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2025 年高考数学全真模拟卷04（新高考专用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2024·河南周口·模拟预测）已知复数z =(1+ 1
i)
3
，i 为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．2i
B．−2i
C．2
D．−2
2．（5 分）（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列选项中，使“x
2<1”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
A．−2< x<1
B．−1< x<1
C．0< x<2
D．−1< x<0
3．（5 分）（2024·贵州贵阳·二模）已知向量⃗a=(1,−2),⃗b=(2, x)，若(3⃗a−⃗b)//(⃗a+2⃗b)，则实数x =
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−4
4．（5 分）（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023 年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说
法错误的是（ ）
A．该地区2016-2019 年旅游收入逐年递增
1
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B．该地区2016-2023 年旅游收入的中位数是4.30
C．经历了疫情之后，该地区2023 年旅游收入恢复到接近2018 年水平
D．该地区2016-2023 年旅游收入的极差是3.69
5．（5 分）（2024·湖北·模拟预测）已知点P是直线x−y −m=0上的动点，由点P向圆O: x
2+ y
2=1引切
线，切点分别为M , N且∠MPN =90
∘，若满足以上条件的点P有且只有一个，则m=（ ）
A．√2
B．±√2
C．2
D．±2
6．（5 分）（2024·青海西宁·二模）关于函数f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )，有下列四个
说法：①f ( x)的最大值为3；②f ( x)的相邻两个零点分别为x1
，x2
，且有|x1−x2|=π；③f ( x)的图象上
相邻两个对称中心间的距离为π
2
；④f ( x)的图象关于直线x =π
3
对称，若有且仅有一个说法是错误的，
则f(
π
2 )=（ ）
A．−3√3
2
B．3√3
2
C．−3
2
D．3
2
7．（5 分）（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为
矩形，且AB =√2BC，平面PAD⊥平面ABCD，则直线AC 与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．√3
2
D．1
8．（5 分）（2024·陕西·模拟预测）函数f (x)满足ln x = 1+ f (x)
1−f (x)，且x1>e, x2>e,f (x1)+ f (x2)=1，则
f (x1 x2)的最小值为（ ）
A．e
B．1
C．5
7
D．1
e
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
2
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9．（6 分）（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知(−π
6
,0)为函数f (x)=asin2 x +cos2 x的一个对称中心，
则（ ）
A．a=√3
B．函数y = f(x−π
6 )为奇函数
C．曲线y = f ( x)关于x =7π
12
对称
D．函数y = f ( x)在(−5π
12
,π
12)单调递增
10．（6 分）（2024·黑龙江大庆·三模）已知点P(1,√2)是双曲线C :3 x
2−y
2=1
上一点，过P向双曲线的
两条渐近线作垂线，垂足分别为A ,B，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为y =±√3 x
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．|PA|⋅|PB|= 1
3
D．△PAB的面积为√3
16
11．（6 分）（2024·河北·二模）已知函数f (x)= x(e
x+2),g(x)=(x +2)ln x，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f (x)在R上单调递增
B．若对任意x>0，不等式f (ax)≥f (ln x
2)恒成立，则实数a的最小值为2
e
C．函数g(x)在(0,+ ∞)上存在极值点
D．若f (x1)= g(x2)=t(t >0)，则lnt
x1(x2+2)
的最大值为1
e
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列{an}中，a1a2a3=1，1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
= 7
2，
则数列{an}的通项公式为an= ．
13．（5 分）（2024·湖南长沙·二模）已知 2cos(2 x +π
12)cos(x−π
12)−cos3 x = 1
4 ，则
3
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cos(2 x +π
3 )= .
14．（5 分）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线f (x)= x
2与g(x)= ln (ax)(a>0)有公共切线，则实数a
的最大值为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2024·陕西安康·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是
a,b,c ,tanC =(a−1)tan B．
(1)求证：bcosC =1；
(2)若a=2，△ABC面积为1，求边c的长．
16．（15 分）（2024·四川雅安·三模）已知函数f (x)=(a−1) x−2sin x.
(1)若函数f (x)有极值，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式f (x)+ x (1+cos x)≤0在x∈[0,π
2 ]上恒成立，求实数a的取值范围.
17．（15 分）（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD与平面
ABC1 D1都是边长为2 的菱形，∠BCD =∠BC1 D1=120°，侧面BC C1B1的面积为√15.
(1)求平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的体积；
(2)求平面BC C1B1与平面CD D1C1的夹角的余弦值.
4
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18．（17 分）（2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1 分，
负者得0 分，平局双方均得0 分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．
已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为
γ (α + β + γ =1,α >0, β >0,γ ≥0)，且每局比赛结果相互独立．
(1)若α = 2
5 , β = 2
5 ,γ = 1
5
，求进行4 局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当γ =0时，
（i）若比赛最多进行5 局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E (X )的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用α , β表示）．
19．（17 分）（2024·河南三门峡·模拟预测）设有穷数列A :a1,a2,⋯,an(n≥2)的所有项之和为S，所有
项的绝对值之和为T，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0−1数列”：①S =0；②T =1.
(1)若2023 阶“0−1数列”A :a1,a2,⋯,a2023是递减的等差数列，求a2023；
(2)若2k (k ∈N
*)阶“0−1数列”A :a1,a2,⋯,a2k (k ≥1)是等比数列，求A的通项公式an
（1≤n≤2k，
用n,k表示）；
(3)设n阶“0−1数列”A :a1,a2,⋯,an(n≥2)的前m项和为bm(m∈{1,2,3,⋯,n})，若
∃m∈{1,2,3,⋯,n}，使得bm=−1
2
，证明：数列B:b1,b2,⋯,bn(n≥2)不可能为n阶“0−1 数列”.
5
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