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专题22.35 《二次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单
的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的二次函数.
特别说明：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0 时就不是
二次函数了，但b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
；②
；③
；④
，
其中
；⑤
.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当
时
开口向上
当
时
开口向下
(
轴)
(0，0)
(
轴)
(0，
)
(
，0)
(
，
)
(
)
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)
的符号决定抛物线的开口方向：当
时，开口向上；当
时，开口向下；
相
等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地，
轴记作直线
.
3.抛物线
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
≠
中，, ,
a b c 的作用：
(1)
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
，
故：①
时，对称轴为
轴；②
(即
、
同号)时，对称轴在
轴左侧；③
(即
、
异号)时，对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0，
)：
①
，抛物线经过原点； ②
，与
轴交于正半轴；③
，与
轴交于负半
轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：
（a≠0）.已知图象上三点或三对
、
的值，通常选择一般
式.
(2)顶点式：
（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成
的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与
轴的交点坐标
、
，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
).
特别说明：
求抛物线
2
y
ax
bx
c
（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、
代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数
，当
时，得到一元二次方程
，
那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交
点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实
根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相
等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
特别说明：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实
根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相
等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题
中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.
在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、
抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出
相关的函数关系式.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c 的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与
x 轴交于点C、D．
(1)求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标．
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n 的最小值；
②若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
，与x 轴的交点坐标为
和
(2)
-4
①
；②1﹣
＜m＜0 或
2＜m＜1+
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令
，解
即可求得交点
坐标．
（2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x 轴的距
离的特点即可求解．
(1)解：将点A、B 的坐标代入抛物线表达式得，
，解得
，
故抛物线的表达式为
，
令y＝x2
2
﹣x
3
﹣＝0，解得
或
，
故抛物线与x 轴的交点坐标为
和
．
(2)①
，
故n 的最小值为﹣4；
②令
，解得
或2 或
，
故m 的取值范围为：
或
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次
函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知x 与y 之间的函数关系式为
（其中a、b 是常数），且有下列对
应关系：
x
1
－2
y
－1
17
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点
，点
均在抛物线
上，求m 的值．
【答案】(1)
(2)
，
．
【分析】
（1）利用待定系数法，将对应的x，y 代入
，解二元一次方程组即可；
（2）先将
代入y 与x 之间的函数关系式求出的值，再将
代入y 与x 之间的函
数关系式求出m 的值．
(1)解：由题意得，
解得，
∴y 与x 之间的函数关系式为
．
(2)解：∵点
在抛物线
上，
∴
．
∴
，
∵点
在抛物线
上，
∴
，
整理得
，
解得
，
．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度
较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x 的图象与二次函数y=-x2+bx（b 为
常数）的图象相交于O，A 两点，点A 坐标为（3，m）．
(1)求m 的值以及二次函数的表达式；
(2)若点P 为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA 的面积．
【答案】(1)m 的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA 的面积为3．
【分析】
（1）把点A 的坐标为（3，m）代入y=x 可求出m 的值，然后再把A 点坐标代入二次函数表
达式即可解答；
（2）过点P 作PC⊥x 轴，垂足为C，交OA 于点D，然后把△OPD 的面积与△APD 的面积相
加即可．
(1)解：把点A 坐标为（3，m）代入一次函数y=x 中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A 坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx 中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m 的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)解：过点P 作PC⊥x 轴，垂足为C，交OA 于点D，过点A 作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）
2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2 代入y=x 中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA 的面积=△OPD 的面积+△APD 的面积，
∴△POA 的面积=
PD•OC+
PD•AE
=
PD（OC+AE）
=
×2×3
=3，
答：△POA 的面积为3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，
把△POA 的面积分成△OPD 的面积与△APD 的面积之和是解题的关键．
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．已知二次函数
的图象如图，它与x 轴的两个交点分别为
，
对于下列结论：①
；②
；③
；④
．其中结论正确的个数
有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】B
【分析】根据开口方向确定a 的符号后再根据抛物线与x 轴的交点坐标得到对称轴，确定b
的符号，即可判断①，利用抛物线与y 轴交点位置确定c 的符号，即可判断②，令
即可判断
③，利用根与系数的关系即可判断④．
解：∵二次函数
的图象开口向上，且与x 轴的两个交点分别为
，
∴
，且该图象的对称轴为
，
∴
，
∴
，
故①错误；
由图可知，抛物线交y 轴负半轴，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
故②错误；
由图可知，当
时，
，
故③正确；
∵
，
∴
，
∴
，
故④正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线的解析式以及它的图象与性质，解题关键是理解并掌握对称轴公
式、一元二次方程根与系数的关系以及会根据点的坐标判断代数式的取值情况．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线
经过点
，且对称轴为直线
，其部分图像如
图所示．下列说法正确的个数是（ ）．
①
；②
；③
；④
（其中
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据抛物线的性质，对称性，抛物线与x 轴的交点，与y 轴的交点，最值去分析判
断即可．
解：∵ 抛物线
经过点
，开口向下，与y 轴交点位于y 轴的正半轴，且对
称轴为直线
，
∴a＜0，c＞0，a+b+c=0，
，
，
∴ac＜0，
，
，
，
故①②③都是错误的；
∵a＜0，
∴抛物线有最大值，且当x=-1 时，取得最值，且最大值为a-b+c，
∴当m≠-1 时，
，
故
，
故④正确，
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称性，最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握抛物
线的性质和最值、对称性是解题的关键．
【变式2】如图，已知二次函数
的图象交轴于
，对称轴为
．则
下列结论：①
；②
；③
；④若
，
是图象上的两点，
则
；⑤若
，则
．其中正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由图象可知当x=0 时，c<0，再根据开口向上及对称轴
，即可得a、b 的取
值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数
的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为
，可得b=2a，由当x=1 时，a+b+c=0，
即可判定③；首先可求得点
关于对称轴对称的点的坐标为
，再根据二次函数的
性质，即可判定④；首先可求得点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，再根据函数图象即可
判定⑤，据此即可解答．
解：由图象可知，当x=0 时，y<0，
∴c<0，
该二次函数的图象开口向上，
，
，
，
∴①不正确；
∵对称轴为直线x=−1，二次函数
的图象交轴于
，
∴二次函数
的图象与轴的另一个交点为
，
该二次函数的图象开口向上，
当x=2 时，
∴②正确；
，
，
二次函数
的图象与轴的另一个交点为
，
当x=1 时，a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，
∴③正确；
∵函数图象的对称轴为直线x=-1，
∴点
关于对称轴对称的点的坐标为
，
该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，
∴
，
∴④不正确；
该函数图象与y 轴的交点坐标为(0,c)，
点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，
时，
，
∴⑤正确；
故正确的有3 个，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合
的思想是解题的关键．
类型三、二次函数与一次函数、不等式
3．抛物线y＝﹣x2＋bx＋c 经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；
（2）若过顶点D 的直线将△ACD 的面积分为1：2 两部分，并与x 轴交于点Q，则点Q 的坐
标为 ．
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（
）
【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或
【分析】
（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；
（2）根据点A，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线AC 的函数表达式，设点E 的坐标为
（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE 或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2 或
2(x+3)2=8，得出点E 的坐标，再求出直线DE 的解析式即可得出点Q 的坐标．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于点A（-3，0）和点B，与y 轴相交于点C（0，
3），
∴
，解得：
；
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）
2+4，
∴顶点D（-1，4）．
（2）设直线AC 的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：
；
解得：
，
∴直线AC 的函数表达式为y=x+3．
设点E 的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），
∵直线AC 将△ADC 的面积分成1：2 的两部分，且△ADE 和△CDE 等高，
∴AE=2CE 或CE=2AE，
∵
∴
或
2(
∴
x+3)2=2 或2(x+3)2=8
∴x=-2 或-4 或-1 或-5
-3
∵
＜x＜0
∴x=-2 或-1
∴点E 的坐标为（-2，1）或（-1，2）
当点E 的坐标为（-2，1）时
设直线DE 的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，
得：
；
解得：
，
∴直线AC 的函数表达式为y=3x+7．
当y=0 时，
∴点Q 的坐标为（
，0）
当点E 的坐标为（-1，2）时，
∵D（-1，4），
∴直线DE//y 轴，
点Q 的坐标为（-1，0）
∴点Q 的坐标为（-1，0）或
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形
的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线
AC 将△ADE 的面积分成1：2 的两部分，找出关于x 的一元二次方程．
举一反三：
【变式1】二次函数
的图象如图所示：
(1)根据图象解答问题：方程
的两个根为 ；不等式
的解
集为 ；
(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】
（1）根据函数图象与轴交点的横坐标就是方程
的两个根即可解出；根据不
等式与函数图象的关系可知不等式
对应着轴下方的图象，写出图象对应的范围
即可；
（2）根据题中二次函数图象可知其与轴交于两点
、
，可设二次函数交点式，
再将与
轴的交点
代入交点式方程求解，即可得出解析式．
(1)解：由图象可知，
图象与轴交于两点
、
，
即当
时，
；当
时，
，
当
时，得到方程
的两个根为
，
；
不等式
对应着
，从不等式与函数图象的关系看来，不等式
的解集意味着轴下方图象对应着的的取值范围，
不等式
的解集为
；
(2)解：由图象可知，
图象与轴交于两点
、
，与
轴交于点
，
设二次函数交点式为
，
将
代入
，得到
，
，即
，
二次函数的解析式为
．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质．准确掌握二次函数图象与一元二次方程的根、
二次不等式解集之间的关系是解决此类问题的关键．
【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．
例题：解一元二次不等式x2
3
﹣x+2＞0．
解：令y＝x2
3
﹣x+2，画出y＝x2
3
﹣x+2 如图所示，由图象可知：当x＜1 或x＞2 时，y＞0．
所以一元二次不等式x2
3
﹣x+2＞0 的解集为x＜1 或x＞2．
填空：
(1)x2
3
﹣x+2＜0 的解集为 ；
(2)﹣x2+2＜0 的解集为 ；
(3)用类似的方法解一元二次不等式﹣（x
1
﹣）
2
5
﹣（x
1
﹣）+6＞0．
【答案】(1)
(2)
或
；(3)
．
【分析】
（1）求出
的解，然后根据函数图像取中间值即可；
（2）求出
的解，然后根据函数图像取两边的值即可；
（3）求出
的解，然后根据函数图像取中间值即可．
(1)解：解
得
，
，
由图象可知：当
时，y＜0．
所以，不等式
的解集为
；
(2)令
，画出
如图所示，
解
得，
，
，
所以，由图象可知：不等式
的解集为
或
；
(3)令
，画出函数图像如图，
解
得，
，
，
所以，由图象可知：一元二次不等式
的解集为
．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方
法是解题的关键．
类型四、二次函数与一元二次方程
4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线
经过点M
（1，3）和N（3，5）
(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y 轴交于点B，同时满足
以A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】(1)抛物线与x 轴没有交点；
(2)先向左平移3 个单位，再向下平移3 个单位或将原抛物线先向左平移2 个单位，再向下平
移5 个单位．
【分析】
（1）把M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b 的值，可求得抛物线解析式，再根
据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；
（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，
把A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得
到平移的过程．
(1)解：把点M（1，3）和N（3，5）代入抛物线解析式，得：
，解得：
，
∴抛物线解析式为
，
令y=0，得
，
=
∵△（-3）
2
4×1×5=9
20=
11
﹣
﹣
﹣
＜0，
∴抛物线与x 轴没有交点；
(2)解：∵△AOB 是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B 在y 轴上，
∴OA=OB，
∴B 点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为
，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入，得：
，解得：
，
∴平移后的抛物线为
，
∴该抛物线的顶点坐标为（
，
），
∵原抛物线顶点坐标为（
，
），
∴将原抛物线先向左平移3 个单位，再向下平移3 个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入，得：
，解得：
，
∴平移后的抛物线为
，
∴该抛物线的顶点坐标为（
，
），
∵原抛物线顶点坐标为（
，
），
∴将原抛物线先向左平移2 个单位，再向下平移5 个单位即可获得符合条件的抛物线．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图
象和性质，二次函数的平移的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知k 是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两
个交点.
(1)求k 的值：
(2)若点P 在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【分析】
(1)根据抛物线的对称轴是y 轴以及对称轴公式可得关于k 的方程，解方程后再根据抛物线与
x 轴的交点个数即可确定答案；
(2)由点P 到y 轴的距离即可确定出点P 的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P 的纵
坐标即可得答案.
解：(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k 的对称轴是y 轴，
∴
，
即k2+k－6=0，
解得k=－3 或k=2，
当k=2 时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3 时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，
k=
∴
－3；
(2) P
∵到y 轴的距离为2，
∴点P 的横坐标为－2 或2，
当x=2 时，y=－5；
当x=－2 时，y=－5，
∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x 轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解
题的关键.
【变式2】如图，抛物线
与轴交于点
，
，与
轴交于点
，
点
是直线
上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点
作
轴于点
，交直线
于点
．当
时，求点
的坐标．
【答案】(1)
；(2)
．
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令
时，
，求出
，进一步求出直线
的解析式为
，设
，则
，表示出
，
，利用
，可得
，所以
．
(1)解：∵抛物线
与轴交于点
，
，
∴
，解得：
，
∴抛物线解析式为．
(2)解：∵当
时，
，
∴
，
设直线
的解析式为
，
∴
，解得：
，
∴直线
的解析式为
，
设
，则
，
∵
轴于点
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
（此时
，
重合，不合题意舍去），
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，
表示出
，
，解一元二次方程．
类型五、二次函数与实际问题
5．某宾馆有50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200 元时，房间会全部住
满，当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房
间每天支出20 元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元．设每个房间的
房价每天增加x 元（x 为10 的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y 与x 的函数关系式；
(2)当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560 元；
(3)求出宾馆每天获得的最大利润．
【答案】(1)y 与x 的函数关系式为y=50-
；(2)当房价为260 元时，宾馆每天的利润为
10560 元
(3)宾馆每天获得的最大利润是11520 元
【分析】
（1）根据当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲，可以写出y 与x 的
函数关系式；
（2）根据题意，可以得到（200+x-20）（50-
）=10560，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与x 的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据
二次函数的性质和x 的取值范围，即可得到利润的最大值．
(1)解：由题意可得，
y=50-
，
即y 与x 的函数关系式为y=50-
；
(2)解：由题意可得，
（200+x-20）（50-
）=10560，
解得x1=60，x2=260，
∵每个房间每天的房价不得高于340 元，
200+
∴
x≤340，
∴x≤140，
0≤
∴
x≤140（x 为10 的整数倍），
∴x=60，
200+
∴
x=260，
答：当房价为260 元时，宾馆每天的利润为10560 元；
(3)解：设利润为w 元，
由题意可得：w=（200+x-20）（50-
）=-0.1（x-160）
2+11560，
∴当x＜160 时，w 随x 的增大而增大，
∵每个房间每天的房价不得高于340 元，
200+
∴
x≤340，
∴x≤140，
0≤
∴
x≤140（x 为10 的整数倍），
∴当x=140 时，w 取得最大值，此时w=11520，
答：宾馆每天获得的最大利润是11520 元．
【点拨】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
举一反三：
【变式1】“一脉温泉韵，满城桂花香”，咸安因加大对桂花产业的宣传力度，年初，我区
某工厂接到一批桂花制品的生产任务，要求必须在20 天内完成．已知该产品的出厂价为65 元/件，
工人小王第x 天（x 为整数）生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y＝5x＋10，第x 天生
产该产品成本为P 元/件，P 与x 的函数关系图象如下：
(1)求P 与x 之间的函数关系式；
(2)设小王第x 天创造的利润为w 元．
①求w 与x 的函数关系式；
②为响应国家的“乡村振兴”政策，小王决定，将这20 天中单日所创造的最大利润捐给自
己所在的村委会，试问，该村委会本次可获得多少元的捐款？
【答案】(1)
（且x 为整数）
(2)①
（且x 为整数）；②1280 元
【分析】
（1）根据函数图象，结合x 的取值范围，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据利润=售价-成本价，结合（1）中P 与x 的函数解析式，列出w 与x 的解析式即
可；
②根据一次函数的性质和二次函数的性质，求出w 的最大值，然后进行比较，得出答案即可．
(1)解：由图象可知，当
时，
；
当
时，设P 与x 的函数解析式为
，
将（10，45）和（20，55）分别代入，
，解得：
，
∴P 与x 的函数解析式为
，
∴P 与x 的函数解析式为：
．
(2)①当
时，
，
当
时，
，
∴w 与x 的函数解析式为
；
②当
时，
，
∵
，
∴w 随x 的增大而增大，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，
，
∵
，
∴村委会本次可获得1280 元捐款．
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，根据函数图象获得信息，利用待定系
数法求出P 与x 的函数解析式，是解题的关键．
【变式2】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相
关数据．无人机上升到离地面30 米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不
计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1 秒时，它们距离地面都是35 米，在6 秒时，
它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度
（米）与小钢球运动时间
（秒）之间的
函数关系如图所示；小钢球离地面高度
（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中
抛物线所示．
（1）直接写出
与之间的函数关系式；
（2）求出
与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1 秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）
；（2）
；（3）70 米
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6 时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8 时，无人机在小钢球的上
方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
解：（1）设y1与x 之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则
，
解得
，
∴y1与x 之间的函数关系式为
．
（2）∵
时，
，
∵
的图象是过原点的抛物线，
∴设
，
∴点
，
在抛物线
上．
∴
，即
，
解得
，
∴
．
答：
与的函数关系式为
．
（3）设小钢球和无人机的高度差为
米，
由
得
或
.
①
时，
，
∵
，∴抛物线开口向下，
又∵
，
∴当
时，
的最大值为
；
②
时，
，
∵
，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线
，
∴当
时，
随
的增大而增大，
∵
，
∴当
时，
的最大值为70．
∵
，
∴高度差的最大值为70 米．
答：高度差的最大值为70 米．
【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和
小钢球的高度差．
类型六、二次函数与几何综合
6．如图，一次函数
图象与坐标轴交于点A、B，二次函数
图象过A、B 两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存
在点Q，使得以B、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
；（2）Q 点坐标为（1，
）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线
与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c 坐标即
可；
（2）分BC 为对角线和边两种情况讨论，其中当BC 为边时注意点Q 的位置有两种：在点P
右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于
：当x=0 时，
；
当y=0 时，
，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，
）
把A（3，0），B（0，
）代入
得：
解得，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC 为菱形对角线时，如图，
∵B，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，
∴BC 与对称轴垂直，且BC//x 轴
∵在菱形BQCP 中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x 轴
∵点P 在x=1 上，
∴点Q 也在x=1 上，
当x=1 时，
∴Q（1，
）；
②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x 轴，
∴令
，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P 在x 轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q 在点P 的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q 点坐标为（1，
）或(3，0)或（-1，0）
【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解
一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线
交x 轴于
，
两点，交y 轴于点C，动
点P 在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及
的周长；
（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q 为顶点
的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2) P 点坐标为(1,2)，
的周长最小值为
；(3)
Q 点坐标存在，为(2，2)或(4，
)或(4，
)或(
，
)或(
，
)
【分析】
(1)将
，
代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A
三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分
三种情况讨论即可求解．
解：(1)将
，
代入二次函数表达式中，
∴
，解得
，
∴二次函数的表达式为：
；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC 为定直线，当C、P、A 三点共线时，
有最小值为
，
此时
的周长也最小，
设直线AC 的解析式为：
，代入
，
∴
，解得
，
∴直线AC 的解析式为：
，
二次函数的对称轴为
，代入
，得到
，
∴P 点坐标为(1,2)，
此时
的周长最小值=
；
(3)
设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点，
由菱形对角线互相垂直知：
，
∴
，解得
，
∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)；
情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：
，解得
或
，
∴P 点坐标为(1，
)或(1，
)，对应的Q 点坐标为(4，
)或(4，
)；
情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，
同理有：
，解得
或
，
∴P 点坐标为(1，
)或(1，
)，对应的Q 点坐标为(-2，
)或(-2，
)；
纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4，
)或(4，
)或(
，
)或(
，
)．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形
的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
【变式2】如图，抛物线
与直线
交于点A(2，0)和点
．
（1）求
和的值；
（2）求点
的坐标，并结合图象写出不等式
的解集；
（3）点
是直线
上的一个动点，将点
向左平移个单位长度得到点
，若线段
与抛物线只有一个公共点，直接写出点
的横坐标
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）不等式
>
的解集为
或
；（3）
点M 的横坐标
的取值范围是：
或
．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得
和的值；
（2）解方程
求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
解：（1）∵点A(2，0)同时在
与
上，
∴
，
，
解得：
，
；
（2）由（1）得抛物线的解析式为
，直线的解析式为
，
解方程
，得：
．
∴点B 的横坐标为
，纵坐标为
，
∴点B 的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当
或
时，抛物线在直线的上方，
∴不等式
>
的解集为
或
；
（3）如图，设A、B 向左移3 个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1 BB1 3，且A A1∥BB1，即MN 为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线
，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线
只有一个公共点，
此时
，
当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线
也只有一个
公共点，此时点M1的纵坐标为-1，则
，解得
，
综上，点M 的横坐标
的取值范围是：
或
．
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数
的性质求解是关键．
