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2024 届大题强化训练及变式训练（11）
1．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
点 在侧棱 上， .
（1）证明： 是侧棱 的中点；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2） .
【分析】（1）作 ，连接 ，作 ，则 为矩形，由此利用几何关系求得
，即可证明；
（2）解法一：由已知推导出 为等边三角形，取取 中点 ，连结 ，取 中点 ，连
结 ，利用二面角定义可得 为二面角 的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再
利用同角三角函数关系求得正弦值即可；
解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直的条件列方程组求得二面角的两个半平面所在平
面的法向量，然后利用向量的夹角坐标运算公式求得法向量的夹角余弦值，进而利用平方关系求得正
弦值.
【解析】（1）作 交 于点 ，则 ，因为四边形 是正方形，所以
.
又 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ，
连接 ， 平面 ，所以 ，则四边形 为直角梯形，作 ，足为 ，则 为矩形，
设 ，则 ，
，
由 ，得 ，
解得 ，即 ，从而 ，所以 为侧棱 的中点.
（2）解法一：因为四边形 是正方形，所以 ，又 平面 ，
平面 ，所以 .因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，则 ，
又 ， 为等边三角形.
又由（1）知 为 中点， ，
所以 ，
取 中点 ，连结 ，取 中点 ，连结 ，则 ，
由此知 为二面角 的平面角，由（1）知 平面 ，又 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，连结 ，
在 中， ，
所以 .所以二面角 的正弦值为
.解法二：以 为坐标原点， 方向为 轴正方向建立空间直角坐标系（如图），
易知 ，
，
令平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 .
设平面AMB的法向量为 ，由 得 ,化简得 ，
令 ，得 ，令二面角 的大小为 ，
则 ，
故二面角 的正弦值为为 .
变式：如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面 ， 在 上，且
．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， 为 的中点，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）由已知可证 平面 ，得 ，由平面 平面 的性质，可证
平面 ；
（2） 两两垂直，建立空间直角坐标系，由已知求出 点坐标，向量法求两个平面夹角的
余弦值.
【解析】（1）解法一：
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面
解法二：
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解法一：
由（1）得 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，由（1）知 两两垂直，如图，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，
轴建立空间直角坐标系，
则 ．
所以 ，
显然平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，取 ，则 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
解法二：
由（1）知 两两垂直，如图，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，
轴建立空间直角坐标系，则 ．
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，解得 ，或 （舍去），所以 ，
所以 ，
显然平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，取 ，则 ，
则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
2 ． 在 梯 形 中 ， ， 设 ， ， 已 知
.
（1）求 ；
（2）若 ， ， ，求 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得
，结合图形可得 ，即可得 ；
（2）借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【解析】（1） ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
又 ，故 ，即 ，
又 ，故 ；
（2）由 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
故 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，故 .
变式：如图，在 中， ， ， ，点 在边 的延长线上.（1）求 的面积；
（2）若 ， 为线段 上靠近 的三等分点，求 的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 中， ，
因为 ， ，
所以
因为
，
所以 .
（2）方法1：因为 为线段 上靠近 的三等分点，
所以 ,
所以 ,
所以
，
则 .
方法2：在 中，由余弦定理得
，
因为 为线段 上靠近 的三等分点，
所以 ，
因为 ，
所以 ，因为 为锐角，
所以 ，
在 中，由余弦定理得，
，
所以 .
3．人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性
别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．
设这三人中性格外向型的人数为 ，求 的数学期望．
（2）对表格中的数据，依据 的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与
人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性
检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式： ．
0.1 0.05 0.01
2.70 3.84 6.63
6 1 5
【答案】（1） （2）结论不一致，理由见解析
【分析】（1）法一：根据独立事件乘法公式，结合数学期望公式进行求解即可；法二：根据二项分布
的定义和数学期望公式进行求解即可.
（2）根据所给的公式进行运算求解即可.
【解析】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比
为 ，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的
概率是 ．
法一： 的所有可能取值为0，1，2，3．
则 ，
，
所以 ．
法二：从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为 ；
从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
（2）零假设为 ：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
依据 的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，
原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
变式：2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，
有 ， ， ， ， 共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练
前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图
中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前训练后
合计
（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值 的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与
训练是否有关？并说明原因；
（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是
训练前也为“优秀”的概率；
（3）跳水员 将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：
在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为
“优秀”.每轮测试中，跳水员 在每个高度中达到“优秀”的概率均为 ，每个高度互不影响且每
轮测试互不影响.如果跳水员 在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至
少要进行多少轮测试？
附： ，其中 .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有关，原因见解析 （2） （3）12轮
【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，
（2）根据条件概率的计算公式即可求解，
（3）根据二项分布的期望公式，列不等式即可求解.
【解析】（1）零假设 ：假设跳水员的优秀情况与训练无关.
列联表为：优秀人数 非优秀人数 合计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
合计 10 10 20
，
故根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯
错误的概率不超过0.01.
（2）由图可知：训练前后均不优秀的有 ， 共2人，训练前后均优秀的有 ， 共2人，训练前
不优秀而训练后优秀的有6人，
设 “所选3人中恰有2人训练后为优秀”， “所选3人中恰有1人训练前为优秀”，
则 ， ，
（3）设跳水员 每轮测试为优秀的概率为 ，则 .
设 测试次数为 ，则优秀的次数 ，
故 ，
故至少需进行12轮测试.
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求证： ；
（3）若 且 ，求证： ．
【答案】（1） 在区间 上单调递减 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）求 ，令 ，求 ，讨论 的大小可证得 ，
即 ，即可得出 的单调性；（2）法一：要证 ，即证 ，记 ，
讨论 的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证
即证 即可.
（3）法一：由（1）可知 为减函数，所以 ，要证 即证
，构造函数证明即可；法二：先证 ，即
，则 ，再结合基本不等式即可证明.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
记 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减．
（2）法一：先证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
再证 ，即证 ，记 ，
则 ，记 ，则 ，所以 在 递增，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
法二：构造函数 ，
当 时， 单调递增， ，所以 ，
构造函数 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，即 ，即 成立．
所以 ，
所以 ，
则只需证明 ，即 ，而 显然成立，
所以 ．
（3）法一：由（2）知 的最大值为0．
因为 且 ，则 之中至少有一个大于1，
不妨设 ，则 ，由（1）可知 为减函数，所以 ，
所以 ，
因
为
，记 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
法二：先证 ，记 ，
则 ，
记 ，则 ，所以 时， 递增；
时， 递减．
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ．
所以 ，
因为 且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，则 ．
变式：已知函数 .
（1）若函数 为增函数，求 的取值范围；
（2）已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）分析可得原题意等价于 对 恒成立，构建 ，利用导数求
最值结合恒成立问题运算求解；
（2）（i）取 ，根据题意分析可得 ，构建 ，结合导数证明即可；
（ii）根据题意分析可得 ， ， ，构建
，结合导数证明 ，即可得结果.
【解析】（1）∵ ，则 ，
若 是增函数，则 ，
且 ，可得 ，
故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递增，在 递减，故 ，
∴ 的取值范围为 .
（2）（i）由（1）可知：当 时， 单调递增，
∵ ，则 ，即 ，
整理得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递减，在 递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，令 ，可得 ，
故 ；
（ii）∵ ，则 ，
可知 有两个不同实数根 ，由（1）知 ，
可得 ，
同理可得 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
且 ，故 对 恒成立，
故 在 上单调递减，
∵ ，则 ，即 ，
且 ，则 ，故 ，
可得 ；
又∵ ，由（i）可得 ，即 ，
则 ，
且 ，则 ，
可得 ；
综上所述： .可得 ，则
故 .
5．已知双曲线 的两条渐近线分别为 上一点 到 的距离之
积为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设双曲线 的左、右两个顶点分别为 为直线 上的动点，且 不在 轴上，直线
与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，直线
与 的交点为 ，证明 ．
【答案】（1） （2）证明见详解
【分析】（1）根据点到直线距离分别求出点 到 ， 的距离可得 ，即
，再结合点 在双曲线上，从而可求解.
（2）分别设 ，求出相应斜率后可得 ，再设直线
， 然 后 与 联 立 利 用 韦 达 定 理 得 到
，从而求得 ，然后结合条件从而求解.
【解析】（1）因为 在 上，则 ①．
因为 的方程分别为 ．
到 的距离之积为 ，则 ②，
由①②解得 ，所以双曲线 的方程为 ③．
（2）因为 ，设 ，
则 ，
所以 ④，
因 ，
为
且 在双曲线上，则 ，代入上式得： ，
把④代入上式得： ⑤．
设直线 ，代入③得：
，则： ⑥， ⑦，
由⑤得： ，即： ，
把⑥⑦代入上式得： ，
因为 ，所以 ，
则 ．
则 ，所以 点坐标为 ．
不妨设 ，
因 ，同理 ，
令 ，则 ，
同理： ，要证明 ，只需证明： ，
即证明： ，
将 和⑥⑦代入上式显然成立，所以 ．
变式：如图， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 两点，直线
交抛物线的准线于点 ，设抛物线在 点处的切线为 ．
（1）若直线 与 轴的交点为 ，求证： ；
（2）过点 作 的垂线与直线 交于点 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 抛 物 线 方 程 可 得 焦 点 坐 标 和 准 线 方 程 ， 设 直 线 的 方 程 为
联立直线和抛物线方程求得 ， ，即可得
，得证；
（2）写出过点 的 的垂线方程，解得交点 的纵坐标为 ，再由相似比即可得，即证得 .
【解析】
（1）易知抛物线焦点 ，准线方程为 ；
设直线 的方程为
联立 得 ，
可得 ，所以 ；
不妨设 在第一象限， 在第四象限，对于 ；
可得 的斜率为
所以 的方程为 ，即为
令 得
直线 的方程为 ，
令 得 ．
又 ，所以
即 得证．
（2）方法1：由（1）中 的斜率为 可得过点 的 的垂线斜率为 ，所以过点 的 的垂线的方程为 ，即 ，
如下图所示：
联立 ，解得 的纵坐标为
要证明 ，因为 四点共线，
只需证明 （*）．
，
．
所以（*）成立， 得证.
方法2：
由 知 与 轴平行，①
又 的斜率为 的斜率也为 ，所以 与 平行，
②，
由①②得 ，即 得证.
