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专题01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................3
题型一：在型求切线方程...........................................3
题型二：过型求切线方程...........................................3
题型三：已知切线斜率求参数.......................................3
题型四：确定过一点可以做切线条数.................................4
题型五：已知切线条数求参数.......................................4
题型六：距离问题转化为相切问题...................................5
题型七：公切线问题...............................................5
三、专项训练........................................................6
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的
切线的斜率
，即
.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：函数f ( x)在x=x0或者(x0,f (x0))处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标f ( x0)（方法：把x=x0 代入原函数f ( x)中），切点(x0,f (x0)).
第二步：计算切线斜率
.
1
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第三步：计算切线方程.切线过切点(x0,f (x0))，切线斜率k=f '( x0)。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：y−f ( x0)=f '( x0)( x−x0).
（2）过型求切线方程
已知：函数f ( x)的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
3、已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
4、已知f ( x)和
存在
（
）条公切线问题
第一步
设f ( x)的切点
设
的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去
得到关于
的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点
个数；
消去
得到关于
的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个
数；
2
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二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023 下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，
则实数
.
2．（2023 上·山东德州·高三统考期中）函数
在
处的切线方程为 ．
（结果写成一般式）
3．（2023 上·上海闵行·高三校考期中）曲线
在点
处的切线方程为 ．
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数
（其中
）在
处的
切线为，则直线过定点的坐标为 .
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则
.
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数
过点
的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2022 下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数
，则曲线
过坐标原
点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线
相切的一条切线的方程为 .
4．（2023 下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线
在点
处切线的斜率为
，过点
的
切线方程 .
5．（2023 下·四川绵阳·高二期末）过点
作曲线
的切线，则切线方程为 ．
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023 下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线
与曲线
相切，则实数a 的值为
3
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（ ）
A．
B．0
C．
D．
2．（2023 上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（2023 上·辽宁·高三校考阶段练习）函数
（
、
）在点
处的切线斜率为，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线
与曲线
相切，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 上·天津·高三统考期中）已知函数
，若曲线
的一条切线的方程为
，则
.
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023 上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
2．（2021 下·北京·高二校考期中）已知函数
，则曲线
过点
的切线有
（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
3．（2021 下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点
作曲线
的切线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
4．（2019 上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线
，则过点
可向引切线，其切线
条数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点
可以且仅可以作曲线
的一条切线，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
2．（2023 下·陕西汉中·高二校联考期中）过点
作曲线
切线有且只有两条，则b 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数
，若过点
能作三条直线与
的图像相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022 上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线
上的点到直线
的距离的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
2．（2023 上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
3．（2023 下·广西河池·高二校联考期中）若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的
最小距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．
5
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题型七：公切线问题
1．（2023 上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线
与曲线
有公切线，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线
与曲线
的一条公切线方程 .
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024 学年高三上学期11 月调研考试数学试题）写出曲线
与
的一条公切线方程： .
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线
与
存在公切线，则正实数a 的取值范围是
．
5．（2023 上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当
时， 求
的极值；
(2)若曲线
与曲线
存在2 条公切线， 求a 的取值范围.
三、专项训练
1．（2024 上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线
在点
处的切线的倾斜角为
，
则
（ ）
A．
B．
C．-2
D．
2．（2024 上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数
的图象在点
处的切线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 下·高二课时练习）若曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
不存在
4．（2023 上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线
是曲线
的一
6
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条切线，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
ln 2
D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，过点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的两条切线，切
点分别为
和
，若
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数
与函数
的图象在公共点处有相同
的切线，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 上·四川·高三校联考阶段练习）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、多选题
10．（2023 下·高二课时练习）若曲线
在点
处的切线方程是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023 上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l 与曲线
相切，则下列直线中可能与l
平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点
可以作三条直线与函数
相切，则实数a 的值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
三、填空题
13．（2024 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数
在点
处的切线与直线
7
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平行，则实数
.
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数
在
处的切线与
的
图像有三个公共点，则
的取值范围 ．
四、单空题
15．（2023 下·高二课时练习）已知函数
是曲线
的一条切线，则
.
五、问答题
16．（2023 上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)当时，与有公切线，求实数的取值范围.
8
