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解三角形
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】余弦定理解三角形
【题型二】正弦定理解三角形
【题型三】 三角形解的个数问题
【题型四】判定三角形状问题
【题型五】面积公式的应用
【题型六】三角形中最值范围问题
【题型七】 距离、高度、测量问题
【题型八】与其它知识综合问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：最值范围忽视角度取值范围问题
：作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良
题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占15 分，难度不大也适应
了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握
：常规题型的归纳总结，基础知识的记忆与推导理解；最值范围的问题以构造函数求范围。
【题型一】余弦定理解三角形
【例1】在
中，角A，B，C 所对边分别是a，b，c，若
，则
.
【例2】在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则
.
【变式1】在
中，
，则
（ ）
A．5
B．3 或5
C．4
D．2 或4
【变式2】在
中，内角
所对的边分别为
，且
，则
.
【题型二】正弦定理解三角形
【例1】（多选）在
中，
，则角A 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】
是
斜边
上一点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型三】 三角形解的个数问题
【例1】符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【例2】已知
的内角
的对边分别为
，且满足
的三角形有两个，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）在
中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式2】已知
中，
，
，
有两解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型四】判定三角形的形状问题
【例1】在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若bcos A +acos B =c sinC，则△ABC为
（ ）.
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A
k
=sin B
3
=sinC
4
(k为非零实数），
则下列结论错误的是（ ）
A．当k =5时，△ABC是直角三角形
B．当k =3时，△ABC是锐角三角形
C．当k =2时，△ABC是钝角三角形
D．当k =1时，△ABC是钝角三角形
【变式1】在△ABC中，a，b，c分别为角A、B，C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若acosB =bcos A，则△ABC为等腰三角形
B．若atan A =btan B，则△ABC为等腰三角形
C．若sin
2 A +sin
2B+cos
2C <1，则△ABC为锐角三角形
D．若cos2 A +cos2B+cos2C >−1，则△ABC为钝角三角形
【变式2】已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
b+c
cos B+cosC ，则△ABC的形状是
.
【题型五】面积公式的应用
【例1】在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，
，则
的面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，且满足
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
边上的高．
【变式1】
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
的面积为
，求b，c 的值．
【变式2】已知在
中，
，
.
(1)求
的大小
(2)若AB 边上的高等于1，求
的面积.
【题型六】三角形中最值范围问题
【例1】已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
【例2】记锐角三角形
的内角
，
，
的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求
；
(2)求
的最大值．
【变式1】已知
，
为
上一点，且
．动点
满足
为线段
上一点，
满足
，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若
，则
为线段
的中点B．当
时，
的面积为
C．点
到
距离之和的最大值为5
D．
的正切值的最大值为
【变式2】已知
.
(1)求函数
图象的对称轴方程；
(2)求函数
单调递增区间；
(3)设
的内角
所对的边分别为
，若
且
.求
面积的最大值.
【变式3】若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的
倍
，则称该三角形为
阶准直角
三角形.在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
是2 阶准直角三角形；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的面积的最大值.
【题型七】 距离、高度、测量问题
【例1】如图，为了测量一条大河两岸
之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至
点进
行测量，
在同一铅垂平面内.在
点测得
的俯角为
，则
.
【例2】某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C 三处，如图.已
知在A，B，C 处测得该建筑顶部P 的仰角分别为
，
，
，
，
米，则该建筑
的高度
（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【变式1】如图，A，B，C 三点位于同一水平面，A 位于B 的北偏西30°方向，C 位于B 的北偏东60°方向，
A 在C 的正西方向，且A，C 之间的距离为50 米，B 处正上方建有一栋楼房，C 处正上方建有一座塔，从
A 处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D 处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为
米.
【变式2】某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的
直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A 点处固定一旗帜，然后从A 点沿
逆时针方向绕着湖泊边缘走到B 点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B 点逆时针走至C 点
处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20 米，AB=10 米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若D 为人工圆形湖泊优弧
上一动点（异于A，C 两点），求四边形ABCD 面积的取值范围．
【变式3】为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方
案：如图，设
，
分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线
，使得
，
，
三点在同一直
线上，在
，
两点用测角仪测得
的仰角分别是
和
，测角仪器的高度是，
，由此可计算出
建筑物的高度
.若
，
，则此建筑物的高度是 （答案用
，表示）
【题型八】与其它知识综合问题
【例1】在边长为2 的正方形
中作出
.直角顶点
为
的中点.其他两顶点
分别在边
上运动.则
的周长的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【变式1】在平面直角坐标系
中，
的三个顶点均位于抛物线
上，点
为
的
焦点，若
，直线
的斜率为
，则使
成立的实数
的
值为 ．
【变式2】已知
的顶点
分别为双曲线
的左、右焦点，点
在
的右
支上，且
与
的一条渐近线垂直，记
的离心率为，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
螺线与坐标轴依次交于点
，
，
，
，
，
，
，
，并按这样的规律继续下去，则（ ）
A．对于任意的正整数n，
B．对于任意的正整数n，
为整数
C．存在正整数n，三角形
的面积为2025
D．存在正整数n，三角形
为钝角三角形
易错点：最值范围易忽视最值范围问题
解题技巧：审题时看是否存在对角度的要求，尤其是出现“锐角三角形”的限制条件，就要求每个角都为
锐角。
例1、在锐角
中，角
的对边分别为
，已知
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围.
变式1、（多选）已知锐角
，角
所对应的边分别为
，下列命题正确的是（ ）
A．“
”是“
”的必要不充分条件
B．若
，则
是等腰三角形
C．若
，则
的取值范围
D．若
，则
的取值范围
变式2、锐角
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
，若
存在最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
