专题突破练(分值:82 分)
学生用书
P155
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·北京东城二模)在△ABC 中,A=π
4
,C=7 π
12
,b=√2,则a=( )
A.1
B.√2
C.√3
D.2
答案D
解析由题意可得B=π-A-C=π
6
.
由正弦定理可得,a=bsin A
sin B =
√2× √2
2
1
2
=2.
故选D.
2.(2024·浙江金华三模)已知△ABC 中,A=π
6
,a=√13,b=2,则c=( )
A.√2
B.√3
C.3√2
D.3√3
答案D
解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即13=4+c2-2√3c,解得c=3√3(c=-√3舍去).故选D.
3.(2024·山东济南一模)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,且acos C+√3asin C=b,则A=(
)
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
答案A
解析由正弦定理可得,sin Acos C+√3sin Asin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代
入整理得√3sin Asin C-cos Asin C=0.
因为0<C<π,sin C>0,
则tan A=√3
3
.
又0<A<π,故A=π
6
.
故选A.
4.(2024·吉林二模)如图,位于某海域A 处的甲船获悉,在其北偏东60°方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚
等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°,且与甲船相距√2 n mile 的B 处的乙船,已知
遇险渔船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A.√2 n mile
B.2 n mile
C.2√2 n mile
D.3√2 n mile
答案B
解析由题意知,AB=√2,∠BAC=45°,∠BCA=30°,由正弦定理得,
AB
sin ∠BCA =
BC
sin ∠BAC
,所以BC=
ABsin ∠BAC
sin ∠BCA
= √2sin 45°
sin30°
=2.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.故选B.
5.(2024·陕西西安模拟)在△ABC 中,cos A=-1
2
,b=6,a-c=4,则△ABC 的面积为( )
A.15√3
B.30√3
C.15
D.30
答案A
解析因为cos A=-1
2
,b=6,a-c=4,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得(c+4)2=36+c2+6c,解得c=10.因
为A∈(0,π),所以sin A=√3
2
,所以S=1
2
bcsin A=15√3.故选A.
6.(2024·陕西渭南三模)已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos
B,则△ABC 是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案D
解析由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,
则sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,故a=b.
因为a=ccos B,则sin A=sin Ccos B,
故sin(B+C)=sin Ccos B,sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B,得sin Bcos C=0.
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0.
因为C∈(0,π),所以C=π
2
,
故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.
7.(2024·安徽皖南五校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=c,且sin
2B
sin
2 A
=2(1+√3sin
B),则B=( )
A.π
3
B.2π
3
C.3 π
4
D.5 π
6
答案D
解析由正弦定理得,b
2
a
2=2(1+√3sin B),
即b2=2a2(1+√3sin B).由a=c 及余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=2a2(1-cos B),
∴2a2(1+√3sin B)=2a2(1-cos B),
∴√3sin B=-cos B,∴tan B=-√3
3
.
又0<B<π,∴B=5 π
6
.故选D.
8.在△ABC 中,∠ACB=120°,BC=2AC,D 为△ABC 内一点,AD⊥CD,∠BDC=120°,则tan∠ACD=
(
)
A.2√2
B.3√3
2
C.√6
D.√3
2
答案B
解析在Rt△ADC 中,设∠ACD=θ(0<θ<π
2
),令AC=x(x>0),则BC=2x,CD=xcos θ.
在△BCD 中,可得∠BCD=120°-θ,∠CBD=θ-60°,
由正弦定理
BC
sin ∠BDC =
CD
sin ∠CBD
,得
2 x
√3
2
=
x cosθ
sin(θ -60°) =
x cosθ
1
2 sinθ - √3
2 cosθ
,
所以
4
√3 =
1
1
2 tanθ - √3
2
,可得tan θ=3√3
2
,
即tan∠ACD=3√3
2
.故选B.
二、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·山东济南三模)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=1,且sin A-
bsin B=(c+b)sin C,则( )
A.sin A=√3
2
B.△ABC 面积的最大值为√3
4
C.R=2√3
3
D.BC 边上的高的最大值为√3
6
答案AD
解析在△ABC 中,由正弦定理,得a-b2=c2+bc.
因为a=1,则a=b2+c2+bc=1.
由余弦定理得,cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
=-1
2
.
又0<A<π,解得A=2π
3
.
对于A,sin A=√3
2
,故A 正确;
对于B,显然1=b2+c2+bc≥3bc,当且仅当b=c 时,等号成立,S△ABC=1
2
bcsin A≤√3
12
,故B 错误;
对于C,R=1
2 ·
a
sin A = 1
√3 = √3
3
,故C 错误;
对于D,令BC 边上的高为h,则1
2
ah=S△ABC≤√3
12
,解得h≤√3
6
,D 正确.故选AD.
10.(2024·湖北荆州三模)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,恒成立条件a=3cos C,b=1.附加条
件①△ABC 的面积取到最大值3
4
;附加条件②c=√10
2
.下列结论正确的是( )
A.sin A
sin B
=3cos C
B.tan C=2tan B
C.若恒成立条件和附加条件①成立,则cos 2B=3
5
D.若恒成立条件和附加条件②成立,则cos 2B=4
5
答案ABC
解析因为a=3cos C,b=1,所以a=3bcos C.
由正弦定理得sin A=3sin Bcos C.
又B∈(0,π),所以sin B>0,
则sin A
sin B
=3cos C,故A 正确.
又A+B+C=π,
所以3sin Bcos C=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
所以2sin Bcos C=cos Bsin C.
因为cos B≠0,cos C≠0,所以tan C=2tan B,故B 正确.
若△ABC 的面积取到最大值3
4
,即S△ABC=1
2
absin C=3
2
cos Csin C=3
4
sin 2C,
所以当C=π
4
时,S△ABC取得最大值3
4
,此时tan C=1,由B 可知tan B=1
2
tan C=1
2
,
所以cos 2B=cos2B-sin2B=co s
2B - sin
2B
sin
2B+co s
2B
= 1-tan
2B
tan
2B+1
=
1- 1
4
1
4 +1
= 3
5
,故C 正确.
若c=√10
2
,由正弦定理
b
sin B =
c
sinC
,得sin C=√10
2
sin B,
所以sin2C=5
2
sin2B,由B 知tan C=2tan B,
即sin
2C
co s
2C
= 4 sin
2B
co s
2B
,
所以
5
2 sin
2B
co s
2C
= 4 sin
2B
co s
2B
,cos2C=5
8
cos2B,
所以sin2C+cos2C=5
2
sin2B+5
8
cos2B,
即1=15
8
sin2B+5
8
,所以sin2B=1
5
,
所以cos 2B=1-2sin2B=1-2×1
5 = 3
5
,故D 错误.
故选ABC.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
11.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2ccos B=2a-b,则C= .
答案π
3
解析根据题意,在△ABC 中,2ccos B=2a-b,
则由正弦定理,得2sin Ccos B=2sin A-sin B,变形可得2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,
则有2sin Bcos C=sin B.
因为sin B>0,所以cos C=1
2
.
因为C∈(0,π),则C=π
3
.
12.(2024·浙江台州一模)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若角A 为锐角,b=3,c=4,则△ABC
的周长可能为 .(写出一个符合题意的答案即可)
答案9(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可)
解析由余弦定理可得a=√b
2+c
2-2bc cos A =√25-24 cos A.
因为角A 为锐角,则cos A∈(0,1),可得a=√25-24 cos A∈(1,5),所以△ABC 的周长
a+b+c=a+7∈(8,12).故△ABC 的周长可以为9.(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可)
13.(2024·山东威海二模)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a=√6,b+c=4,cos C=-√6
6
,则
sin A= .
答案√5
3
解析在△ABC 中,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,
所以c2-b2=6-2√6b×(- √6
6 ),
所以(c-b)(c+b)=6+2b.
因为c+b=4,所以4(c-b)=6+2b,
所以4c-6b=6.
又b+c=4,解得b=1,c=3.
由cos C=-√6
6
,可得sin C=√30
6
.
在△ABC 中,由正弦定理可得
c
sinC =
a
sin A
,
所以sin A=asinC
c
=
√6× √30
6
3
= √5
3
.
四、解答题:本题共1 小题,共15 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
14.(15 分)(2024·山东济宁三模)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知(1-cos 2C)(sin A+1)-
cos Asin 2C=0.
(1)求证:B=C+π
2
;
(2)若a=4,C∈(
π
8 , π
6),求△ABC 面积的取值范围.
(1)证明(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0,sin A+1-cos 2Csin A-cos 2C-cos Asin 2C=0,sin A-cos 2C+1-
sin(A+2C)=0.
又A+C=π-B,
则sin(B+C)-cos 2C+1-sin(B-C)=0,
sin Bcos C+sin Ccos B-1+2sin2C+1-sin Bcos C+sin Ccos B=0,
2sin2C+2sin Ccos B=0,
即2sin C(sin C+cos B)=0.
又sin C>0,所以sin C+cos B=0,
即cos B=-sin C=cos(
π
2 +C).
又0<B<π,0<C<π,所以B=π
2
+C.
(2)解由(1)知,B=π
2
+C,A+B+C=π,得A=π
2
-2C.
由π
8
<C<π
6
,得π
6
<A<π
4
,由正弦定理得
a
sin A =
c
sinC
,得c=
asinC
sin A =
asinC
sin(
π
2 -2C)
= 4 sinC
cos2C ,
所以S△ABC=1
2
acsin B=1
2
×42× sinC
cos2C
×sin(
π
2 +C)= 1
2
×42× sinC
cos2C
×cos C=4 sin 2C
cos2C
=4tan 2C.又π
8
<C<π
6
,所以π
4
<2C<π
3
.
又y=tan x 在区间(- π
2 , π
2)上单调递增,
则tan 2C∈(1,√3),所以4tan 2C∈(4,4√3),
即△ABC 的面积的取值范围为(4,4√3
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