专题突破练(分值:42 分)
学生用书
P177
一、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
1.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中,共有500 人参加考试.为了解考生的成绩情况,抽取了
样本容量为n 的部分考生成绩,已知所有考生成绩均在[50,100],按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中,成绩落在区间[50,60)的人数为32,则由
样本估计总体可知下列结论正确的为( )
A.n=100
B.考生成绩的众数为75
C.考生成绩的第70 百分位数为76
D.估计该市考生成绩的平均分为70.8
答案BC
解析由频率分布直方图得x= 1
10
-(0.004+0.01+0.03+0.04)=0.016,则n= 32
0.16
=200,A 错误;数据落在
区间[70,80)上的频率最大,因此考生成绩的众数为75,B 正确;前两组的频率之和为0.46,前三组的频率
之和为0.86,故考生成绩的第70 百分位数为70+10× 0.70-0.46
0.86-0.46
=76,C 正确;该市考生成绩的平均
分为55×0.16+65×0.3+0.4×75+0.1×85+95×0.04=70.6,D 错误.故选BC.
2.(2024·山东济南二模)某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接s 待的旅游团数量.已知这组数
据均为整数,中位数为18,唯一众数为20,极差为5,则
( )
A.该组数据的第80 百分位数是20
B.该组数据的平均数大于18
C.该组数据中最大数字是20
D.将该组数据从小到大排列,第二个数字是17
答案AC
解析设这组数从小到大排列为a,b,c,d,e,f,g,由中位数为18,得d=18,由唯一众数为20,20>18=d,得
e=f=20 或f=g=20 或e=f=g=20,即可确定f=20,由7×0.8=5.6,得该组数据的第80 百分位数是从小到大
排列后的第6 个数据,即f,即为20,A 正确;因为该组数据可能为15,15,16,18,20,20,20,此时
x = 15+15+16+18+20+20+20
7
=18-2
7
<18,B 错误;由题可知g≥20,若g≥21,则a=g-5≥16,此时只
有e=f=20,故a<b<c<d=18,从而有b≥17,c≥18,d≥19,与d=18 矛盾,故g=20,C 正确;同B 中假设,该组
数据可能为15,15,16,18,20,20,20,D 错误.故选AC.
二、解答题:本题共2 小题,共30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3.(15 分)(2022·全国甲,文17)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营,为了解这两家公
司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500 个班次,得到下面列联表:
公司
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附:χ2=
n(ad -bc )
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d ) .
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
解(1)根据表中数据,A 共有班次260 次,准点班次有240 次,设A 家公司长途客车准点事件为M,
则P(M)=240
260 = 12
13
;B 共有班次240 次,准点班次有210 次,设B 家公司长途客车准点事件为N,则
P(N)=210
240 = 7
8 .所以A 家公司长途客车准点的概率为12
13
,B 家公司长途客车准点的概率为7
8 .
(2)根据已知数据,得到2×2 列联表如下:
公司
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
χ2=
n(ad -bc )
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d )
=500×(240×30-210×20)
2
260×240×450×50
≈3.205>2.706.
根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
4.(15 分)(2024·江西九江三模)车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素,汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.
某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据,如下表所示.
行驶里程x/万千米
0.0
0.4
1.0
1.6
2.4
2.8
3.4
4.4
轮胎凹槽深度h/毫米
8.0
7.8
7.2
6.2
5.6
4.8
4.4
4.0
∑
i=1
8 xihi=79.68,∑
i=1
8
( xi- x )
2=16.24,√∑
i=1
8
( xi- x )
2·√∑
i=1
8
(ℎi-ℎ)
2≈16.56.
(1)求该品牌轮胎凹槽深度h 与行驶里程x 的相关系数r,并判断二者之间是否具有很强的线性相关性;
(结果保留两位有效数字)
(2)根据我国国家标准规定:轿车轮胎凹槽安全深度为1.6 毫米(当凹槽深度低于1.6 毫米时刹车距离
增大,驾驶风险增加,必须更换新轮胎).某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新
轮胎,请问在正常行驶情况下,更换新轮胎后继续行驶约多少千米需对轮胎再次更换?
附:变量x 与y 的样本相关系数r=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
√∑
i=1
n
( xi- x )
2√∑
i=1
n
( yi- y )
2
;对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
其线性回归方程
y
^
=b
^x+
a
^的斜率和截距的最小二乘估计分别为
b
^
=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
∑
i=1
n
( xi- x )
2
,a
^
= y −b
^
x .
解(1)计算得x = 1
8
(0.4+1.0+1.6+2.4+2.8+3.4+4.4)=2,
ℎ= 1
8
(8.0+7.8+7.2+6.2+5.6+4.8+4.4+4.0)=6,
由公式知r=
∑
i=1
8
( xi- x )(hi-h)
√∑
i=1
8
( xi- x )
2√∑
i=1
8
(ℎi-ℎ)
2
=
∑
i=1
8
xiℎi-8 x ℎ
√∑
i=1
8
( xi- x )
2√∑
i=1
8
(ℎi-ℎ)
2
≈79.68-8×2×6
16.56
≈
-0.99,
所以二者之间具有很强的线性关系.
(2)设轮胎凹槽深度h 与行驶里程x 的线性回归方程为
ℎ
^
=a
^
+b
^x,则
b
^
=
∑
i=1
8
( xi- x )(ℎi-ℎ)
∑
i=1
8
( xi- x )
2
=
∑
i=1
8
xiℎi-8 x ℎ
∑
i=1
8
( xi- x )
2
=-16.32
16.24 ≈-1,
a
^
=ℎ−b
^
x
=6+1×2=8,所以线性回归方
程为h=8-x.
令h=1.6,得x=6.4,即更换新轮胎后继续行驶约64 000 千米需要对轮胎再次更
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