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专题04 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）
目录
①构造
或
(
，且
)型........................1
②构造
或
(
，且
)型........................6
③构造
或
型.....................................9
④构造
或
型...................................13
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数...............................17
①构造
或
(
，且
)型
1．（2023 春·四川成都·高二校考阶段练习）函数
是定义在区间
上的可导函数，其导函数为
，且满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，
，则导函数
，
函数
在区间
上，满足
，则有
，
所以
，即函数
在区间
上为增函数，
1
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，
所以
，
则有
，
解得
，
即此不等式的解集为
.
故选：D
2．（2023 春·云南楚雄·高二统考期中）已知
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，对任意的
，都有
0，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
函数
是定义在
上的奇函数，
令
，
是定义在
上的偶函数，
又
，
，
又
当
时，
，
即当
时，
，
即
在
上是增函数，在
是减函数，
若
且
，即
，解得：
若
且
，即
，解得：
，
当
时，
，不合题意；
不等式
的解集为：
，
，
，
故
，
，
故选：
．
3．（2023 春·广东梅州·高二统考期末）已知
是定义在R 上的偶函数，当
时，有
恒成立，则（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
，
因为当
时，有
恒成立，所以
时，
，
所以
在
单调递减；
又
是定义在R 上的偶函数，则
，
故
为偶函数，
则
，A 选项错误；
，B 选项错误；
，C 选项错误；
，D 选项正确；
故选：D.
4．（2023 春·广东东莞·高二统考期末）已知函数
的定义域为
,其导函数
满足
,则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知，当
时，
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，
不等式
等价于
，
即为
，所以
，
解得
.
3
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故选：A.
5．（2023 春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数
为定义在R 上的奇函数，若当
时，
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，可得
，
因为
时，
，可得
，所以
为单调递增函数，
又由
为定义在
上的奇函数，可得
，
则
，所以函数
为偶函数，
所以函数
在
上单调递减，
又因为
，可得
，
则对于不等式
，当
时，等价于不等式
，解得
；
当
时，等价于不等式
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
6．（2023·全国·高三对口高考）已知
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对
任意正数a、b，若
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
.
若
不是常函数，则
在
上单调递减，又
，则
；
若
为常函数，则
.综上，
.
故选：A
7．（2023 春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为
的函数
满足
，则
不等式
的解集为 .
4
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【答案】
【详解】由
时，函数
满足
，可得
，
设
，则
，故
在
上单调递增，
由
，即
，即
，
所以
，解得
，所以
的解集为
.
故答案为：
.
8．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在
的函数
满足任意
成立，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】令
，则
，所以
在
减函数，又
，由
，可得
，故不等式
的解集为
,
故答案为：
9．（2023 春·陕西延安·高二陕西延安中学校考期中）定义域为
的奇函数
，当
时，
恒成立，若
，
，则
的大小关系为 .
【答案】
【详解】设
，其定义域为
，关于原点对称，
因为
为奇函数，可得
，
所以函数
为偶函数，
当
时，可得
，所以
单调递减，
则函数
在
单调递增，
又因为
，
因为
，所以
，所以
.
故答案为：
.
10．（2023 春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）设
是定义在
上的偶函数，
为其
导函数，
，当
时，有
恒成立，则不等式
的解集为 ．
【答案】
5
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【详解】设
,则
当
时,有
恒成立,
当
时,
在
上单调递增,
是定义在
上的偶函数,
，
即
是定义在
上的奇函数,
在
上也单调递增.
又
.
不等式
的解可等价于即
的解,
或
,
不等式的解集为
.
故答案为：
.
②构造
或
(
，且
)型
1．（2023 春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）设函数
的定义域为
，其导函数为
，且满足
，
，则不等式
（其中e 为自然对数的底数）
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】定义在
上的函数
的导函数为
，
，
令函数
，求导得
，即函数
在
上单调递减，
由
，得
，不等式
等价于
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故选：D
6
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2．（2023 春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数
的定义域为R，
是其导函数，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】构造函数
，则
，
故
在R 上单调递增，
，
可化为
，
故原不等式的解集为
，
故选：B
3．（2023 春·广东潮州·高二统考期末）已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】构造函数
，
因为
，所以
，因此函数
是减函数，
于是有
，
构造函数
，因为
，
所以
，因此
是单调递增函数，
于是有
，
故选：B
4．（2023 春·陕西汉中·高二校联考期末）已知可导函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：令
，
7
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则
，
因为
，
所以
，则
在R 上递减，
又不等式
，即为
，
又
，则
即
，
所以
，
故选：A
5．（2023 春·河南洛阳·高二统考期末）设
是定义在
上的函数
的导函数，且
．若
（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，
，
所以函数
在
上单调递减，
若
，则
，即
，
所以
，得
.
故选：A
6．（2023 春·福建漳州·高二统考期末）已知函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，又
，所以
，
不等式
，即
，即
，即
，所以
，
即不等式
的解集为
.
故答案为：
8
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7．（2023 春·山东枣庄·高二统考期末）已知定义在R 上的函数
的导函数为
，且满足
，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】依题意，令
，求导得
，因此函数
在R 上单调递减，
不等式
，由
，得
，
则有
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
8．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数
及其导函数
定义域均为R，且
，
，则关于x 的不等式
的解集为 ．
【答案】
．
【详解】由题得
．设
，则
，
则函数
为增函数，且
，
则不等式
即为
，所以
.
故答案为：
③构造
或
型
1．（2023 春·四川成都·高二期末）记函数
的导函数为
，若
为奇函数，且当
时恒有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，
9
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因为
，所以
所以
，
所以
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
对于A，因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，所以A 错误，
对于C，因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
， 所以C 错误
对于BD，因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
因为
为奇函数，所以
，所以B 正确，D 错误，
10
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所以D 错误，
故选：B
2．（2023 春·重庆·高二统考期末）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
设
在
单调递增，
，所以A 错误；
，
所以
，所以B 正确；
，所以C 错误；
，
，所以D 错误.
故选：B
3．（2023 春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）已知
是奇函数
的导函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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【答案】A
【详解】当
时，
，则由
，得
；
当
时，
，则由
，得
．
令
，则
，
故g（x）在
上单调递增，在
上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以
是偶函数，
故
，即
，
，
即
．
与
和
的大小关系不确定．
故选：A．
4．（2023·全国·高二专题练习）设
是定义在
的奇函数，其导函数为
，且当
时，
，则关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】令
，
则
，
由条件得当
时，
，
∴函数
在
上单调递减．
因为
，
是奇函数，∴函数
为偶函数，
∴函数
在
上单调递增．
①当
时，
，不等式
可化为
，
∴
；
12
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②当
时，
，不等式
可化为
，
∴
．
综上可得不等式的解集为
．
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域是
，其导函数是
，若
，则关于
的不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】
变形为
，
变形为
，
故可令g(x)＝f(x)sinx，
，
则
，
∴g(x)在
单调递减，
不等式
即为g(x)＜g(
)，
则
，
故答案为：
.
④构造
或
型
1．（2023 春·新疆克孜勒苏·高二校考期末）已知函数
对于任意的x∈
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
，则
在
上单调递增，
对于A，
，化简得
，故A 错误；
对于B，
，化简得
，故B 错误；
对于C，
，化简得
，故C 正确；
对于D，
，化简得
，故D 错误.
故选：C.
2．（2023 春·陕西西安·高二统考期中）已知
是函数
的导函数，
，且对于任意
的
有
．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式
一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，
，则
，
故
在
上单调递增，
14
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而
，故
，故
是偶函数，
故
，
即
，
故A 正确，BCD 错误，
故选：A．
3．（2023 春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）已知偶函数
满足
对
恒成立，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
为偶函数，则
，
令
，则
，
所以
为偶函数，
又
，则当
时
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
，即
，故A 正确；
，即
，
则
，即
，故B 错误；
，即
，
则
，即
，故C 错误；
15
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，即
，
则
，即
，故D 错误；
故选：A
4．（2023 春·陕西咸阳·高二统考期中）已知
是函数
的导函数
，且对于任意的
有
.请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，所以
为偶函数，
则对于任意的
有
，
即为对于任意的
有
，
设
，
，则
，
因为当
时，
，所以
，
所以
在
上为增函数，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，故A 正确；
因为
，所以
，所以
，
16
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所以
，所以
，故B 不正确；
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故C 不正确；
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故D 不正确.
故选：A.
5．（多选）（2023 春·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期末）已知函数
是其
导函数，恒有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由题意得：令
，
于是其导数
．
又函数
是其导函数，恒有
，即
，
所以
，即函数
为增函数．
对于选项A：由
，有
，即
，于是
，故A 正
确；
对于选项B：由
，有
，即
，于是
，故B 正
确；
17
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对于选项C：由
，有
，即
，于是
，无法比较
与
的大小关系，故C 错误；
对于选项D：由
，有
，即
，于是
，即
，故D 正确.
故选：ABD．
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
．若对任意
有
，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，则
恒成立，故函数在
上单调递增.
，则
，即
，
故
.
，即
，即
，故
，解得
.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在
的可导函数
，对于任意实数
都有
成立，且当
时，都有
，若
， 则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
， 则
，
即
，故函数
为
上的偶函数.
当
时，都有
成立，故
，
18
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故
在
上单调递减，在
上单调递增.
，即
，
即
， 因此
，即
，
化为：
解得
.
故选：A
3．（2023 春·吉林白城·高二校考期中）已知函数
为定义在R 上的偶函数，当
时，
，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，即
，
设
，则当
时，
，
函数
在
上单调递增，且
，
又
是定义在R 上的偶函数，有
，
则
，所以
是定义在R 上的偶函数，
则有
在
上单调递减，且
，
不等式
整理得
，
可得
，即
，
当
时，
，则
或
，解得
或
，
又
，所以
；
当
时，
，则
，解得
，
又
，所以
；
当
时，显然不等式不成立；
综上所述，不等式
的解集为
，
故答案为：
．
4．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）设函数
，
的导函数是
，
，当
时，
，那么关于
的不等式
的解是 .
【答案】
【详解】构造
，则
，其定义域为
，
因为
，所以
是奇函数，
19
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又因为当
时，
，所以结合
是奇函数可知
在
上单调递增，
原不等式
可转化为
，即
，
所以
，解得
，
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】当
时，
，
，
则
在
上单调递增，
因为
是定义在R 上的偶函数，则
在
上单调递减，
若
，即
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
.
20
