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专题 01 集合、复数、不等式与常用逻辑用语
考点一：集合
知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋知识点2 集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
集合A是集合B的子集，且集合
关系
真子集
或
B中至少有一个元素不属于A
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A ⇔A B⊆.
（3）补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅． ∁U (∁U A)＝A； ⇔ ⊆
∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)； ∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
【题型1 元素与集合的关系及应用】
利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键，求解过程中务必注意：用描述法表示的集合，
要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合。如果是根据已知列方
程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
1．（2022·全国·高考真题）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误故选:
2．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知 ，则 的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知： 或 或 ，解的 或 或 ，
由集合的性质可知，当 时， 不满足互异性，所以 的取值为 或 .故选：C.
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ， ，集合 不满足元素的互异性，所以 舍去；
当 时，经检验，符合题意，所以 ．
4．（23-24高三上·陕西·期中）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【解析】若 ，则 或 .
当 时， ，不符合元素的互异性；
当 时， ，符合题意.故选：B．
5．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式 的解集为M， 且 ，则实
数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 且 ，得 所以 .
【题型2 子集（真子集）的个数问题】注意：空集是集合的子集，也是非空集合的真子集；集合是它自身的子集。
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合 ， ， ，则集合
的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，则集合 的子集共有 个．故选：C
2．（2024·湖南邵阳·二模）若集合 ，集合 ，则 的真子集个
数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．31
【答案】B
【解析】由 ,得 ，故 ；
由 ，得 ，故 ，
则 ，故 的真子集个数为 .故选：B.
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 有15个真子集，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以 .故选：A．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）设集合 ， ，若 的真子集的个数
是 ，则正实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，解得 ，
因为 ，则 且 ，
因为 的真子集的个数为 ，设 的元素个数为 ，则 ，解得 ，因为 ，则 ，所以， ，解得 ,
因此，实数 的取值范围是 .
5．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合 ， ，则
的子集个数为 .
【答案】4
【解析】集合 表示直线 上点的集合，集合 表示圆 上点的集合.
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
点 到直线 的距离为 ,
所以直线 与圆 相交，
所以 共有2个元素，所以 的子集个数为 .
【题型3 根据集合之间的关系求参数】
空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因
忽略空集的特殊性而导致漏解。
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A B
第二步：看集合中是否含有参数，若 ，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
1．（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；综上所述： .故选：B.
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值集合为
．
【答案】
【解析】由题意 ，所以 或 ，则 或 ，
所以实数 的取值集合为 .
3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 且 ，所以 或 ，故符合题意的只有B选项.故选：B
4．（2024·山东济宁·一模）设集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】集合 ，
又 ，且 ，
故可得 ，即 ，解得 .
5．（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 或 ，
因为集合 ， ，所以 ，故选：A.
【题型4 集合的交并补运算】
求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先"简"后"算"：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，如区分数集与点集等.
（2)遵“规“守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的
运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素.（3)借“形”助“数"：在进行集
合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
1．（2023·全国·高考真题）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集 ， ，
所以， ．故选：A．
3．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式 ，解得 ，则 ，
所以 .故选：D
4．（2024·内蒙古包头·一模）设全集 ，集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
则 ，所以 .故选：A5．（2024·湖北·二模）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，得 ，即 ，
，得 ，即 ， ，
所以 .故选：B
【题型5 根据集合的运算结果求参数】
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集。
1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合 ，若 ，则
（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，根据元素的互异性可知， ；
当 时， ，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.
2．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 ， ，若 中
有且仅有两个元素，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 中有且仅有两个元素，
则 ， ，
所以 ，解得 ，且 .故选：D.
3．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合 ， ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由集合 ， ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故选：C.
4．（22-23高三上·山西·阶段练习）设集合 或 ，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】由集合 或 ，得 ，
又集合 且 ，则 2或 ，即 或 .故选：B.
5．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合 ，集合 ，若
，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
【题型6 集合的新定义问题】
常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决以集合为背景的新定义问
题，要抓住两点：
** 错误的表达式 **紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并
能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在。
②用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合
的性质。
1．（2023·广东·二模）若集合 ， ，定义集合 且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由 得 ，则 ，
又 且 ，则 .故选：C
2．（23-24高三下·河北·开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集
合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．
若全集 ，则集合A关于集合U的正交集合B的
个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为 ，所以 ，解得 ，即 ，
所以全集 ，
由 可得 ，所以 ，
则集合A关于集合U的正交集合B的个数为 .故选：B.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设 表示不超过 的正整数集合， 表示k个元素
的有限集， 表示集合 A 中所有元素的和，集合 ，则 ；若
，则m的最大值为 ．
【答案】 ；22
【解析】当 时， 表示有2个元素的集合， ，
因为 ，且 有2个元素，所以 或 或 ，所以 ；
由题中定义可知： ，
于是由
，
而 ，即 ，
又因为 ，所以m的最大值为 .
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列 ，记集合 .
（1）若数列 为 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明理由；
（3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的
最大值．
【答案】（1） ；（2）不存在 ，使得 成立；（3）
【解析】（1）由题意可得 ， ， ，所以 .
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，
此时结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，
此时结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合 、 为正整数集 的两个子集， 、 至少各有两个元
素.对于给定的集合 ，若存在满足如下条件的集合 ：
①对于任意 ，若 ，都有 ；②对于任意 ，若 ，则 .则称集合 为集合的“ 集”.
（1）若集合 ，求 的“ 集” ；
（2）若三元集 存在“ 集” ，且 中恰含有4个元素，求证： ；
（3）若 存在“ 集”，且 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】（1）若 ，由题意可得， ， ， ，即 ，
此时 ，满足题意，
假设集合 中还有第四个元素为 ，则由题意可知：若 ，即 ，则 ，∴不成
立；
若 ，则 ，∴ 或9或27，矛盾.故集合 中无四个元素，所以集合 .
（2）设集合 ，不妨设 ，
假设 ，即 ，则 且 ，
由②知 ，注意到 ，故有 ，即 ，所以 ，
故 ，即 ，因为集合 中有4个元素，故设 ，
由②可得：若 ，则 ，∴ ，矛盾；
若 ， ，则 或 或 ，所以 或 或 ，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故 .
（3） ， ，不妨设 ，
所以 ， ，又 ，故 ，同理可得 ，
若 ，与（2）类似得 ，从而必有 ，
对任意的 ，有 ，即 ，所以 ，即
.
若 ，即 ， ，故 ， ， ， ，
所以 ，即 ，从而必有 ，对任意的 ，必有 ，即 ，所以 ，即
.
综上，得 ，又 时，有 ， 符合题意，
所以 的最大值为4
考点二：复数的概念与运算
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
3、复数的有关概念
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
⇔
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，
复数的模
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除
原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设 ， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
（2）z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
（3）z·z＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
（4）
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z＋z|2＋|z－z|2＝2(|z|2＋|z|2)．
1 2 1 2 1 2
（2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角：设复数z=a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射线
OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这
些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数
的辅角.
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
已知z =r (cosθ +isinθ )，z =r (cosθ +isinθ )，
1 1 1 1 2 2 2 2
（1）复数乘法运算的三角表示：z z =r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )]
1 1 1 2 1 2 1 2
（2）复数乘法运算三角表示推广：
z z …z =r (cosθ +isinθ )∙r (cosθ +isinθ )∙…∙r (cosθ +isinθ )
1 2 n 1 1 1 2 2 2 n n n
=r r …r [cos(θ +θ +…+θ )+isin(θ +θ +…+θ )]
1 2 n 1 2 n 1 2 n
特别的，当z =z =…=z =r(cosθ+isinθ)时，[r(cosθ+isinθ)] n=rn (cosnθ+isinnθ)
1 2 n
z r (cosθ +isinθ ) r
（3）复数除法运算的三角表示： 1= 1 1 1 = 1[cos(θ -θ )+isin(θ -θ )]
z r (cosθ +isinθ ) r 1 2 1 2
2 2 2 2 2
【题型1 复数的概念与运算】
1、对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数 为纯虚数 ，往往容易忽略虚部不等于0；
2、两个复数不能直接比大小，但如果 成立，等价于 。
1、复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照
“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。
2、求复数标准代数式形式的两种方法（1）直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
（2）待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚
部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
3、乘方：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
1．（2023·全国·高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】 故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，解得： ．故选：C.
3．（2024·河南·一模）计算 （i为虚数单位）的值为 .
【答案】
【解析】由于 ，
则 .
4．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以复数 的虚部 .故选：A
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．【答案】B
【解析】 ，
若 为纯虚数，则 ，解得 .故选：B.
【题型2 共轭复数的相关应用】
共轭复数问题的求解技巧
1、求复数 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再进行复数的四则运算；
2、已知关于 与 的方程，而复数 的的代数式形式未知，求解 。解此类题的常规思路为：设
，则 ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求
解。
1．（2024·河南新乡·二模）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，故 ，故选：B
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选：C.
3．（23-24高三下·江西·开学考试）（多选）若 、 为复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，取 ， ，则 ， ，
所以， ， ，所以， ，所以， ， ，故 ，A错；
对于B选项，设 ， ，
则 ， ，
， ，则 ，所以， ，B对；
对于C选项，不妨取 ， ，则 ， ， ，
所以， ，故 ，C错；
对于D选项，设 ，则 ，所以， ，
所以， ，D对.故选：BD.
4．（23-24高三上·湖北宜昌·期中）（多选）设 是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】A：若 ，则 互为共轭复数，故 ，故A正确；
B：若 ，则 ，而 ，故B错误；
C：设 ，
若 ，则 ，即 ，
又 ，故 ，故C正确；
D：若 ，则 ，而 ，故D错误．故选：AC
5．（2024·广东佛山·二模）（多选）已知复数 ， 均不为0，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】设 ，
对A，由 得 所以 ，
，即 ，故A正确；对B，由 得 所以 ，
，即 ，故B正确；
对C，由 ，得 ， ，
，即 ，故C错误；
对D，
，
，即 ，故D正确.故选：ABD.
【题型3 复数的几何意义】
复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ=(a,b)是一一对应的．
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .故选：D
2．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.故选：A.3．（2024·广西来宾·一模）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选：B
4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数z满足 ， ，复数z所对应的点位于第四象限，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设复数 ，因为 ，
所以 ，又 ，解得 ，
因为复数 所对应的点位于第四象限，所以 ，
所以 .故选：B.
5．（2024·广东深圳·模拟预测）设 ，若复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线
上，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意得复数 ，
则该复数对应的点为 ，该点在直线 上，
故 ，解得 ，故选：C
【题型4 复数的模长及应用】
对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
（1）定义：向量⃗OZ的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
1．（2023·全国·高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
则 .故选：C.
2．（2024·浙江·二模）若复数z满足： ，则 为（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】C
【解析】设 ，则
所以 ，即 ，所以 .故选：C.
3．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）若 （ ， 为虚数单位），则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ， ，
则 .故选：B.
4．（2024·山东临沂·一模）若虚数单位 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，所以 .故选：C
5．（2024·湖南邵阳·二模）（多选）已知复数 满足： (其中 为虚数单位)，则下
列说法正确的有( )
A． B．C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【解析】设 ，则 ，即 ，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设 ，则由 ，得 ，
即 ，它表示一条直线；
对于选项A： ，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C和D： 表示圆 上点与直线 上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为 ；
该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；故选：BC．
考点三：不等式
知识点1 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b<a 可逆
2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
⇔
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
⇒
a>b， ⇔c>0 ac>bc
4 可乘性 c的符号
a>b，c<0 ac<bc
⇒
5 同向可加性 a>b，c>d a⇒ ＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
⇒
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
⇒
知识点2 一元二次不等式的解集
⇒
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程 有两相异实根x，
1
有两相等实根x＝x＝－ 没有实数根
1 2
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 x(x<x)
2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x∈R}
1 2ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x< x<x} ∅ ∅
1 2
知识点3 基本不等式
1、重要不等式： ,（当且仅当 时取 号）.
变形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
（3）算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
【题型1 不等式的性质应用】
不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立
条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。
比较大小的常用方法
（1）作差法：一般步骤为①作差；②变形；③定号；④下结论.其中关键是变形，常采用配方、因式
分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再
作差。
（2）作商法：一般步骤为①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论.
（3）中间值法：对于两个数值，如果无法直接比较大小，那么可以考虑利用中间值来比较大小等.一
般常用的中间值有0，1，2。
（4）函数法：根据两数或两式的结构特征找出共性与差异，利用差异设置变量，根据共性构造函数，
将两数（式）的大小比较问题转化为函数的单调性问题进行求解。
1．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.故选：A.
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）（多选）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】 时，由函数 在 上单调递增，有 ，
即 ，移项得 ，故A选项正确；
由基本不等式， 时， ，
因为 ，等号不成立，所以 ，故B选项正确；
若 ， ，则 ，故C选项正确；
若 ，则 ， 不一定成立，
如 ， ，满足 且 ， 不成立，故D选项错误.
故选：ABC．
3．（2024·福建龙岩·一模）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC【解析】对A，因为 ，则两边同乘 得 ，两边同乘 得 ，
则 ，故A正确；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，因为 ，则 ，又因为 ，所以 ，故C正确；
对D，举例 ，则 ，而 ，
此时两者相等，故D错误.故选：AC.
4．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
【答案】2
【解析】若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于等于2，
所以 ，又当 ， 时， ，
所以 的最大值为2．
若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于2，
所以 ．
综上， 的最大值为2．
5．（23-24高三下·江西·开学考试）定义 表示 、 、 、 中的最小值，
表示 、 、 、 中的最大值，设 ，已知 或 ，则
的值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，且 ，则 ， ， ，所以， ，
若 ，则 ，故 ，
设 ，因此， ，故 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
则 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述， 的最小值为 .
【题型2 解一元二次不等式】
1、解分式不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母
的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。
2、含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要
做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。
解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程 ax2 bxc0 (a 0) ，计算判别式：
0 x、x x x
① 时，求出两根 1 2，且 1 2（注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x x
② 0 时，求根 1 2 2a；
0
③ 时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
1．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】根据题意，方程 的两根为2和3，
则 ，
则 为 ，其解集为 .故选：D.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．不等式 的解集是
C．若不等式 恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式 的解集是 ，则 的值为
【答案】CD
【解析】对于A， 或 ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
若不等式 恒成立，当 时， 是不可能成立的，
所以只能 ，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得 是一元二次方程 的两根，
从而 ，解得 ，
而当 时，一元二次不等式 满足题意，
所以 的值为 ，故D正确.故选：CD.
3．（23-24高三·广东广州·模拟预测）（多选）已知关于 的不等式 的解集是 ，
则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集是 或【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程 的两个根，且 ， ，
A：由以上可知 ，故A正确；
B：当 时，代入方程可得 ，故B正确；
C：因为 ，不等式 的解集是 ，
故将 代入不等式左边为 ，故C错误；
D：原不等式可变为 ，且 ，
约分可得 ，解集为 或 ，故D正确；故选：ABD
4．（23-24高三下·北京·开学考试）关于 的不等式 的解集中至多包含1个整数，写出
满足条件的一个 的取值范围 .
【答案】
【解析】关于 的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
5．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式 的解集恰有50个整数元素，则a的取值范
围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】 ； 或1625
【解析】不等式 等价于不等式 ．
当 时， 的解集为 ，不合题意；
当 时， 的解集为 ，
则50个整数解为 ， ，…，5，6，
所以 ，这50个整数元素之和为 ；
当 时， 的解集为 ，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以 ，这50个整数元素之和为 ．
综上，a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 或1625．
【题型3 一元二次不等式恒成立有解问题】
不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、 ，
2、 ，
3、 ，
4、 ，
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，不等式 可化为 ，显然不合题意；
当 时，因为 的解为全体实数，
所以 ，解得 ；
综上： .故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 ，即 时，不等式为 对一切 恒成立．
当 时，需满足 ，
即 ，解得 .
综上可知，实数a的取值范围是 ．故选：C3．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上：实数 的取值范围是 ．
（2）方法一：由 得： ，即 .
因为 ，所以 ．
因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上取得最小值，最小值为 ，
所以只需 即可，所以 的取值范围是 ．
方法二：由 ，得 ，即 .
令 ，
当 时， 在 上是增函数，
则 ，解得 ，所以 ；
当 时， 恒成立；
当 时， 在 上是减函数，
则 ，解得 ，所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 ，则所有满足条件的有
序数对 是 ．
【答案】
【解析】因为 对任意 ，
所以必须满足 ，即 ，
由 ，得 ，解得 ，①，
再由 ，得 ，解得 ，②，
由①②得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， ，
则 的最大值为 ， 的最小值为 ，
满足任意 ，
所以满足条件的有序数对 只有一对 .
5．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，
，
则 ，
则 恒成立可化为 恒成立，
即 恒成立，故 ，
设 ，易知 在 时递减，在 时递增，
所以 ，
而 显然在 时单调递增，所以 ，
故 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以实数 的取值范围为 .
【题型4 利用基本不等式求最值】
(a+b) 2
1、（1）利用基本不等式a＋b≥2❑√ab以及变式ab≤ 等求函数的最值时，务必注意a，b为正数
2
(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
b b
（2）对形如y＝ax＋ (a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax， 同号．
x x
2、在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩
大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使
用等式。
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
3a4b a3b a2b
如分母为 与 ，分子为 ，
a2b3a4ba3b3a43b
设
1
5
31 2
432 5
∴ ，解得：4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的
不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
1．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以
.
当且仅当 ，即 时取等.故选：C.
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】由于 ，所以 ，
由 ,
（当且仅当 时取等号），可得 的最小值为3，故选：D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
所 以
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最
小值是 .
【答案】
【解析】因为 为正实数，
故 ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 ，此时 ，
所以 的最小值为 .
5 ． （ 2024· 重 庆 · 模 拟 预 测 ） （ 多 选 ） 在 平 行 六 面 体 中 ， 已 知
， ，若 ， ， ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AC
【解析】
如图： ， ， ， ，
则由题意 ，同理 ， ，
所以 ，
又 ， ， ，所以 ，
得 ，当且仅当 即 时等号成立，故A正确，
又 ，
故 ， ，
故 ，当且仅当 时等号成立，故C正确，
因 ， ，
最后等号成立条件为 ，所以 ，故B错误，
，
所以 ，得 ，当且仅当 时等号成立，故D错误，故选：AC
【题型5 基本不等式恒成立及有解问题】
不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、 ，
2、 ，
3、 ，
4、 ，
1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为3.
因为当 时，不等式 恒成立，所以 .故选：D.
2．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以
，
所以
，
等号成立当且仅当 ，所以 ， ，
故实数a的取值范围是 .
3．（22-23高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足 ， 且 ， 若不等式
恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
因不等式 恒成立，只需 ，
因此 ，故实数 的最大值为25．故选：D
4．（2023·河南·二模）若不等式 在 时恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解析依题意知， ，
结合 ，知 ，
不等式转化为 ，须 .
设 ，由 ，知 ，
设 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
因此实数 的取值范围是 .故选：A
5．（2023·广东湛江·二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．故选：A.
考点四：常用逻辑用语
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p⇏q
⇒p是q的充分条件 p不是q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，就记作
。
此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称充要条件。
知识点2 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在 中的元素 ，使 成立”可用符号简记为
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，
①若A⊆ B，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若A⊇ B，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．（2023·全国·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B
2．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C
3．（23-24高三·江西赣州·模拟预测）若 是 的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个 为
．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 ，解得 或 ，故 ，
因为 是 的一个充分不必要条件，
写出一个范围比 小的即可，故 .
4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，
，即 ，
，即 ，则充分性成立；
若 且 ，
当 时， ，
当 时， ，则必要性成立；
综上所述：“ ”是“ ，且 ”的充分必要条件.故选：C.
5．（2024·广东·一模）已知 且 ，则“ 的解集为 ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由题意，二次不等式 的解集为 ，
则等价于 ，即 ，即 ，
当 时，不能推出 ，
所以“ 的解集为 ”是“ ”的充分不必要条件，故选：A
【题型2 根据充分性、必要性求参数】
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
1．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知甲： ，乙：关于 的不等式 ，若甲是乙的
必要不充分条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲： ，设此范围对应集合 ；
由 ，则乙： ，
设此范围对应集合 ，
若甲是乙的必要不充分条件，则 ，其中 必不成立；
则 ，所以 .故选：A.
2．（2023·四川甘孜·一模）设 .若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，解得， ，故选：A.3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合 ， ，若 是 的必要不
充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题， ， ，
当 时，有 ，符合题意；
当 时，有 ，此时 ，所以 或 ，所以 .
综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 .故选：A.
4．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知 ， ，若 是 的充分条件，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，则 ，解得 ，即 ，
若 是 的充分条件，则 是 的子集，
可得 ，所以实数 的取值范围是 .
5．（23-24高三·浙江温州·模拟预测）已知 ， （a为实数）．若q的一个充分不必要条
件是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以 是 的一个真子集，
则 ，即实数a的取值范围是 .
【题型3 含有一个量词的命题的否定】
对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变为存在
量词命题外，不等式的否定只否定结论。
全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤：
（1）确定命题所含量词的类型，改写量词，对于省去了量词的命题，要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；（2）否定结论，对原命题的结论进行否定.
1．（2024·山西·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A．“ ， ” B．“ ， ”
C．“ ， ” D．“ ， ”
【答案】C
【解析】依题意全称量词命题“ ， ”的否定为：
存在量词命题“ ， ”.故选：C
2．（2024·广西南宁·一模）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知命题 为存在量词命题，
其否定为全称量词命题： ，故选：A
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ ， ， ”的否定形式是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：
命题“ ， ， ”的否定形式是“ ， ， ”.故选：C
4．（2020高二下·山东·学业考试）命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是（ ）
A．所有奇数都是2的倍数 B．存在一个偶数是2的倍数
C．所有偶数都不是2的倍数 D．存在一个偶数不是2的倍数
【答案】D
【解析】命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是：存在一个偶数不是2的倍数.故选：D
5．（23-24高三·河南信阳·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数 ，关于 的
方程 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马
大定理，则费马大定理的否定为（ ）
A．对任意正整数 ，关于 的方程 都没有正整数解
B．对任意正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解C．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
D．存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】“对任意正整数 ，关于 的方程 没有正整数解”的否定为：
存在正整数 ，关于 的方程 至少存在一组正整数解.故选：D.
【题型4 根据全称、存在量词的真假求参数】
根据命题的真假求参数取值范围的策略（1）全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化
为存在性问题；（2）①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；
③由各个命题的真假列出关于参数的不等式（组）求解.
1．（2024·福建漳州·模拟预测）若 ， 为真命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ， 为真命题，则 .
因为 在 上的最小值为 ，所以 ，故选：D.
2．（2024高三上·广东中山·调研）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
因此有 ，所以实数 的最小值为 ，故选：C
3．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 ， ”为假命题，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【解析】若命题“任意 ， ”为真命题，则 ，
设 ， ， ，当 时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当 时，函数单调递减，当 单调递增，
， ，所以 ，即 ，
所以命题“任意 ， ”为假命题，则 的取值范围为 .
4．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）若命题“ ”是假命题，则实数 的最大值
为 ．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“ ”是真命题．
令 ，则 解得 ，
故实数 的最大值为
5．（23-24高三下·广东·开学考试）已知 ， ； ， ．若
为假命题， 为真命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ， 为假命题，
则 ， 为真命题，
当 时， 的图象的对称轴为 ，
此时其最大值为 ，则 ；
又 ， 为真命题，
即 ，即得 ，
