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专题02 不等式
【考点1 不等式的性质】
【考点2 大小比较】
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
【考点4 利用基本不等式求参数】
【考点5 一元二次不等式求解】
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【考点7 不等式恒成立问题】
【考点8 基本不等式的其他应用】
【考点9 不等式与线性规划综合】
知识点1 不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔b<a．
（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc．
（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
知识点2 两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
1
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知识点3 基本不等式
（1）基本不等式：≤．
（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b 时，等号成立．
（4）其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数．
知识点4 几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）＋≥2(a，b 同号)．
（3）ab≤
(a，b∈R)．
（4）≥
(a，b∈R)．
知识点5 三个“二次”的关系
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实
数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{x|x<x1，或x>x2}
{x|x≠－}
R
知识点6 分式不等式与绝对值不等式
（1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
（2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a) (
∪a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)．
【考点1 不等式的性质】
方法技巧：
2
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判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
【典例1】（2024•淮北模拟）已知a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab＝1，则a+b≥2
B．若
，则a＞b
C．若a＞b，则ln（a﹣b）＞0
D．若a＞b＞0，则
【典例2】（2024•郫都区校级模拟）已知非零实数a，b 满足a＞|b|+1，则下列不等关系不
一定成立的是（ ）
A．a2＞b2+1
B．2a＞2b+1
C．a2＞4b
D．
＞b+1
【典例3】（2024•固始县校级三模）若a，b∈R，且a＞b，则（ ）
A．
B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2
D．
【典例4】（2024•东城区一模）已知a，b∈R，ab≠0，且a＜b，则（ ）
A．
B．ab＜b2
C．a3＜b3
D．lg|a|＜lg|b|
【典例5】（多选）（2024•合肥模拟）已知实数a，b 满足0＜a＜b＜1，则（ ）
A．
B．a+b＞ab
C．ab＜ba
D．
【考点2 大小比较】
3
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【典例1】（2024•李沧区校级模拟）设a= sin 2
2
，b＝log2sin2，c＝2sin2，则下列关系正确的
是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
【典例2】（2024•青羊区校级模拟）若lna＝﹣1，eb=√2，3c＝ln3，则a，b，c 的大小关
系为（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．a＞b＞c
【典例
3 】（2024• 博爱县校级三模）函数f ( x)=
1
x
2+1
，记
a= f (−1
2 )，b= f (3
−0.5)，c = f (lo g5
1
2 )，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【典例4】（2024•李沧区校级模拟）设a＝log73，b=lo g 1
3
7，c＝30.7，则a，b，c 的大小
关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
【典例5】（多选）（2024•柳州三模）若a＞b，则（ ）
A．a3﹣b3＞0
B．ln（a﹣b）＞0
C．ea﹣b＞1
D．|a|﹣|b|＞0
【考点3 基本不等式求函数最值（10 种技巧）】
技巧一:凑项
4
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【典例1】（2024•林芝市一模）已知x＞1，则
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
技巧二:凑系数
【典例1】（2024•成都三模）若正实数a，b 满足a2+b2＝m，则a+b 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2m
技巧三: 分离
【典例1】（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【典例2】（2024•新余二模）已知x，y 为正实数，且x+y＝2，则
的最小值为（
）
A．12
B．
C．
D．
【典例3】（2024•山东模拟）设正实数a，b 满足a+2b＝1，则
的最小值为（
）
A．
B．17
C．
D．16
技巧四:换元
【典例1】（2024•苏州模拟）已知a，b∈R，a+b＝4，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
技巧五:函数的单调性
【典例1】（2024•一模拟）已知函数f（x）＝log2（
﹣x），若对任意的正数a，
5
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b，满足f（a）+f（3b﹣1）＝0，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
【典例2】（2024•新县校级模拟）已知m，n∈R，且m+2n＝2，则m•2m+n•22n+1的最小值
为 ．
技巧六:整体代换
【典例1】（2024•安徽模拟）已知m，n∈（0，+∞），
，则
的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【典例2】（2024•江苏模拟）设x＞0，y＞0，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【典例3】（2024•龙华区校级二模）已知x＞0，y＞0，且
，则
的最小值为
．
技巧七：利用sin ² a+cos ² a=l 转换式子
【典例1】（2024•昭通模拟）
的最小值为 ．
技巧八:解决二元函数的最值问题
【典例1】（2024•凉山州模拟）已知正数x，y 满足x+2y＝1，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2024•松江区校级模拟）设实数x、y 满足|x+y|＝1，则xy 的最大值是 ．
【考点4 利用基本不等式求参数】
【典例1】（2024•江西模拟）已知集合M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|ex﹣a＞0}，若M⊆N，则实
数a 的取值范围为（ ）
6
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A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，1）
C．（﹣∞，e]
D．（﹣∞，e）
【典例2】（2024•思明区校级模拟）已知
，若2∈A，则m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【典例3】（2024•天河区二模）若实数m 满足log2（﹣m）＜m+1，则m 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣1，0）
【典例4】（2024•昌乐县校级模拟）若正数a，b 满足ab＝a+b+3，则a+b 的取值范围是（
）
A．[6，+∞）
B．[9，+∞）
C．（0，6]
D．（0，9）
【考点5 一元二次不等式求解】
【典例1】（2024•河北模拟）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则
A∩B＝（ ）
A．{2}
B．{0，1，3，4，5}
C．{0，4，5}
D．{4，5}
【典例2】（2024•原州区校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x∈N|x＜3}，
则A∩B＝（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【典例3】（2024•东城区校级三模）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2+3x+2＞0}，则
（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B⊆∁UA
D．∁UA⊆B
【考点6 根据一元二次不等式解求参数】
【典例1】（2024•河池二模）已知A＝{x|x2﹣ax+1≤0}，若2∈A，且3∉A，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2024•永寿县校级模拟）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{x∈N|0≤log2
7
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（x+1）＜2}，则A∪B 的真子集的个数为（ ）
A．16
B．15
C．14
D．8
【典例3】（2024•济宁一模）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣a≤x≤a}，若A⊆B，
则实数a 的取值范围是
．
【考点7 不等式恒成立问题】
【典例1】（2023 秋•滨州期末）已知不等式x2﹣ax+4≥0 对于任意的x∈[1，3]恒成立，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，5]
D．[5，+∞）
【典例2】（多选）（2024•广东模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝8，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A．
B．
C．a2+b2≥32
D．
【典例3】（多选）（2023 秋•湖北期末）设x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＜0 恒成立的充分不
必要条件可以是（ ）
A．﹣4＜a≤0
B．﹣2＜a＜0
C．﹣3＜a＜0
D．﹣4＜a＜1
【考点8 基本不等式的其他应用】
【典例1】（2024•梅县区校级一模）在△ABC 中，E 为AC 上一点，
，P 为BE 上
任一点，若
，则
的最小值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【典例2】（2024•古蔺县校级模拟）在△ABC 中，若C＝
，则sinAsinB 的最大值是
．
【考点9 不等式与线性规划综合】
8
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【典例1】（2024•汉中模拟）若实数x，y 满足约束条件
则z＝2x+3y 的最
小值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【典例2】（2024•大通县二模）若实数x，y 满足约束条件
则z＝x+4y 的最
大值为（ ）
A．
B．6
C．13
D．15
一．选择题
1．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{x|1＜x2＜9}，
，则A∩B
＝（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣2，3）
C．（﹣3，﹣2）∪（2，3）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
2．（2024•大兴区校级模拟）若集合A＝{x∈N|2x＜4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B
＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2}
B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{1}
3．（2024•香坊区校级模拟）已知集合
，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA）
∩B＝（ ）
A．[2，3]
B．（2，3）
C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞）
D．（2，+∞）
4．（2024•袁州区校级三模）已知集合M＝{x|lgx＞0}，
，则
9
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M∩N＝（ ）
A．（1，2]
B．（4，+∞）
C．（1，2）∪[4，+∞）
D．（1，2]∪[4，+∞）
5．（2024•郊区校级三模）已知
，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．a2+b2≤6
D．ab≥3
6．（2024•思明区校级模拟）已知集合
，则（
）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．A∩B＝∅
D．A∪B＝R
7．（2024•江苏模拟）若集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，3]
B．（2，3]
C．（1，6]
D．（2，6]
8．（2024•临汾模拟）若0＜x＜1，则
的最小值是（ ）
A．1
B．4
C．
D．
9．（2024•雨城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且
，则
的最小值为（
）
A．9
B．10
C．12
D．13
10．（2024•安徽模拟）已知全集U＝R，集合
，
，
则M∩N 等于（ ）
A．[﹣1，1）
B．[0，1）
C．（﹣3，0）
D．（﹣3，﹣1）
11．（2024•济南校级模拟）已知x，y 为正实数，且x+y＝1，则
的最小值为（
）
A．24
B．25
C．
D．
12．（2024•玄武区校级二模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈N|2﹣x＞0}，则
A∩B＝（ ）
10
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A．{3，4}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
13．（2024•揭阳二模）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1 在（2，6）上不单调，则a 的取值范
围为（ ）
A．（2，6）
B．（﹣∞，2]∪[6，+∞）
C．（4，12）
D．（﹣∞，4]∪[12，+∞）
14．（2024•商洛模拟）在不等式组
表示的平面区域内任取一点P（x，y），
则满足y≥x﹣2 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024•4 月份模拟）若函数f（x）＝|x2﹣（m﹣2）x+1|在
上单调，则实数
m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024•高碑店市校级模拟）若关于x 的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0 的解集中恰有3
个正整数，则实数m 的取值范围为（ ）
A．5＜m≤6
B．5≤m≤6
C．6＜m≤7
D．6≤m≤7
17．（2024•西安模拟）已知x，y 满足约束条件
，则z＝﹣3x+6y 的最大值
为（ ）
A．18
B．14
C．10
D．﹣30
18．（2024•榆阳区校级模拟）已知实数x，y 满足约束条件
，则z＝2x+y﹣1 的
最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共1 小题）
11
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19．（2024•河东区一模）若a＞0，b＞0，ab＝2，则
的最小值为
．
12
