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专题04 函数性质应用培优归类
题型1 基础技巧：奇偶性复合型构造
判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证
货等价形式
是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于
轴对称，可得函数
为偶函数；
（3）性质法：设
的定义域分别为
，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结
论（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X
奇→ 偶
偶X
偶→ 偶
奇X
偶→ 奇
奇X
偶X
奇→ =偶
1
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简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
1．（24-25 高三·湖北恩施·模拟）已知定义在R 上的函数
，
是其导函数，若
是偶函数，
是奇函数，当
时，关于a 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·云南昭通·模拟）函数
、
分别是定义在
上的奇函数、偶函数，且
，若关于
的方程
在区间
内有解，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．8
D．
3．（2025·广东广州·三模）已知奇函数
和偶函数
的定义域均为
，且满足
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．（2025·云南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
是奇函数，
是
偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 基础技巧：单调性复合型构造
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2 [
∈a，b]，那么有：
>0
①
⇔f(x)是[a,b]上的
增函数
；
<0
②
⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．
2
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1．（24-25 高三湖南衡阳·模拟）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·湖北武汉·模拟）函数
是定义域为
的偶函数，
且
，恒有
，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·山东济宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
恒成立，
，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·天津·阶段练习）已知
是定义在R 上的奇函数，当
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 基础技巧：周期性复合型构造
周期性
①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.
②常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.
周期性技巧：可以类比正余弦函数
3
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1．（24-25 高三·云南曲靖·模拟）已知定义在
上的函数
满足
，且
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
2．（24-25 高二下·山西吕梁·期末）已知函数
的定义域为
，且
，
．若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
3．（24-25 高三·湖南·模拟）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知
当
时，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
4．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：
关于
对称，
为奇函数，
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1
题型4 类周期性（局部平移型）
4
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1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
，则
的解集是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·浙江宁波模拟）已知函数
，若函数
有9
个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三上·上海闵行·开学考试）已知函数
,则下列命题中正确命题的个数是
（ ）
①函数
在
上为周期函数
②函数
在区间
,
上单调递增
③函数
在
（
）取到最大值
,且无最小值
④若方程
（
）有且仅有两个不同的实根,则
A．个
B．
个
C．个
D．
个
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数
，把函数
的零点从小到大
的顺序排成一列，依次为
，则
与
大小关系为
A．
B．
C．
D．无法确定
题型5 放大镜函数型
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨
析：
5
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1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
1．（24-25 高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知
的定义域为
，则关
于
的方程
的实数根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（24-25 高三上·上海·期中）对于函数
，有下列四个命题
①任取
，
，都有
；
②
（
为正整数），对一切
恒成立；
③若关于
的方程
有且只有两个不同的实根
，
，则
；
④函数
有5 个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在
上的连续函数
，满足
，则方程
的解的个数为（ ）
A．13
B．14
C．20
D．21
4．（22-23 高三上·湖北·开学考试）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.若对
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 函数型“两边夹”
6
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有
，则称
函数型“两边夹”。
类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。
1．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）已知任意正实数
满足
，则下
列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广西·一模）已知函数
满足：（1）对任意
，都有
；（2）对任意
，都有
．则
的值是（ ）．
A．324
B．336
C．348
D．360
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1364
B．1363
C．1264
D．1263
4．（2025·湖南长沙·三模）设函数
的定义域为
，若
，且对任意
，满足
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 中心与轴：左右平移型
图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移
(1)平移变换：上加下减，左加右减
(2)对称变换
①y＝f(x) ――――――――→y＝－
f ( x ) ；
②y＝f(x) ―――――――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x) ―――――――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1) ――――――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠1)
．
⑤y＝f(x) ――――――――――――――――→y＝| f ( x )| .
⑥y＝f(x) ――――――――――→y＝f (| x |) ．
1．（2025 高二下·山东青岛·竞赛）已知
是定义在
上不恒为
的函数，
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
为奇函数，
为偶函数.若
，则
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若函数
与
都是奇函数，且
，则
（ ）
A．-3
B．3
C．-6
D．6
题型8 中心与轴：和定为轴型
1．（24-25 高二下·安徽六安·期末）设函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的根的个数为（ ）
A．9
B．10
C．17
D．12
8
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3．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
4．（24-25 高三上·内蒙古包头·期末）定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
.则方程
所有的根之和为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
题型9 中心与轴：“中点坐标重心偏移”型
中心对称：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
函数变换，又叫原点变换：
中点中心偏移型解不等式求参：
1. 函数有对称中心；
2. 函数有单调性
1．（24-25 高三上·河北·期末）已知函数
，若
，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一上·安徽黄山·期末）已知函数
，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三上·全国·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且在
上单
调递减，若对任意的
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一上·江西·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，且
为奇函数．若实数t
满足不等式
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 中心与轴：存在对称点型
两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求
解，具有综合性，难度较大．
1．（24-25 高一上·江苏·期中）对于函数
，若存在
，使
，则称点
与
点
是函数
的一对“隐对称点”.若函数
的图象存在三对“隐对称点”，
则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（19-20 高二下·河南濮阳·期末）对于函数
与
，若存在
，使
，则称
，
是函数
与
图象的一对“隐对称点”.已知函数
，
，函数
与
的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2017·陕西渭南·二模）若函数
的图象上存在两个点
关于原点对称，则对称点
为
的
“孪生点对”，点对
与
可看作同一个“孪生点对”，若函数
恰好
有两个“孪生点对”，则实数
的值为
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高三上·广东汕头·期中）对于函数
与
，若存在
，使
，则称
，
是
与
图象的一对“隐对称点”．已知函数
，
，函数
与
的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数
的取值范围为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
题型11 双函数：基础型
“双函数”
双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。
双函数实战思维：
1.双函数各自自身对称性
2.形如
。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。
3.形如
，与
，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函
数，再借助函数性质得到图像特征。
1．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R 的函数
，
满足
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
2．（24-25 高三上·广东汕头·期中）定义在
上的函数
满足
且
，函
数
为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．
的图象关于
对称
B．
的图象关于
对称
C．4 是
的一个周期
D．
3．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为
，
是奇函数，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
D．
4．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
的定义域均为
是奇函数，且
11
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的图象关于
对称，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．
D．
题型12 双函数：中心与轴互相“传递”
双函数性质：
1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质
2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系
传递中心，对称轴，与周期
若函数
关于
轴对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
轴对称，关于
轴对称，则函数
的周期为
，
若函数
关于
中心对称，关于
中心对称，则函数
的周期为
.
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
，且
的图象关于直线
对称，则以下说法不正确
的是（ ）
A．
和
均为奇函数
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，
的图象关于直线
对称，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．3
C．4
D．2025
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
4．（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知函数
的定义域均为R，且满足
则
（ ）
A．
3180
B．795
C．1590
D．
1590
12
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题型13 双函数：导数型传递
1．（2023·安徽宣城·二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
为奇函数，
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．670
B．672
C．674
D．676
2．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，
的定义域为
，
是
的导数，且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．80
B．75
C．70
D．65
3．（24-25 高二上·安徽阜阳·期末）已知函数
是定义域为R 的可导函数，
（
为函
数
的导函数），若
为奇函数，且
，
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
4．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，
若
，
，且
，则
（ ）
A．50
B．51
C．100
D．101
题型14 超难压轴小题综合
1．（24-25 高一上·辽宁大连·期末）已知函数
关于点
对称，其反函数为
，若
与
的图象关于点
对称，则关于x 的不等式
的解集为 .
2．（2024 高一下·海南海口·竞赛）已知f（x）是定义在R 上的奇函数，
且对任意
均有
则
3．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数
，则满足
13
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的x 的取值范围是 ．
4．（24-25 高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数
，则
的最小值是 .
结束
14
