的实数
满足
，
所以
，即
，
当
且
时，
，
当
时，
，当
时，
；
（3）因为函数
在定义域
上是奇函数，所以
，
所以
，所以
，所以
是偶函数，
因为
，所以
，
即
，即
，
因为
，所以
，即
，
所以
是周期为
的函数，
所以
，所以
.
(二)和差型抽象函数的应用
解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所
构造的函数的单调性求解．如给出式子
,可构造函数
，给出式子
,可构
造函数
，一般地，若给出
通常构造函数
.
【例2】已知
的导函数
满足
且
，求不等式
的解集．
【解析】令
，则
，∴
在
上为单调递增．
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又∵
，∴
，则
可转化为
，
根据
单调性可知不等式
的解集为
．
(三)积型抽象函数的应用
若给出形如
的式子通常构造函数
，如给出
可构造
函数
，如给出
，可构造函数
，如给出
，可构造函数
.
【例3】（2024 年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数
在
上满足
且不恒为0，则称函数
为区间
上的绝对增函数，
称为函数
的特
征函数，称任意的实数
为绝对增点（
为函数
的导函数）．
(1)若1 为函数
的绝对增点，求
的取值范围；
(2)绝对增函数
的特征函数
的唯一零点为
．
（ⅰ）证明：
是
的极值点；
（ⅱ）证明：
不是绝对增函数．
【解析】（1）因为函数
，所以
，
则
．
由
得
，解得
或
，
所以
为区间
及区间
上的绝对增函数．
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又1 为函数
的绝对增点，所以
或
，解得
或
，
所以
的取值范围为
．
（2）（ⅰ）设
为区间
上的绝对增函数，由题意知
，当
时，
．
①若
，存在
，且
在区间
上单调递增，则在区间
上，
，则
，与
矛盾．
若
，存在
，且
在区间
上单调递减，则在区间
上，
，则
，与
矛盾．
若
，存在
，且
在区间
上不单调，则存在
，且
，
此时
与
有唯一零点
矛盾．所以
．
②若
，不妨设
，则
，且存在
，使得当
时，
，且当
时，
，即
，使
在
上单调
递减，在
上单调递增．
所以
为
的极值点．同理，当
时也成立．
（ⅱ）若
为绝对增函数，则
在
上恒成立，
又
恒成立，所以
恒成立．
令
，所以
，且
，
所以
在
上单调递增．又
，所以当
时，
，则
，与
矛
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盾，所以假设不成立，所以
不是绝对增函数．
【例4】定义在
上的函数
，其导函数是
，且恒有
成立，比较
与
的大小.
【解析】因为
，所以
，
．
由
，得
．
即
．
令
，
，则
．
所以函数
在
上为增函数，
则
，即
，所以
，即
．
(四)商型抽象函数的应用
若给出形如
的式子通常构造函数
，如给出
可构造函数
，给出
，可构造函数
，给出
，可构造函数
.
【例5】（2024 届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，
在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在
上是一条连续不断的曲线；
②在
内可导;
③对
，
，则
，使得
.
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特别的，取
，则有：
，使得
，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数
满足
，其导函数
在
上单调递增，证明：函数
在
上为
增函数.
(2)若
且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题
，
由柯西中值定理知：对
，
，
使得
，
，
又
在
上单调递增，则
，
则
，即
，
所以
，
故
在
上为增函数；
（2）
，
取
，
，
因为
，所以由柯西中值定理，
，
使得
，
由题则有：
，
设
，
，
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当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
故
，所以实数
的取值范围是
.
【例6】已知函数
在
恒有
，其中
为函数
的导数，若
，
为锐角三角
形两个内角，比较
的大小.
【解析】设
，则
所以函数
在
上单调递增.
，
为锐角三角形两个内角,则
所以
，由正弦函数
在
上单调递增.
则
所以
，即
所以
.
(五)根据
构造函数
若给出形如
的式子通常构造偶函数或奇函数.
【例7】设函数
在
上存在导函数
,
,有
,在
上有
,若
,求实数
的取值范围.
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【解析】因为
,所以
令
即函数
为偶函数,因为
上有
,
所以
即函数
在
单调递增；
又因为
所以
即
,所以
,解得
,故选B.
(六)信息迁移题中的抽象函数
求解此类问题关键是如何利用题中的信息.
【例8】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
对任意
恒成立，则称函数
为“线性控制函数”.
(1)判断函数
和
是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数
为“线性控制函数”，且
在
上严格增，设
为函数
图像上互异的两点，设
直线
的斜率为
，判断命题“
”的真假，并说明理由；
(3)若函数
为“线性控制函数”，且
是以
为周期的周期函数，证明：对任意
都有
.
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【解析】（1）
，故
是“线性控制函数”；
，故
不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设
，其中
由于
在
上严格增，故
，因此
由于
为“线性控制函数”，故
，即
令
，故
，因此
在
上为减函数
，
综上所述，
，即命题“
”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意
都有
由于
为“线性控制函数”，故
，即
令
，故
，因此
在
上为增函数
因此对任意
都有
，即
当
时，则
恒成立
当
时，
若
，则
，故
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若
时，则存在
使得
故1
，因此
综上所述，对任意
都有
.
（事实上，对任意
都有
，此处不再赘述）
【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P 处的切线相同，则称C1与C2在点P 处相切．
(1)设
．若曲线
与曲线
在点P 处相切，求m 的值；
(2)设
，若圆M：
与曲线
在点Q（Q 在第一象限）处相切，求b 的
最小值；
(3)若函数
是定义在R 上的连续可导函数，导函数为
，且满足
和
都恒成立.是否存在点P，使得曲线
和曲线y=1 在点P 处相切？证明你的结论．
【解析】（1）设点
，由
，求导得
，
于是
，解得
，由
，得
，解得
，
所以m 的值为9.
（2）设切点
，由
求导得
，则切线的斜率为
，
又圆M：
的圆心
，直线
的斜率为
，
则由
，得
，令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，即函数
在
上递减，在
上递增，
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因此当
时，
，
所以当
时，
.
（3）假设存在
满足题意，
则有
，对函数
求导得：
，
于是
，即
，
平方得
，
即有
，因此
，
整理得
，而恒有
成立，则有
，
从而
，显然
，于是
，即
与
恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点
满足条件.
【例1】（2024 年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数
与
的图象
在它们的公共定义域
内有且仅有一个交点
，对于
且
，
且
，若都有
，则称
与
关于点
互穿；若
都有
，则称
与
关于点
互回.已知函数
与
的定义域均为
，导函数分别为
与
，
与
的图象在
上有且仅有一个交点
，
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与
的图象在
上有且仅有一个交点
.
(1)若
，
，试判断函数
与
的位置关系.
(2)若
与
关于点
互回，证明：
与
关于点
互穿且
在
上恒成立.
(3)研究表明：若
与
关于点
互穿，则
与
关于点
互回且
在
上恒成立.根据以上信息，证明：
（
为奇数）.
【解析】（1）设
，
则
，当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，当且仅当
时取等号.
又
与
的图象在
上有且仅有一个交点
，
函数
与
关于点
互回.
（2）设
，
，则
，（互回的定义的应用）
设
，则
，故
.
①若
均大于零，因为
，（提示：
与
的图象交于点
.
所以
，所以
单调递增，
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又
，（提示：
与
的图象交于点
）
所以
，
，
所以
，
，
所以
与
关于点
互穿且
在
上恒成立.
②若
均小于零，因为
，
所以
，所以
单调递减，
又
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
与
关于点
互穿且
在
上恒成立.
综上，
与
关于点
互穿且
在
上恒成立.
（3）设
，
（
）
则
（
），
（
）
（关键：寻找
与
，
与
，
之间的关系）
易知
，
，
由（1）可知
与
关于点
互回.
因为
，
所以
，
与
的图象交于点
.
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由（2）得
与
关于点
互穿，（提示：
，
）
由（3）得
与
关于点
互回，
易得当为奇数时，
与
关于点
互回，
所以
，
，有
（为奇数）.（提示：互回的定
义的应用）
由题意得
对任意正整数恒成立，（提示：由本问信息可得）
所以
，
，
累乘得
所以
易知
，（点拨：
，当且仅当
时等号成立，又
，所以
.所以
.
因为
，（为奇数），
所以
（为奇数），
因为
，所以
（为奇数），
即
（为奇数），得证.
【例2】（2024 届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间
上连续的可导函数
，
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在
上任取两点
，
，如果对于任意的
与
的算术平均值的函数值大于等于对于任
意的
与
的函数值的算术平均值，则称该函数在
上具有“M 性质”.如果对于任意的
与
的几何平
均值的函数值大于等于对于任意的
与
的函数值的几何平均值，则称
在
上具有“L 性质”.
(1)如果函数
在定义域内具有“M 性质”，求
的取值范围.
(2)对于函数
，若该函数的一个驻点是
，求
，并且证明该函数在
上具有“L
性质”.
(3)设存在
，使得
.
①证明:取
，则有
②若
，设命题
:函数
具有“
性质”，命題
为严格减函数，试证明
是
的必
要条件.
(可用结论:若函数
在区间
上可导，且在区间
上连续，若有
，且
，则
在区
间
上存在驻点)
【解析】（1）由函数
在
上具有“
性质”，
可得对任意
.
又
，所以
；
（2）令
由
，得
则
，在
上严格减:在
上严格增.
要证
在
上具有“
性质”.
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需证
，
即证
，
而
，
则
，
需证
，
由
，
故只需证
，
下面给出证明：设
，则
，
即在
上
递减，
所以
，
即
.
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综上，
成立，
故
，得证.
（3）①令
，
，
由可用结论，令
为该函数的驻点，则
，
即取
，则有
，得证.
②取
，设
，
记
，则
，由①中的结论，则有:
（1）
（2）
由(1)
(2)，得
对
在区间
使用①中的结论，则：
，
其中，
.
由于
是严格减函数，则
，
即
，
即
.
所以
是
的必要条件.
【例3】已知函数
的定义域为
，导函数为
，若
恒成立，求证：
.
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【解析】设函数
，因为
，
，
所以
，则
，
所以
在
上单调递减，
从而
,即
，所以
.
【例4】已知函数
满足
，且
，判断函数
零点的个
数.
【解析】
，∴
，
，∵
代入，得
，∴
.
或
，
；
，
如图所示，
函数
与函数
的图像交点个数为2 个，所以
的解得个数为2 个；综上，零点个数
为3 个.
【例5 】已知定义在R 上的函数
的导数为
, 且满足
, 当
时
,求不等式
的解集.
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【解析】设
,则
,所以
=
,所以
是偶函数,设
,则
,所
以
, 即
, 所以
时
, 所以
时
,
在
上是增函数, 所以
,故选C.
【例6】已知定义域为
的函数
，其导函数为
，满足对任意的
都有
.
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若存在
，对任意
，成立
，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、
，使得
，证明：对任意的实数
、
，都有
.
【解析】（1）若
，则
，
由题意，对任意的
都有
，
则
，即
，
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所以
，
由于
的最小值为
，
的最大值为
，
所以
，即实数a 的取值范围为
；
（2）依题意，
，
所以，
在
上为减函数，所以至多一个零点；
，，
当
时，
，
当
时，
，
所以
存在零点，综上存在1 个零点；
（3）因为
，由导数的定义得
，
即
，
不妨设
若
，则
若
，
则
.
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1.若定义域为D 的函数
使得
是定义域为D 的严格增函数，则称
是一个“T 函数”．
(1)分别判断
，
是否为T 函数，并说明理由；
(2)已知常数
，若定义在
上的函数
是T 函数，证明：
；
(3)已知T 函数
的定义域为
，不等式
的解集为
．证明：
在
上严格增．
2．对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小
值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
3．（2024 届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元
函数
在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中的
部分求导，并使之为
0，得到三个方程组，如下：
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，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示
分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
4．（2024 届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指
函数，其一般形式为
，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，
对于幂指函数
，
.
(1)已知
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
且
，
.研究
的单调性；
(3)已知
均大于0，且
，讨论
和
大小关系.
5．（湖北省八市高三下学期3 月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
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处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳
林公式.
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证明（不
使用泰勒公式）；
(3)设
，证明：
.
6. 函数
满足
（为自然数的底数），且当
时，都有
（
为
的导数），比较
的大小 .
7.设函数
在R 上可导，其导函数为
，且
．求证：
.
8.已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
是偶函数，记
，
也是
偶函数，求
的值.
9. 定义在
上的函数
有不等式
恒成立，其中
为函数
的导函数，求证：
.
10．已知
为定义域
上函数
的导函数，且
，
，
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且
，求不等式
的解集
11.定义在区间
上函数
使不等式
恒成立，（
为
的导数），求
的取值范围.
12.设
是定义在
上的奇函数.若
是严格减函数，则称
为“
函数”.
(1)分别判断
和
是否为
函数，并说明理由；
(2)若
是
函数，求正数
的取值范围；
(3)已知奇函数
及其导函数
定义域均为
.判断“
在
上严格减”是“
为
函数”的什么条件，并说明理由.
13.设
是定义在
上且满足下列条件的函数
构成的集合：
①方程
有实数解；
②函数
的导数
满足
．
（1）试判断函数
是否集合
的元素，并说明理由；
（2）若集合
中的元素
具有下面的性质：对于任意的区间
，都存在
，使得等式
成立，证明：方程
有唯一实数解．
（3）设
是方程
的实数解，求证：对于函数
任意的
，当
，
时，有
．
14.设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，求不等式
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（其中e 为自然对数的底数）的解集
