专题05 函数图像及函数与方程（七大题型七大易错题）
【题型1 作函数图像】
1．已知函数f (x)=e
x(2 x−1)
x−1
．
(1)求函数f (x)的单调性和极值；
(2)作出函数f (x)的大致图象．（参考数据：e
3
2 ≈4.48
）
2．已知函数f (x)=|x +2)+|2 x−a)(a∈R)．
(1)若a=3，作出f (x)的图象；
(2)当a=2时，若对任意的x∈R，|x +2)+ f (x)≥m
2−5m恒成立，求实数m的取值范
围．
3．设函数f ( x)=|2 x)−|x +1).
(1)在坐标系中画出函数f ( x)的图象；
(2)若f ( x)≥4−|a−2)对任意x∈R恒成立，求a的取值范围.
【题型2 识别与辨图的常见方法】
1．下列图象中，函数f (x)=
x
4 x
2−1
的部分图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数f (x)=
x
1+ x
2 ⋅sin x，则函数y = f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数f (x)=3|x)，g(x)=sin x，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是
（ ）
A．y = f (x)+ g(x)
B．y = f (x)−g(x)
C．y = f (x)g(x)
D．y = g(x)
f (x)
4．函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数f (x)= x +(e
x−e
−x)cos x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 以函数图像为背景的问题】
1．已知函数f ( x)={
x
2+2 x−3, x ≤0
−2+ ln x , x>0 )
，若方程f ( x)=k的实数解恰有两个，则实数k的取
值范围是（ ）
A．k ≤−4
B．−4<k <−3
C．k =−4或k >−3
D．k =−4或k ≥−3
2．已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log1
3
x , x>0)
，若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零点，则a的取值
范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
3．函数f (x)的大致图象如图所示，设f (x)的导函数为f
′ (x)，则f
′ (x)f (x)>0的解集为
（ ）
A．(−∞,0)∪(1,3)
B．(1,3)
C．(0,1)∪(3,+ ∞)
D．(−∞,0)∪(3,+ ∞)
4．已知函数f (x)={
(2a+3) x−4 a+3, x ≥1
a
x , x<1
)
，对任意的x1, x2∈R，且x1≠x2
，都有
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0，则a的取值范围是（ ）
A．a>1
B．a<2
C．1<a<2
D．1<a≤2
5．已知函数f (x)=a⋅2
x−b⋅2
−x，则“a=b”是“f (x)为奇函数”的（ ）条件
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
6．已知函数f ( x)为偶函数，当x<0时，f ( x)= x−2
2
x ，则f (1)=（ ）
A．3
2
B．−3
2
C．6
D．−6
7．已知函数f (x)＝¿，若f (x)存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−1,+ ∞)
B．(−1,+ ∞)
C．[0,+∞)
D．(0,+∞)
8．已知函数f (x)的定义域为R ,f (x +2)为偶函数，f (x +1)为奇函数，则（ ）
A．f(−1
2)=0
B．f (−1)=0
C．f (2)=0
D．f (4)=0
9．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)={
−x ,0≤x<1
x−2, x ≥1 ). 则不等式f (x +1)
x
<0在
(−2,2)上的解集为（ ）
A．(−2,−1)∪(0,1)B．(−2,−1)∪(1,2)C．(−1,0)∪(0,1)
D．(−1,0)∪(1,2)
10．多选题已知函数f (x)={
e
x , x ≤0
ln x , x>0)
，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)是增函数
C．不等式f (x)>0的解集为(−∞,0)∪(1,+∞)
D．若函数y = f (x)−a恰有两个零点，则a的取值范围为(0,1)
11．多选题设函数f (x)= x
3−3 x +3，则（ ）
A．f (x)在(−1,1)上单调递减
B．x∈[0,2)时，f (x)的值域为[3,5)
C．f (x)有三个零点
D．曲线y = f (x)关于点(0,3)对称
12．多选题已知函数f ( x)= 2e
x−3
e
x+1
，则下列结论正确的是（ ）
A．∃x0∈R，使得f (x0)=−5
2
B．函数f ( x)的图象是一个中心对称图形
C．曲线y = f ( x)有且只有一条斜率为❑√3的切线
D．存在实数a，b，使得函数f ( x)的定义域[a,b]，值域为[
1
2 a, 1
2 b)
【题型4 函数零点所在区间的判断】
1．函数f (x)=2
x+ ln x−1
的零点所在的区间为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,1)
C．(1, 3
2)
D．(
3
2 ,2)
2．函数f (x)=ln(2 x)−1
x
的一个零点所在的区间是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
3．函数f ( x)= ln x−(
1
3)
x的零点所在区间为（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,e)
D．(e,3)
【题型5 函数零点个数的判断】
1．已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)
，则函数y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点个数为
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．函数f (x)=e
x +1+ x +1的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．函数f (x)={
x
3+8, x ≤0
log4 x + x , x>0)
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．函数f (x)=sin x +cos x−1在[0,2π )上的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．函数f ( x)= x
3−4 x
2+5 x−2的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．函数f ( x)=cos x +cos2 x +cos3 x，则f ( x)在[0,2π)内零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．函数u( x)= ❑√3sin 2 x +cos2 x−2log4 x的零点个数为 ．
8.函数f (x)= x
3−|3 x−2)的零点个数为 ．
9．已知函数f (x)={
x
3−1, x>0
−x , x ≤0 )
，g(x)= f (x)+ f (−x)，则函数g(x)的零点个数为 .
【题型6 函数零点的应用】
1．已知函数f (x)= x
2+2mx +2m+3在区间(0,2)内只有一个零点，则实数m的取值范围是
（ ）
A．{m|m=−1)
B．{m|m=−1)或m=3)
C．¿
D．¿
2．已知函数f (x)={
e
x , x ≤0
ln x , x>0)
，g(x)= f (x)+ x +a，若g(x)存在2 个零点，则a的取值范
围为（ ）
A．[−1,0)
B．(0,+∞)
C．[−1,+∞)
D．[1,+∞)
3．若a>1，设函数f (x)=a
x+ x−4的零点为m，g(x)=loga x + x−4的零点为n，则
1
m + 1
n
的取值范围（ ）
A．(
7
2 ,+∞)
B．[1,+ ∞)
C．(4 ,+∞)
D．(
9
2 ,+∞)
4．多选题已知函数f ( x)= x
2−2|x)(x <a)，若函数F (x)= f (x)−x存在两个零点，则a的
取值可能是（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．3
【题型7 构建函数模型的实际应用】
1．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学
生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间t(30≤t ≤100)（单
位：天）与增加总分数f (t )（单位：分）的函数模型f (t )=
kP
1+lg(t +1) ,k为增分转化
系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，f (60)= 1
6 P.已知某学生在“百日冲
刺”前的最后一次模考总分为400 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总
分为(lg61≈1.79)（ ）
A．442
B．452
C．462
D．472
2．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由p= p0e
−kℎ近似
描述，其中p0为标准大气压强，k 为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m 两
处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，
则此时该地为（ ）
季节
春季
夏季
秋季
冬季
p0(kPa)
(10
1.96,10
2.02]
(10
1.93,10
1.96]
(10
1.96,10
2.02]
(10
2.02,10
2.06]
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．春季
B．夏季
C．秋季
D．冬季
3．已知某微生物的种群数量N与培养时间x（单位：h）之间满足函数关系：N =80(
3
2)
x，
一次实验中发现，在一定环境下，当种群数量是初始种群数量的200 倍时，将达到该
环境的最大容纳量，在达到环境最大容纳量之前，需要实验人员提前进行人为干预，
则该实验至多进行多少小时，需要实验人员的干预（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
4．日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色
黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点．冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色
香味达到最佳状态．经验表明，绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至55℃时再
饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用
口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据，如
下表：
时
间/
min
0
1
2
3
4
5
6
水
温/
℃
85.0
0
79.0
0
73.6
0
68.7
4
64.3
7
60.4
3
56.8
9
这组数据可以用下图表示：
设茶水温度从85℃开始，经过x min后的温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化
的规律，现给出以下三种函数模型：①y =kx +b (k <0, x ≥0)；②
y =k a
x+b(k >0,0<a<1, x ≥0)；③y =loga(x + k )+b(k >0,0<a<1, x ≥0)．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并
利用前三组的数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确
到0.1)．（参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477）
5．Labubu 已然成为2025 年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻
人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩
具的年固定成本为15 万元，每生产x 千件需另投入c( x)万元.其中c( x)与x 之间的关
系为：c( x)={
a x
2+bx ,0< x<20, x∈N
∗
22 x +
c
x−2 −950, x ≥20, x∈N
∗)
，且函数c( x)的图象过A(3,9)，
B(6,24)，C(82,1054)三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu 售价定为12 万
元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
(1)求a，b，c 的值，并写出年利润L( x)（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析
式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规
范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019 年公安部交通管理局下
发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行
为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如
表所示.
驾驶行为类别
阈值
(mg/100mL)
饮酒驾车
[20,80)
醉酒驾车
[80,+ ∞)
经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点
图”如图所示，且图中所示的酒精含量f (x)（单位：mg/100mL）随时间x（单位：
h）变化的函数模型可表示为f (x)=¿，根据上述条件：
(1)试计算某人喝1 瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
(2)试计算某人喝1 瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计；参考数据：
ln15≈2.71，ln30≈3.40）
7．某企业于2024 年在其基地投入150 万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10 年
内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．
(1)写出第x年（2024 年为第1 年）该企业投入的研发资金y（单位：万元）与x的函数
关系式，并指出函数的定义域；
(2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600 万元？
（参考数据：lg0.12≈−0.921，lg1.2≈0.079，lg0.112≈−0.951，
lg1.12≈0.049，lg2≈0.301）
8．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措
施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3 米，宽度为
x∈[6,10)（单位：米），地面面积为81 平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，
工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200 元，屋顶和地面报价共计7200 元，总计报
价记为P(x)；
方案二：其给出的整体报价为f (x)=1200m(
3
x +1)
元，(m>0)
(1)当宽度为8 米时，方案二的报价为29700 元，求m的值；
(2)求P(x)的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的x∈[6,10)时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围.
9．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入
广告费t（百万元），可增加的销售额为−t
2+ 4t（百万元）（0≤t ≤5）.
(1)若该商场将当年的广告费控制在五百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司
由广告费而产生的收益最大？
(2)现在该商场准备投入五百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术
改造费x（百万元），可增加的销售额约为−1
3 x
3+ x
2+3 x（百万元），请设计一个资
金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.
1．函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
2．函数f (x)=e
x(2 x−1)
x−1
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知f (x)=sin x−x，若g(x)= f (x
3−x −1)+ f (−2 x −λ)有三个零点，则实数λ的取值
范围是（ ）
A．(−3,1)
B．(−∞,−1)∪(3,+∞)
C．(−1,3)
D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
4．定义在(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f(
1
x)=−f (x),f(
2
x)=−f (2 x)，当x∈[1,2)时，
f (x)=(x−1)(x−2)，则函数y = f (x)+ 1
4
在区间[1,100)内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．已知函数f (x)满足f (x +2)= f (x−2)，且f (x)={
2sinπ x ,−1< x ≤1
1−|x),1< x ≤3 )
，则方程
2f (x)= x的实数解的个数为 ．
6．已知函数f (x)={
x
2+ x , x ≤0,
a x
2+bx , x>0)
是奇函数，则函数g(x)= f (x)−a
4
的零点个数为 ．
7．已知函数f (x)=3a−4e
x−2−9e
2−x有两个零点，则实数a 的取值范围为 .
8．已知函数f ( x)={
x
3, x ≤a
|2
x−4), x>a)
，若存在实数b，使函数y = f ( x)−b恰有3个零点，则
实数a的取值范围是 ．
9．若函数f (x)=log2(x +3)−x的零点x0∈(k ,k +1)，则整数k的取值为 ．
10．已知函数f ( x)=|2 x−3|+| x +1|−5．
(1)求不等式f ( x)≤6的解集；
(2)若直线y =k( x +1)与f ( x)的图象所围成的三角形的面积为15
2
，求实数k的值．
11．某公司生产的某批产品的销售量x 万件（生产量与销售量相等），x>0，已知生产该
批产品共需投入成本x
3+12 x
2+36 x万元，产品的销售价格定为(180+ 200
x )
元/件.
(1)将该产品的利润y 万元表示为销售量x 万元的函数；
(2)当销售量x 投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
12．一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数p与
听课时间t（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14 ]时，曲线是
二次函数图象的一部分，当t ∈(14,40]时，曲线是函数y = loga(t −5)+83(a>0且
a≠1)图象的一部分．根据研究得知：当注意力指数p大于80 时听课效果最佳．
(1)求p= f (t )的函数解析式；
(2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由．
13．中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用100
∘C的水泡茶，等到茶水温度降至60
∘C
时，有最佳饮用口感，茶水温度y(
∘C)适放置时间x(分钟)的活数关系式为
y =k a
x+20(k ∈R,0<a<1, x ≥0)，由测试可知a=0.9，经过1 分钟后茶水的温度
为92
∘C.
(1)求常数k 的值；
(2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：
lg3=0.48，lg2=0.30)
14．在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆
密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为F = q
x
，
x为道路密度，q为车辆密度.已知某道路的交通流量
F = f (x)={
100−45⋅(
1
3)
x
,0< x<40
−k (x−40)+85,40≤x ≤80
(k >0))
，
(1)若交通流量F >95，求道路密度x的取值范围；
(2)若道路密度x =80时，测得交通流量，F =50，求车辆密度q的最大值.
