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2024 届大题强化训练及变式训练（13）
1．如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ， ， ，在下面
给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① ；
② ；
③ 的面积为 .选择条件______.
(1)求 的值；
(2)求 的周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）若选①，因为 ，
由正弦定理可得 ，
显然 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
若选②，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
若选③， 的面积为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，
因为 外接圆的半径 ，所以 .
（2）由题知 ，设 ， ，由正弦定理 ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
变式：已知条件：① ；② ；③
.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足：___________.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析， ；(2) .
【解析】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，则 ，又 ，
所以 .
选择条件②， ，
于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，因此 ，即 ，又 ，
所以 .
选择条件③， ，在 中，因为 ，即 ，
则 ，又 ，即有 ，则 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，有 ，
而 与 的平分线交于点 ，即有 ，于是 ，
设 ，则 ，且 ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ， ，
所以 的周长为
，由 ，得 ，
则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .
2．如图，将边长为2的菱形 沿其对角线 对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边
所在平面的两侧，且 ， ．设E是 的中点．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）取 的中点O，根据题意，分别证得 和 ，利用线面垂直的判定定
理，证得 平面 ，进而证得平面 平面 ．
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面 和 得到法向量
和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【解析】（1）证明：取 的中点O，连接 、 ，如图所示．
因为四边形 是边长为2的菱形， 是边长为2的等边三角形，
所以 也是边长为2的等边三角形，
在等边 中，O是 的中点，可得 且 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ；
又因为 平面 ，故平面 平面 ．
（2）由（1）知， ， ．
因为O是等边 的 边中点，可得 ．
所以，以 为原点，分别以 所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，可得 ，
因为 是边长为2的等边三角形，故 ，
所以 ，且 ，
又因为 ， ，故 平面 ，则D在平面 内，
可得 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，显然可令 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，即 ，所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．变式：已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且 ．现将 沿AE向上翻折，
使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥 ．
（1）若点F在线段AP上，且 平面PBC，求 的值；
（2）若 ，求锐二面角 的余弦值．
【答案】（1）2 （2）
【分析】1）点 为线段 上靠近点 的三等分点，过点 作 交 于点 ，连接 ，可
证 ，进而可证四边形 为平行四边形，可证 平面 ．
（2）取 中点 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角 的余
弦值．
【解析】（1）点 为线段 上靠近点 的三等分点，满足 平面PBC，证明如下：
如图，过点 作 交 于点 ，连接 ，则 ，
又 ， ，所以 ．因为 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，有 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
此时有 .
（2） ， 为等腰直角三角形，
， ， ， ．
取 的中点 ，以 为坐标原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，
不妨取 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
则锐二面角 的的余弦值为 ．
3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，随机移动 次，每次等可能地向左或向右移
动一个单位长度， 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为 .
（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求 的分布列和 的值.【答案】（1） （2）分布列见解析，0
【分析】（1）由 可直接得到结果；
（2）首先求出X的所有可能取值以及对应的概率，再结合离散型随机变量的期望公式求答案即可.
【解析】（1） ；
（2）设 表示6次移动中向左移动的次数，则 ，
质点最后到达的数字 ，
则： ，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
0 2 4 6
.
变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为 ，试探讨下列问
题：
（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概
率；
（2）记 为 次游走中恰有2次向右游走的概率，令
.记 为不超过 次游走的情况下，向右游走2次后
停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到 次时也停止游走），此时一共游走的次数， 的数学期望为 .请比较 与 的大小，并说明理由.
【答案】（1） （2） ，理由见解析
【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）先计算出 ，进一步得求和式 ，另一方面若 时停
止游走，最后一次必然向右游走，可以得出 ，从而
，结合错位相减法、等比数列求和公式得 的表达式，
进一步结合期望公式得 ，将 与 作差即可比较大小.
【解析】（1）设事件 表示共有 次向右游走，事件 表示第二次向左游走，
则 表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，
故 ，
表示一共向右游走2次，故 ，
则 .
（2）根据题意可知 ，
.
若 ，最后一次必然向右游走，
故 ， ，
记 ①. ②.
两式相减得 ，
， .所以 ；
，
故 .
4．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明：
．
【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析
【分析】（1）求导，分 和 两种情况，结合导数符号判断函数单调性；
（2）根据题意分析可知： 在 内单调递增，在 内单调递减，
，利用极值点偏离证明 和 ，即可得结果.
【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ， ，
且 ，令 ，可得 ，
当 ，即 时，可知 在 内恒成立，
即 在 内恒成立，所以 在 内单调递增；
当 ，即 时，由 解得 或
，
由 可知 ，
若 ， ；若 ， ；
所以 在 内单调递增，在 内单调递减；
综上所述：当 时， 在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递增，在内单调递减.
（2）当 时，可得 ， ，
由（1）可知： 在 内单调递增，在 内单调递减，
由题意可得： ，
因为 ，
令 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
可得 在内恒成立，
因 为，则 ，
且 ， 在内单调递减，
则 ，即 ；
令 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
可得 在 内恒成立，
因为 ，则 ，
且 ， 在 内单调递增，
则 ，即 ；
由 和 可得 .
变式：已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的零点分别为 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析，(2)证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ，导函数 ，
①当 时， ，则 在 上单调递增；
②当 时，令 ，则 ，∴当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
（2）由（1）知，方程 的两个不等的正实根 ，即 ，
亦即 ，从而 ，
设 ，又 ，即 ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
令 ，则
设 ，则
则 在 上单调递增，有 ，
于是 ，即有 在 上单调递增，
因此 ，即 ，
所以 成立，即 ．
5．已知双曲线 经过椭圆 的左、右焦点 ，设 的离心率分
别为 ，且 ．
（1）求 的方程；（2）设 为 上一点，且在第一象限内，若直线 与 交于 两点，直线 与 交于
两点，设 的中点分别为 ，记直线 的斜率为 ，当 取最小值时，求点 的坐标．
【答案】（1） 的方程为 的方程为 （2）
【解析】（1）依题意可得 ，得 ，
由 ，得 ，解得 ，
故 的方程为 的方程为 ．
（2）易知 ，设 ，直线 的斜率分别为 ，
则 ，
在 ，即有 ，
可得 为定值．
设直线 的方程为： ，联立 可得
恒成立，
设 ，则有 ，
可求得 ，
设直线 的方程为： ，
同理可得 ，
则
由 可得： ，点 在第一象限内，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
而 ，故等号可以取到．
即当 取最小值时， ，联立 ，
可解得 ，
故 的方程为： 的方程为： ，
联立可解得 ，即有 ．
说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，
另外可以分别设直线方程 和 求解，
此时：
也可以直接通过 的横纵坐标代换来求解，
此时：
都可以根据相应步骤给分．
变式：已知抛物线 与双曲线 相交于两点 是 的右
焦点，直线 分别交 于 两点（不同于 点），直线 分别交 轴于 两点.
（1）求 的取值范围；
（2）记 的面积为 的面积为 ，当 时，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由双曲线方程 ，则 ，得到 ，联立㘯物线与双曲线方程 ，得到 ，，
记 ，可知 有两个根
和 ，其中 ，则 ，解得 .
又直线 分别交 于 （不同于 点），即 三点不共线，当 时，代入
抛物线方程得到 ，将 代入双曲线方程得到 ，解得 ，
故 .
综上，
（2）
由 是直线 与抛物线 的两个交点，显然直线 不垂直 轴，
点 ，故设直线 的方程为 ，
由 消去 并整理得 ，所以 为定值.
设 ，直线 的斜率 ，
方程为 ，
令 ，得点 的横坐标 ，
设 ，由 消去 得 ，
，
，
而直线 的方程为 ，依题意 ，
令 ，得点 的横坐标
，
因此 .
联立抛物线与双曲线方程 ，得到 ，解得点 的坐标
，由 .
根据 ，则 ，代入得到 ，
即 ，化简得 解得 ，故 .
