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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题01 集合与常用逻辑
考点一、集合的关系
1. （2025 上海市崇明区高三三模）已知集合
，且
，则实数
的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.
【详解】由集合
，且
，得
或
，解得
或
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
且
，与集合元素的互异性矛盾，
所以实数
的值为0.
1
故答案为：
2．已知集合
，
，若
是
的子集，则实数
的值为 .
【答案】
【详解】若
，则
，
，这与集合中元素的互异性矛盾，所以
，
若
，则
或
（舍去），当
时，
满足题意，
所以
.
故答案为：
3．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，若集合A 有且仅有2 个子集，则a 的
取值为_________
【分析】根据条件可知集合
中仅有一个元素，由此分析方程
为一元一次方程、一元二次方
程的情况，从而求解出
的值.
【详解】因为集合
仅有
个子集，所以集合
中仅有一个元素，
当
时，
，所以
，所以
，满足要求；
当
时，因为集合
中仅有一个元素，所以
，所以
，此时
或
，满足
要求，
2
5．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元素个数
为________
【解析】因为
，所以
，
中的元素个数为，
6.已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m 的取值范围为________.
【答案】 (－∞，4]
【解析】A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}，
当B＝
时，有
∅
m＋1≥2m－1，则m≤2。
当B≠
时，若
∅
B⊆A，如图所示
则
解得2<m≤4，
综上，m 的取值范围为(－∞，4]。
考点二、集合的运算
7. （2025 上海市进才中学高三5 月模拟）已知集合
，则
__________.
【答案】
【分析】根据交集运算求解.
【详解】因为集合
，
所以
，
故答案为：
8..（2026 届高三奉贤区一模）已知集合
，则
_____.(用区间表示结果)
【答案】
【解析】因为
所以
3
9. （2025 上海市崇明中学高三三模）已知集合
，
，则
________.
【答案】
【分析】利用交集运算直接求解即可.
【详解】集合
，
，所以
.
故答案为：
10. 已知集合
，
，则
__________．
【答案】
【分析】运用并集概念计算.
【详解】集合
，
，则
.
故答案为：
.
11. （2025 华东师大三附中高三三模）已知集合
，
，则
______．
【答案】
【分析】直接利用集合并集的运算求解即可.
【详解】因为集合
，
，
所以
,
故答案为：
12. （2025 行知中学高三6 月模拟）已知集合
，
，则
___________；
【答案】
【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案.
4
【详解】由
，得
，
所以
.
故答案为：
.
13.（2026 届高三宝山区一模）若全集
，集合
，则
_____.
【答案】
14. （2025 上海市金山中学高三三模）已知全集
，集合
，则
__________．
【答案】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知
.
故答案为：
.
15.（2024-25 长宁区高三监测练习试卷）设全集
，若集合
，则
________.
【答案】
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为
，集合
，
所以
.
故答案为：
.
考点三、集合与函数、不等式
16.（2026 届高三普陀一模）已知集合
，则
_____.
【答案】
【解析】
5
所以
17. （2025 届上海市大同中学高三三模）已知集合
，
，则
________
【答案】
【分析】由分式不等式和交集的运算可得.
【详解】由
可得
，
，
由
可得
，
所以
.
故答案为：
.
18.（2026 届高三静安一模）已知全集是实数集
,集合
,则集合
的补集
_____.
【答案】
【解析】由题意可知
，故
.
19．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，解得
，所以
，
而
，所以
，
所以
.
6
故选：C
20．已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由对数型函数
的定义域可知
，
，即
，
又
，则
，所以
，则
，
，
故选：D.
21. （2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）若集合
，则
______
【答案】
【分析】首先根据双曲线的性质得到
或
，再求
即可.
【详解】因为
，
，所以
或
，即
或
.
所以
.
故答案为：
考点四、由集合运算求参数
22.（2025 上海宝山区高三三模）设
，集合
，
，若
，则
________．
【答案】2
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由
，
，且
，
所以
.
故答案为：2.
7
23．已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
解得
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，即
的取值范围是
，
故选：C.
24．已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．6
C．5
D．
【答案】D
【详解】若
，则
，即
，
解得
，此时
，
满足
，故
.
故选：D.
考点五、命题的真假及求参
25.（2023·全国·高三专题练习）已知命题“
，
”为假命题，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先得出题设假命题的否命题“
，
”，则等价于
，
，求
最小值即可.
8
【详解】因为命题“
，
”为假命题，则命题的否定“
，
”为真命
题，所以
，
．
易知函数
在
上单调递增，所以当
时，
取最小值，所以
．所以实数a
的取值范围为
．
故选：D．
26.（2024 上海高三阶段练习）命题“任意
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在
，
为真命题，即
，求出
的最小值得解.
【详解】若命题任意“
，
”为假命题，
则命题存在
，
为真命题，
因为
时，
，
令
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
27. 已知不等式x＋3≥0 的解集是A，若a∈A 是假命题，则a 的取值范围是
4、答案：
；解析：因为x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，又因为a∈A 是假命题，即a∉A，
所以a<－3，则
；
9
28．（2024 上海课时作业）若命题甲“
”和命题乙“
或
”中有且仅有一个是真命题，
则实数x 的取值范围是 .
【答案】
【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可.
【解析】若甲命题为真乙命题为假，则
，可得
，即
；
若甲命题为假乙命题为真，则
，可得
或
，即
；
综上所述，实数x 的取值范围是
.
故答案为：
29．已知命题
，
为假命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知
，
，令
，则
，
作出函数
的图象如图所示，
若
，则直线
与函数
的图象没有公共点，数形结合可知
,
所以
的取值范围为
.
故选：D.
10
30．已知命题：“
，
”为真命题，则
的取值为 .
【答案】
【详解】因为命题：“
，
”为真命题，
即等式
恒成立，
则
，
解得
，
故答案为：
.
考点六、充分条件与必要条件
31.（2025 上海市徐汇中学高三三模） “
”是“
”的（ ）条件.
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要
【答案】B
【分析】根据两不等式所表示的集合之间关系结合必要非充分条件的判定即可得到答案.
【详解】根据
，
则“
”无法推出“
”， “
”可以推出“
”，
故“
”是“
”的必要非充分条件，
故选：B.
32. （2025 复旦大学附属中学高三期末）已知
为正数，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充分必要
D. 既非充分又非必要
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】已知
为正数，则
或
，
所以“
”是“
”的充分非必要条件.
故选：A.
33. （2025 上海宝山区高三三模）“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
11
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可.
【详解】若
，则
，所以
，
由
得
，因为
，所以取不到等号，即
，
所以“
”是“
”的充分条件；
又
时，
，所以“
”不是“
”的必要条件.
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
34. （2025 届上海市大同中学高三三模）若
、
，则“
”成立是“
”成立
（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
【答案】D
【分析】首先得
，故问题转换为了
是
的什么条件，分充分、必
要两种情况说明即可.
【详解】令
，求导得
恒成立，
所以
是
上的增函数，
所以
，
当
时，有
，这表明
不是
的充分条件，
当
时，有
，这表明
不是
的必要条件，
所以“
”成立是“
”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
12
考点七、反证法
35.用反证法证明命题：“已知a、
，若ab 可被5 整除，则a、b 中至少有一个能被5 整除”时，第一步
应假设________成立．
【答案】
、
都不能被5 整除
【分析】根据给定条件判断命题的题设与结论，再写出结论的否定即可作答.
【解析】命题：“已知a、
，若ab 可被5 整除，则a、b 中至少有一个能被5 整除”的结论是“a、b 中至
少有一个能被5 整除”
于是得“a、b 中至少有一个能被5 整除”的否定是：
、
都不能被5 整除，
所以第一步应假设
、
都不能被5 整除成立.
故答案为：
、
都不能被5 整除
36.（2022 秋•徐汇区校级月考）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2 或y≠3”为真命题时，第一个步骤是
．
【分析】根据反证法的概念即可求解．
【解答】解：根据反证法可知证明命题“若x+y≠5，则x≠2 或y≠3”为真命题时，
第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设x＝2 且y＝3．
故答案为：假设x＝2 且y＝3．
【点评】不通过考查反证法的概念，属基础题．
37.（2022 秋•青浦区校级期末）已知a、b∈R，用反证法证明命题：“若a2+b2＝0，则a、b 全为零”时的假
设是 ．
【分析】把要证结论否定即可．
【解答】解：用反证法证明命题：若a，b∈R，且a2+b2＝0，则a，b 全为0 时，
要做的假设是证明结论的反面，即a，b 不全为0．
故答案为：a，b 不全为0．
【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题．
考点八、集合的新定义
38．定义非空数集
的“和睦数
”如下：将
中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加
上、减去后继的数所得的结果.例如，集合
的“和睦数”是
，
的“和睦数”是
，
的“和睦数”是1.对于集合
，其所有非空子集的“和睦数”的总和为
（ ）
13
A．82
B．74
C．12
D．70
【答案】A
【详解】
，非空子集有
个.
当子集
为单元素集
，
，
，
时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集
为双元素集
，
，
，
，
，
时，
“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集
为三元素集
，
，
，
时，
“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集
为四元素集
时，“和睦数”为
.
故“和睦数”的总和为
.
故选：A
39.定义
，若集合
，则A 中元素的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知y 的可能取值有
，
，
，0，1，2，3，则集合A 中有7 个元素.
故选：B.
40.定义集合运算：
，设
，
，则集合
的所有元素之
和为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】集合新定义
【分析】由集合的新定义计算即可.
14
【详解】由题设知
，
所有元素之和为
，
故选：A.
41．（2023·全国·模拟预测）对于集合
，定义
，且
．若
，
，将集合
中的元素从小到大排列得到数列
，则
（ ）
A．55
B．76
C．110
D．113
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用等差数列的性质计算、集合新定义
【分析】根据集合的特征列出集合
与
的前若干项，找出集合
中元素的特征，进而即可求解.
【详解】因为
，
所以
，所以
．
相当于集合
中除去
形式的数，其前45
项包含了15 个这样的数，所以
．
则
，
故选：C.
42．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：
在数学上，斐波那
契数列以如下递推的方式定
已知
且
Ø，则
中所有元素之和为奇数的概率为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】计算古典概型问题的概率、集合新定义
【分析】记A 中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有奇
数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成，然后可解.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合
中的元素有675 个偶数，1350 个奇数，记A 中
15
所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C 的子集为E，集合D 中含有奇数个元素的子集
为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成
，显然集合E 共有个
，集合F 共有
个，
所以所有元素之和为奇数的集合B 共有
个，
又集合A 的非空子集共有
个，
所以B 中所有元素之和为奇数的概率为
.
故答案为：
.
43．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，
而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了
解笛卡尔积．两个集合
和
，用
中元素为第一元素，
中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序
对组成的集合叫作
与
的笛卡尔积，又称直积，记为
．即
且
．关于任意非
空集合
，下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义
【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D.
【详解】对于A，若
，则
，A 错
误；
对于B，若
，则
，
而
，B 错误；
对于C，若
，则
，
16
，
，
，C 错误；
对于D，任取元素
，则
且
，则
且
，
于是
且
，即
，
反之若任取元素
，则
且
，
因此
且
，即
且
，
所以
，即
，D 正确.
故选：D
1. （2025 上海秋季高考）已知全集
，集合
，则
_________．
【答案】
##
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知
.
故答案为：
.
2．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
故选：D.
3.（2024 上海高考） 设全集
,集合
,求
_________
17
【答案】
4．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
5．（2023 年上海高考）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．{1，2，3}
（答案）A
（解答）解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，
∴M＝{1}．
故选：A．
6．（2023 年上海春考）已知集合 A ＝{1 ， 2} ，B ＝{1 ， a}，且 A＝B，则 a = .
1 ．（解答）解：集合 A ＝{1 ，2} ，B ＝{1 ， a}，且 A ＝B，
则a ＝2.
故答案为： 2 .
7．（2023•新高考Ⅱ）设集合
，
，
，
，
，若
，则
A．2
B．1
C．
D．
【解析】依题意，
或
，
当
时，解得
，
此时
，
，
，0，
，不符合题意；
当
时，解得
，
此时
，
，
，
，
，符合题意．
故选：
．
8．（2022 年上海高考）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
18
A．{﹣2，﹣1，0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣1，0}
D．{﹣1}
（答案）B
（解答）解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
故选：B．
9．（2022·上海春考）已知
，
，则
（答案）
（知识点）交集及其运算
（解析）（解答）解：∵
，
∴
(1，2)
故答案为：(1，2)
（分析）根据交集的定义求解即可.
10．（2021 年上海高考）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝ ．
（答案）{﹣1，0}
（解答）解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x
}，B＝{﹣1，0，1}，
所以A∩B＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
11．（2020 年上海卷01）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝ ．
（答案）解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，
则A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
12．（2020 上海春考1．（4 分）已知集合
，2，3，4，
，
，5，
，则
．
【解答】
集合
，2，3，4，
，
，5，
，
19
，
．
故答案为：
，
．
（点评）本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
20
14．（2019 年上海卷01）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝ ．
（答案）根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．
故答案为：（2，3）．
15．（2019 上海春考）集合
，
，
，2，
，若
，则
3
．
（分析）利用集合的包含关系即可求出
的值．
（解答）解：
，且
，
，
，
故答案为：3．
（点评）本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
16．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
21
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
17．（2019•上海高考）已知
、
，则“
”是“
”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【解析】
等价，
，得“
”，
“
”是“
”的充要条件，
故选：
．
18．（2019 上海高考）已知
、
，则“
”是“
”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
（解析）
等价，
，得“
”，
“
”是“
”的充要条件，
故选：
．
19．（2020•上海高考）命题
：存在
且
，对于任意的
，使得
（a）；
命题
单调递减且
恒成立；
命题
单调递增，存在
使得
，
22
则下列说法正确的是
A．只有
是
的充分条件
B．只有
是
的充分条件
C．
，
都是
的充分条件
D．
，
都不是
的充分条件
（解析）对于命题
：当
单调递减且
恒成立时，
当
时，此时
，
又因为
单调递减，
所以
又因为
恒成立时，
所以
（a），
所以
（a），
所以命题
命题
，
对于命题
：当
单调递增，存在
使得
，
当
时，此时
，
（a）
，
又因为
单调递增，
所以
，
所以
（a），
所以命题
命题
，
所以
，
都是
的充分条件，
故选：
．
20．（2022 年上海高考）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω 中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；
②存在直线l，使得集合Ω 中存在无数点在l 上；（ ）
23
A．①成立②成立
B．①成立②不成立
C．①不成立②成立
D．①不成立②不成立
（答案）B
（解答）解：当k＝0 时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，
当k＞0 时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，
表示圆心为（k，k2），半径为r＝2
的圆，
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2
单调递增，
相邻两个圆的圆心距d
，相邻两个圆的半径之和为l＝2
2
，
因为d＞l 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0 时，同k＞0 的情况，故存在直线l，使得集合Ω 中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧，故①正确，
若直线l 斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l 与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d
，r
，
给定m，n，当k 足够大时，均有d＞r，
故直线l 只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
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