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第四章 三角函数与解三角形
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
【考情分析·探规律】
考点
近年考情
（200-2024）
命题趋势
考点1 任意角和弧度制及求
扇形的弧长、面积计算
2022·全国甲卷
了解任意角和弧度制的概念，
能进行弧度与角度的互化，借助单
位圆理解三角函数(正弦、余弦、正
切)的定义，并能利用三角函数的定
义解决相关问题。
考点2 任意角的三角函数
2020·山东卷
2020·全国卷
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝lr＝| α | r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α 是一个任
意角，它的终边与单
位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α 的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将
它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin
α＝；
cos
α＝，
tan
α＝(x≠0).
【名师点拨】
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形
的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3.象限角
4.轴线角
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α 的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( )
(4)若α 为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√
【解析】(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.角－863°的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】C
【解析】－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终
边在第三象限.
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为( )
A.20 cm
B.14 cm
C.10π cm
D.8π cm
【答案】C
【解析】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为25
60×2π＝5 π
6 ，因此，秒
针的端点所走的路线长为5 π
6 ×12＝10π(cm).
4.已知角α 的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α 的值为 .
【答案】－3 ❑√5
5
【解析】因为sin α＝
−2
❑√1＋4 ＝－2❑√5
5
，
cos α＝
1
❑√1＋4 ＝
❑√5
5 ，
所以sin α－cos α＝－2❑√5
5
－
❑√5
5 ＝－3 ❑√5
5
.
【名师点拨】
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
(2)若角α∈(0，π
2)，则sin α<α<tan α.
(3)α 所在象限与α
2 所在象限的关系
α 所在象限
一
二
三
四
α
2 所在象限
一、三
一、三
二、四
二、四
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，
不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
【必练核心题型】
题型一 角及其表示
【典例】1.(2025·宁波模拟)若α 是第二象限角，则( )
A.－α 是第一象限角
B.α
2 是第三象限角
C.3 π
2 ＋α 是第二象限角
D.2α 是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上
【答案】D
【解析】因为α 是第二象限角，可得π
2 ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－
2kπ<－α<－π
2 －2kπ，k∈Z，此时－α 的终边在第三象限，所以－α 是第三象限角，A
错误；对于B，可得π
4 ＋kπ<α
2 <π
2 ＋kπ，k∈Z，当k 为偶数时，α
2 的终边在第一象限；
当k 为奇数时，α
2 的终边在第三象限，所以α
2 是第一或第三象限角，B 错误；对于C，
可得2π＋2kπ<3 π
2 ＋α<5 π
2 ＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<3 π
2 ＋α<π
2 ＋2(k＋1)π，k∈Z，所
以3 π
2 ＋α 的终边在第一象限，所以3 π
2 ＋α 是第一象限角，C 错误；对于D，可得π＋
4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α 是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上，D 正
确.
【典例】2.如图所示，终边落在阴影部分内的角α 的取值集合为 .
【答案】{α|
3 π
4 ＋2k π ≤α ≤π ＋2k π ，k ∈Z}
【解析】方法一 由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为
{β|β ＝3 π
4 ＋2k π ，k ∈Z}，由于终边在x 轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋
2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α 的集合为
{α|
3 π
4 ＋2k π ≤α ≤π ＋2k π ，k ∈Z}.
方法二 在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α 的集合为[
3 π
4 ，π]，所以所求角α
的集合为{α|
3 π
4 ＋2k π ≤α ≤π ＋2k π ，k ∈Z}.
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这
个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，α
k (k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα 或α
k 的范围，然后根据k 的可能取
值确定kα 或α
k 的终边所在的位置.
【变式训练】
变式1.(多选)下列四个命题中正确的是( )
A.－3 π
4 是第二象限角
B.4 π
3 是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
【答案】BCD
【解析】－3 π
4 是第三象限角，故A 错误；4 π
3 ＝π＋π
3 ，所以4 π
3 是第三象限角，故B
正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C 正确；－315°＝－360°
＋45°，所以－315°是第一象限角，故D 正确.
变式2.已知α 为第三象限角，则α
2 是第 象限角，2α 是
的角.
【答案】二或四 终边落在第一或第二象限或y 轴非负半轴上
【解析】∵α 是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋3 π
2 ，k∈Z，∴kπ＋π
2 <α
2 <kπ＋3 π
4 ，
k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k 为偶数时，α
2 为第二象限角；当k 为奇数时
，α
2 为第四象限角，而2α 的终边落在第一或第二象限或y 轴非负半轴上.
题型二 弧度制及其应用
【典例】1.《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在
掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π
4 米，整个肩宽约为π
8 米.“弓”所在圆的半
径约为1.25 米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)(
)
A.1.612 米
B.1.768 米
C.1.868 米
D.2.045 米
【答案】B
【解析】由题意得，“弓”所在的弧长l＝π
4 ＋π
4 ＋π
8 ＝5 π
8 (米)，所在圆的半径R＝
1.25＝5
4 (米)，所以其所对的圆心角α＝l
R ＝
5 π
8
5
4
＝π
2 ，所以双手之间的距离d＝
❑√R
2＋R
2＝❑√2×1.25≈1.768(米).
变式2.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α＝π
3 ，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
③若α＝π
3 ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】①因为α＝π
3 ，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝π
3 ×10＝10 π
3
(cm).
②由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝1
2lR＝1
2(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm 时，S 取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝l
R ＝2 rad.
③设弓形面积为S 弓形，
方法一 由题意知l＝2π
3 cm，
所以S 弓形＝1
2×2π
3 ×2－1
2×22×sin π
3 ＝2π
3 －❑√3(cm2).
方法二 S 弓形＝1
2×π
3 ×22－1
2×22×sin π
3 ＝2π
3 －❑√3(cm2).
【解题技巧】
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式训练】
变式1.半径为2 的圆上长度为4 的圆弧所对的圆心角是( )
A.1 rad
B.2 rad
C.4 rad
D.6 rad
【答案】B
【解析】半径为2 的圆上长度为4 的圆弧所对的圆心角是4
2 ＝2 rad.
变式2.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵
与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的
扇面面积为( )
A.1 600 cm2
B.3 200 cm2
C.3 350 cm2
D.4 800 cm2
【答案】D
【解析】由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则θ＝160
r1
＝80
r2
，得r1＝2r2，
又因为r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，
该扇形玉雕壁画的扇面面积
S＝1
2×160×r1－1
2×80×r2＝1
2×160×80－1
2×80×40＝4 800(cm2).
题型三 三角函数的概念
【典例】1.若角α 满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】B
【解析】因为sin α·cos α<0，所以α 是第二或第四象限角；
当α 是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；
当α 是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意，
综上所述，α 是第二象限角.
【典例】2.(2025·深圳模拟)若角α 的终边过点(4，3)，则sin(α ＋π
2)等于( )
A.4
5
B.－4
5
C.3
5
D.－3
5
【答案】A
【解析】∵角α 的终边过点(4，3)，
∴cos α＝
4
❑√4
2＋3
2 ＝4
5 ，
∴sin(α ＋π
2)＝cos α＝4
5 .
【解题技巧】
(1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标，可以求出α 的三角函数值；
已知角α 的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P 的坐标.
(2)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的
终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.
【变式训练】
变式1.已知点P(−1
2 ，
❑√3
2 )在角θ 的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ 的大小为( )
A.π
3
B.2π
3
C.5 π
3
D.4 π
3
【答案】B
【解析】由题意，得θ 为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则π
2 <θ<π，易知tan θ＝－❑√3，
所以θ＝2π
3 .
变式2.已知角α 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在
第四象限，则角α 的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B
【解析】因为点P(sin α，tan α)在第四象限，所以sin α>0，tan α<0，所以角α 的终边在
第二象限.
【限时训练】（限时：40 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.3 π
4 －6π
B.7 π
4 －6π
C.3 π
4 －8π
D.7 π
4 －8π
【答案】D
【解析】－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋7 π
4 .
2.若角α 的终边在y 轴的非正半轴上，则角α＋2π
3 的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.y 轴的非负半轴上
D.x 轴的非正半轴上
【答案】A
【解析】由角α 的终边在y 轴的非正半轴上可知α＝3 π
2 ＋2kπ，k∈Z，
故α＋2π
3 ＝3 π
2 ＋2kπ＋2π
3 ＝13 π
6
＋2kπ，k∈Z，
而角13 π
6
＝2π＋π
6 的终边在第一象限，
故角α＋2π
3 的终边在第一象限.
3.设α 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x，则tan α 等于( )
A.－4
5
B.－3
5
C.－3
4
D.－4
3
【答案】D
【解析】因为α 是第二象限角，所以cos α＝1
5x<0，即x<0.
又cos α＝1
5x＝
x
❑√x
2＋16
，解得x＝－3(x＝3 舍去)，
所以tan α＝4
x ＝－4
3 .
4.已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5 π
6 ，cos 5 π
6 )，则角x 的最小正值为( )
A.5 π
6
B.5 π
3
C.11π
6
D.2π
3
【答案】B
【解析】因为sin 5 π
6 >0，cos 5 π
6 <0，
所以角x 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin x＝cos 5 π
6 ＝－
❑√3
2 ，
故角x 的最小正值为2π－π
3 ＝5 π
3 .
5.“sin 2θ>0”是“θ 为第一或第三象限角”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵sin 2θ＝2sin θ·cos θ>0⇔sinθ
cosθ >0⇔tan θ>0，∴θ 为第一或第三象限角.
6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD，用
扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为S1，扇形
OAB 的面积为S2，当S1与S2的比值为
❑√5−1
2
时，扇面的形状较为美观，则此时扇形
OCD 的半径与半圆O 的半径之比为( )
A.
❑√5＋1
4
B.
❑√5−1
2
C.3－❑√5
D.❑√5－2
【答案】B
【解析】设∠AOB＝θ，半圆O 的半径为r，扇形OCD 的半径为r1，
依题意，有
1
2 θr
2−1
2 θr1
2
1
2 θr
2
＝
❑√5−1
2
，
即r
2−r1
2
r
2
＝
❑√5−1
2
，
所以r1
2
r
2 ＝3−❑√5
2
＝6−2❑√5
4
＝(
❑√5−1
2 )
2
，
从而得r1
r ＝
❑√5−1
2
.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下面说法正确的有( )
A.角π
3 与角－5 π
3 的终边相同
B.终边在直线y＝－x 上的角α 的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α 的终边在直线y＝－3x 上，则cos α 的取值为
❑√10
10
D.67°30'化成弧度是3 π
8 rad
【答案】AD
【解析】角π
3 与角－5 π
3 相差2π，终边相同，故A 正确；
终边在直线y＝－x 上的角α 的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B 错误；
若角α 的终边在直线y＝－3x 上，则cos α 的取值为±
❑√10
10 ，故C 错误；
67°30'化成弧度是3 π
8 rad，故D 正确.
8.(2025·深圳模拟)如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动.若A 和B 同
时出发，A 的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为(
1
2 ，
❑√3
2 )，B 的角速度为2 rad/s，起
点位置坐标为(1，0)，则( )
A.在1 s 末，点B 的坐标为(sin 2，cos 2)
B.在1 s 末，扇形AOB 的弧长为π
3 －1
C.在7 π
3 s 末，点A，B 在单位圆上第二次重合
D.△AOB 面积的最大值为1
2
【答案】BCD
【解析】在1 s 末，点B 的坐标为(cos 2，sin 2)，故A 错误；
在1 s 末，∠AOB＝π
3 －1，扇形AOB 的弧长为π
3 －1，故B 正确；
设在t s 末，点A，B 在单位圆上第二次重合，则2t－t＝t＝2π＋π
3 ＝7 π
3 ，故在7 π
3 s
末，点A，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确；
S△AOB＝1
2sin∠AOB，又∠AOB∈(0，π)，∠AOB＝|2t −t −π
3|＝|t −π
3|，则经过5 π
6 s
后，可得∠AOB＝π
2 ，此时△AOB 的面积可取得最大值1
2 ，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知角α 的终边在图中阴影部分内，则角α 的取值集合为 .
【答案】{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{β|β＝30°＋k·180°，
k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{γ|γ＝105°＋k·180°，
k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α 的集合为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，
k∈Z}.
10.已知角θ 的顶点为坐标原点O，始边与x 轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角
θ 的终边上，且|OA|≤3，则tan θ 的值可以是 .(写出一个即可)
【答案】2(答案不唯一)
【解析】点A(1，a)(a∈Z)在角θ 的终边上，且|OA|≤3，
则1＋a2≤9，解得－2❑√2≤a≤2❑√2，a∈Z，
则a 的值可为－2，－1，0，1，2，又tan θ＝a
1＝a，
故tan θ 的值可以是0 或±1 或±2.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知α＝π
3 .
(1)写出与角α 终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α 终边相同的角；(6
分)
(2)若角β 与角α 的终边相同，判断角β
2 是第几象限角.(7 分)
【解析】
(1)与角α 终边相同的角的集合为
{θ|θ＝2k π ＋π
3 ，k ∈Z}，
令－4π<2kπ＋π
3 <－π，
得－13
6 <k<－2
3 ，
又k∈Z，所以k＝－2，－1，
所以在(－4π，－π)内与角α 终边相同的角是－11π
3 ，－5 π
3 .
(2)由(1)知，β＝2kπ＋π
3 (k∈Z)，
则β
2 ＝kπ＋π
6 (k∈Z)，
则当k 为偶数时，角β
2 是第一象限角；当k 为奇数时，角β
2 是第三象限角，
所以角β
2 是第一或第三象限角.
12.(14 分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图
所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA＝2 米，OB＝x 米
(0<x<2)，线段BA，线段CD 与´BC ，´AD的长度之和为6 米，圆心角为θ 弧度.
(1)求θ 关于x 的函数解析式；(6 分)
(2)记该宣传牌的面积为y，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.(8 分)
【解析】
(1)根据题意，´BC的长度为xθ 米，´AD的长度为2θ 米，
所以2(2－x)＋xθ＋2θ＝6，
所以θ＝2 x＋2
x＋2 (0<x<2).
(2)依据题意，可知
y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝1
2θ×22－1
2θx2
＝－x2＋x＋2＝－(x−1
2)
2
＋9
4 ，0<x<2.
所以当x＝1
2时，y 的值最大，最大值为9
4 .
【尖子拔高训练】13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)已知角θ 的终边经过点(－2，－❑√3)，且θ 与α 的终边关于x 轴对称，则( )
A.sin θ＝－
❑√21
7
B.α 为钝角
C.cos α＝－2❑√7
7
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
【答案】ACD
【解析】因为角θ 的终边经过点(－2，－❑√3)，
所以sin θ＝－
❑√21
7
，A 正确；
由θ 与α 的终边关于x 轴对称，得α 的终边经过点(－2，❑√3)，α 为第二象限角，不一
定为钝角，cos α＝－2❑√7
7
，B 错误，C 正确；
因为tan θ＝
❑√3
2 >0，tan α＝－
❑√3
2 <0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.
14.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆
上一点P 的位置在(0，0)处，圆在x 轴上沿x 轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，
1)处时，⃗OP的坐标为 .
【答案】(2－sin 2，1－cos 2)
【解析】如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A，过P 作x 轴的垂线与过C 作y
轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－π
2 ，
所以PB＝sin(2−π
2)＝－cos 2，
CB＝cos(2−π
2)＝sin 2，
所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，
所以⃗OP＝(2－sin 2，1－cos 2).
