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第 05 讲 数列不等式
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题型一：数列不等式中恒成立问题......................................1
角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题............................1
角度2：根据数列中的恒成立求参数..................................2
角度3：数列中的恒成立的探索性问题................................4
题型二：数列不等式中能成立（有解）问题..............................7
题型一：数列不等式中恒成立问题
角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题
典型例题
例题1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列 满足 ，数列
的前 项和为 ，数列 满足 ，数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)求证：
例题2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，
．(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， .
(1)判定数列单调性；
(2)判断 ， 是否恒成立.
角度2：根据数列中的恒成立求参数
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）数列 是首项和公比均为2的等比数列， 为数列 的前
项和，则使不等式 成立的最小正整数 的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
例题2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列 ，其前 项和为 ，且满
足 ，数列 满足 ，其前 项和 ，设 ，若 对任意
恒成立，则 的最小值是___________.例题3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列 与 的前 项和
分别为 ，则 ______；若 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围
是______.
例题4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
例题5．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对一切正整数 .不等式 恒成立.求 的最小值.
角度3：数列中的恒成立的探索性问题
典型例题
例题1．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知各项为正数的数列 的前 项和为
， 且 .(1)设 ，求数列 的前 项和为 ；
(2)设 为非零整数， ，是否存在确定的 值，使得对任意 ，有
恒成立 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设 ， .
(1)若 ，求 ， 及数列 的通项公式；
(2)若 ，问：是否存在实数 ，使得 对所有 成立？证明你的结论.
精练核心考点
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和，
， ，若 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
2．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，若
恒成立，则实数 的最大值为______．
3．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且
成等差数列.则 的通项公式为__________；若 为数列 的前 项积，不等式 对恒成立，则实数 的最小值为__________.
4．（2023·广东广州·统考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 ；
(2)求证： ．
5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列
满足： ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明： ；
(3)设数列 满足： ．证明： ．
6．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）设数列{ }的前 项和为 ，且满足
.
(1)求证数列{ }是等比数列；
(2)数列 满足 ，且 .（i）求数列 的通项公式；
（ii）若不等式 对 恒成立，求实数λ的取值范围.
7．（2023·湖北·模拟预测）设对任意 ，数列 满足 ， ，数列 满足
．
(1)证明： 单调递增，且 ；
(2)记 ，证明：存在常数 ，使得 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
(1)设 ，证明： 是等比数列
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明：
9．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知等差数列 的前n项和公式为 ，
， ．(1)求 的通项公式；
(2)若对 ， 恒成立，求 的取值范围．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，设 ，数列
的前 项和为 ，是否存在最小的正整数 ？使得对一切 成立，说明你的理由．
题型二：数列不等式中能成立（有解）问题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若存在实数
，使 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）数列 的通项公式 ，若 ，是否存在正整数
，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， ．设 在区间 （ ）上的最小值为 ．若存在 ，使得
有解，则实数 的取值范围是______．例题4．（2023·北京通州·统考三模）已知：正整数列 各项均不相同， ，数列 的通项公
式
(1)若 ，写出一个满足题意的正整数列 的前5项：
(2)若 ，求数列 的通项公式；
(3)证明若 ，都有 ，是否存在不同的正整数 ， ，使得 ， 为大于1的整数，其中
.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是各项均为正数的
等比数列， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知 ，___________，是否存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ？若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
精练核心考点
1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，存在正偶数 使得
，且对任意正奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和 . 若存在 ，使不等式
成立，求实数 的最大值.
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前n项和 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若存在 使得 成立，求 的
取值范围．
4．（2023·陕西铜川·校考一模）已知正项数列 中， ，且 为其
前 项和，若存在正整数 ，使得 成立，则 的取值范围是_______．
5．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足
，则存在正整数n，使得 成立的实数 组成的集合为___________
