文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3-1 任意角
弧度制、三角函数的概念
和
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
3-1 任意角和弧度制、三角函数的概念..........................................................................................................1
一、主干知识..................................................................................................................................................... 1
考点1：角的概念.....................................................................................................................................1
考点2：弧度制的定义和公式..............................................................................................................2
考点3：任意角的三角函数...................................................................................................................2
二、分类题型..................................................................................................................................................... 3
题型一 角及其表示.................................................................................................................................3
题型二 弧度制及其应用........................................................................................................................4
题型三 三角函数的概念........................................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................8
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
、
一
主干知识
考点1：角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α 的相反
角记为－α.
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
k∈Z}．
考点2：弧度制的定义
公式
和
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．
(2)公式：
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝r α ，扇形的面积为S＝
lr＝
r2α．
考点3：任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数
1.定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝
．
2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是
原点，正切线的起点都是（1，0）．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝
(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
、分
题
二
类
型
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题
型一角及其表示
【例题精析1】
已知集合
第一象限的角，
锐角，
小于
的角，下列四个命题：
①
；②
；③
；④
其中正确命题的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
下列各角中，与
角终边相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析3】
下列命题中，正确的是（ ）
A．终边相同的角是相等的角
B．终边在第二象限的角是钝角
C．若角
的终边在第一象限，则
的终边也一定在第一象限
D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的
所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα 或的范围，然后根据k 的可能取值确定kα 或的终边所在位置．
【对点精练1】
下列与
终边相同角的集合中正确的是（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【对点精练2】
下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．终边相同角一定相等
C．小于90°的角一定是锐角
D．钝角的终边在第二象限
【对点精练3】
若
，且
，则角
是第（ ）象限角．
A．二
B．三
C．一或三
D．二或四
【对点精练4】
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包
括边界，如图).
题
型二弧度制及其应用
【例题精析4】
化为角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析5】
勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆
弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为
（ ）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【例题精析6】
已知扇形的面积为
，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为____________cm．
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【对点精练5】
已知圆锥侧面展开图的圆心角为
，底面周长为
，则这个圆锥的体积为___________．
【对点精练6】
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中记载“今有曲池，上中周二丈，外
周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈.问积几何？”大致是“今有上下底面
皆为扇环形的水池，（如图），上底内弧长2 丈，外弧长4 丈，宽1 丈，下底内弧长1 丈4 尺，外弧长2 丈
4 尺宽5 尺，深1 丈.则它的容积为____________立方尺.（1 丈=10 尺，
取3）
【对点精练7】
（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界
上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建
筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，
所
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在圆的圆心O 在线段AB 上，若
，
，则扇形OAC 的面积为___．
【对点精练8】
已知一扇形的圆心角为
，周长为
，面积为，弧长为,所在圆的半径为．
(1)若
，
，求扇形的弧长；
(2)若
，
，求扇形的半径和圆心角．
题
三
型
三角函数的概念
【例题精析7】
已知角
的终边经过点
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析8】
已知
是第二象限角，则点
在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例题精析9】
已知
，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角
、
是第一象限角，则
B．若角
、
是第二象限角，则
C．若角
、
是第三象限角，则
D．若角
、
是第四象限角，则
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标可求α 的三角函数值；已知角α 的三
角函数值，也可以求出角α 终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限
的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【对点精练9】
已知角α 的终边上一点
，且
，则m 等于（ ）
A．
B．3
C．-3
D．
【对点精练10】
若
，
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【对点精练11】
已知角
的终边在直线
上，且
，则
_____.
【对点精练12】
若点
在第一象限，则在
内
的取值范围是________．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图，
是以
为圆心，
为半径的圆弧，
是
的中点，
在
上，
．“会圆
术”给出
的弧长的近似值的计算公式：
．当
，
时，
A．
B．
C．
D．
2．（2023•重庆模拟）中国折扇有着深厚的文化底蕴．用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所
示，在设计折扇的圆心角
时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为
分割出来的扇形，使扇形的面积
与
圆的面积的乘积等于剩余面积
的平方．则扇形的圆心角
为
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
3．（2022 秋•襄都区校级期末）如图是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几
何图形，设弧
长度是
，弧
长度是
，几何图形
面积为
，扇形
面积为
，若
，
则
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（2022 秋•新疆期末）如图是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色
社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧
的长度是
，弧
的长度是
，几何图形
面积为
，扇形
面积为
，若
，则
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．3
B．4
C．6
D．8
5．（2022 秋•雁峰区校级期末）与
角终边相同的角是
A．
B．
C．
D．
6．（2022 秋•西城区校级期末）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下
周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30 步，直径16 步，问面积是多
少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是
A．
B．
C．
D．120
7．（2022 春•富平县期末）与
终边相同的角是
A．
B．
C．
D．
8．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点
的坐标为
，则点
位于第 象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
9．（2022 秋•酒泉期末）
A．
B．
C．
D．
10．（2022 秋•南关区校级期末）已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
A．1
B．
C．2
D．
11．（2023 春•仁寿县期中）已知一个扇形的圆心角为
，所对的弧长为
，则该扇形的面积为
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
12．（2022 秋•双流区校级期末）已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为
，则该扇形的周
长为
A．
B．
C．
D．
13．（2022 秋•荔湾区校级期末）若角
与角
的终边关于
轴对称，则必有
A．
B．
C．
D．
14．（2022 秋•建华区校级期末）已知一个扇形的面积为
，半径为2，则其圆心角为
A．
B．
C．
D．
15．（2022 秋•温州期末）设扇形的周长为
，面积为
，则扇形的圆心角的弧度数是
A．1
B．2
C．3
D．4
1．（2022 春•萍乡期中）下列说法错误的是
A．
是第三象限角
B．
C．第一象限角为锐角
D．函数
的最小正周期为2
2．（2021 秋•阿拉善左旗校级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给
出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
弧田（如图）是由圆弧及其所对的弦所围
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
，半径
等于
的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
A．
B．
C．
D．
3．（2021 秋•虎林市校级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用的经验公式：弧田面积
（弦
矢
矢
．弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公
式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
，半径等于
的弧田，按照上述的经验公式计算所得弧田面积是
．
4．（2023 春•普陀区校级期中）已知点
在角
的终边上，则
．
5．（2022 秋•沧州期末）在直角坐标系中，
是原点，
，
，将点
绕
逆时针旋转
到
点，
则
点坐标为 ．
6．（2022 秋•西城区校级月考）若角
的终边经过点
，则
，
．
7．（2022 秋•常熟市校级月考）已知点
是角
终边上一点，则
的值为 ．
8．（2021 秋•秀英区校级期末）已知角
终边上一点
与点
关于
轴对称，角
的终边上一点
与点
关于原点
中心对称，则
．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2011•荔湾区校级三模）如图，
是半圆
的直径，点
在半圆上，
于点
，且
，设
，则，
．
2 ．（2012• 吉林模拟）若
，则定义
为曲线
，
的
线．已知
，
，
，
，
，
，则
，
的
线为 ．
14
