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专题08 解三角形(练习)
一、填空题
1．在
中，
，其面积为
，则边
.
【答案】10
【分析】由三角形的面积公式求解．
【解析】由
，得
，
得
，
故答案为：10
2．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，
，则
.
【答案】
【分析】由余弦定理可得答案.
【解析】
，
，
故答案为：
3．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则
．
【答案】
【分析】直接由平方关系以及正弦定理即可求解.
【解析】
中，由
，
，
,
可得
，
，
又
，故由正弦定理得，
．
故答案为：
.
1
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4．如图A，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C，测得
，则
A，B 两点间的距离为 米．
【答案】
【分析】求出
，结合正弦定理即可求解.
【解析】由题意
，
由正弦定理得
，
故
，故A，B 两点间的距离为
．
故答案为：
.
5．已知
中，
，则AB 中线CM 长等于 .
【答案】
/
【分析】利用两次余弦定理计算即可求解.
【解析】由题意知，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
2
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6．在
中，内角
所对的边分别是
，若
，则
的值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理可得答案.
【解析】若
，则
，
可得
，
由余弦定理得
.
故答案为：
.
7．已知函数
的部分图象如图所示.若在
中，
，则
面积的最大值为 .
【答案】
/
【分析】先由图象依次求解
的值，由
，代入
解析式求
，在
中，设三边
，由已知对边角
，利用余弦定理与重要不等式求
最大值，从而得面积的最大值.
【解析】由图象可得
，解得
，
3
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所以
，由
，
由图
，
即
，
由
，得
.
故
，
在
中，
，
，即
，
设角
的对边为
，由
，
则
，
，当且仅当
时等号成立.
，
所以
面积最大值为
.
故答案为：
.
8．在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，
，则
的值是 ．
【答案】3
【分析】依次由正弦定理、余弦定理边角互换得条件等式
，代入所求式子即可求解.
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
.
4
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故答案为：3.
9．在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
周长的最大值为 .
【答案】
【分析】先由已知条件结合正弦定理得到
，然后证明
，最后说明当
时
，即可得到
周长的最大值为
.
【解析】由已知有
，
结合正弦定理就有
，故
.
从而
，
故
，从而
，由
知
.
而当
时，
满足全部条件，此时
.
所以
周长的最大值为
.
10．已知点O，A，B，C 均在同一平面内，
，
，
，当
取最大值时，
．
【答案】
【分析】根据向量运算得出边长，再应用余弦定理结合基本不等式即可求出边长.
【解析】因为
，
,
所以
,
在
中，设
，
所以
,
当余弦值最小时，
最大，
当且仅当
，即
，
最大，
5
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所以
满足条件.
故答案为：√2.
11．在
中，
，
的对应边分别为
，
，且
，
，
，那么满足条件的三角形
的个数有 个．
【答案】0
【分析】根据余弦定理及一元二次方程的判别式求解即可．
【解析】由余弦定理可得
，
即
，则
，
所以方程无实数根，即满足条件的三角形的个数有0 个．
故答案为：0．
12．
为锐角三角形，其三个内角
的对边分别为
，且
，则
周长的取值
范围为 .
【答案】
【分析】借助正弦定理结合所给条件可将周长用
表示，结合锐角三角形的性质可得
的范围，即可得解.
【解析】由正弦定理
可得
，
则
，
，
则
周长为
，
6
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由
为锐角三角形，则
，解得
，
故
，则
，
即
周长的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理结合所给条件将边用角表示出来后，可用
表示周长，
从而可由
的取值范围得到周长的取值范围.
13．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得
，再根据正弦定理化简
，结合三
角函数值与角度范围的关系求解即可.
【解析】由正弦定理结合
，得
，
则
，即
，
故
，则
，故
，解得
.
由正弦定理
，有
，
故
7
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，
设
，且
，则
.
又
，故
，且
，故
.
故
，即
，
故
，则
的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理进行边换角，然后再结合辅助角公式和正弦型函数的最
值即可.
14．在边长为1 的正六边形
中，记以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，
，
，
，
，以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，
，
，
，
.记
，
为
的两个三元子集，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征
求出
的最大值；由数量积概念可知对于
，当
与
8
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达到最大时
与
此时方向相反，故此时
达到最小值.
【解析】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知：
当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大.
所以由正六边形结构特征可知
的最大值为
，
连接正六边形
交
于点
，
则由正六边形结构特征可知
为正三角形，
为其
边上的中线，
且由正六边形结构特征
，
，
，
所以由题意以及余弦定理得：
，
即
，
所以
，
，
，
所以
，
故由向量加法法则
；
所以当
时，
最大，
同理
时，
最大，
与
此时方向相反，
故此时
达到最小值为
.
9
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故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确
的最大值为
和
的最
大值为
.
二、单选题
15．在
中，
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式，结合余弦定理化简即可得解.
【解析】在
中，
，则
，
由余弦定理得
，整理得
，则
，
所以
是直角三角形.
故选：B
16．已知
，
，且
、
不共线，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可
得答案.
【解析】设
与
的夹角为
，由
，则
，
由
，则
.
10
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故选：B.
17．对于
，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若
，则
为等腰
三角形；②若
，则
；③若
，
，
，则符合条件的
有两个：④若
，则
是钝角三角形．其中正确的个数是（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公
式和余弦函数相关知识判断④.
【解析】对于①，若
，由
单调递减可知，
，则
为等腰三角形，
故①正确；
对于②，若
，则
，由正弦定理
可知
，故②正确；
对于③，若
，
，
，由余弦定理得，
，
则
，
所以符合条件的
有一个，故③错误；
对于④，若
，则
，
所以
，因为
，所以
，所以
是钝角三角形，故④正确.
综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3.
故选：C
18．在
中，
，点
满足
，若
，其
中
，动点
的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点
坐标，根据向量线性
运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.
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【解析】根据题意，不妨过点
作AB的垂线，垂足为
，
以
为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：
根据题意，可得坐标如下：
，
设点
的坐标为
，由
可得：
，
故可得
.则点
坐标为
.
设点
的坐标为
，由
，
由向量的线性运算性质可知，点
的轨迹是：
以
为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.
故可得
，
故可得
,则
.
则以
为一组邻边的平行四边形的面积
12
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.
故选：
.
【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本
题中，也可以通过几何方法确定点
的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.
三、解答题
19．在
中，点D 在
上，
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理依次求得
，从而得解；
（2）利用向量的线性运算与数量积的运算法则即可得解.
【解析】（1）在
中，
，
，则
，
所以
，所以
，
又
，则
.
（2）因为
，则
，
13
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所以
，
又
，
所以
，
则
.
20．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若
，点D 是线段AC 上的一点，且
，
．求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到
，结合内角范围即得；
（2）由等面积和余弦定理联立,求出
即得三角形的周长.
【解析】（1）由
和正弦定理，
(*)，
因
,
代入(*)化简得，
,即
，
因
，故得
，因
,则
.
（2）由题意知，
是
的平分线.由
可得，
，化简得，
①
又由余弦定理，
，即
②，
14
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将①代入②可得，
，解得
，（
舍去），
故
的周长为
.
21．已知锐角ABC 的三个内角A，B，C 所对的边为a，b，c，
．
(1)求角B 的大小；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B.
（2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得.
【解析】（1）在锐角
中，
，则
，
，
于是
，即
，而
，则
，
所以
.
（2）由（1）知，
，由
，得
，
由正弦定理得
，
而
，则
，
，
所以
的取值范围是
.
22．在
中，角
所对的边分别记作
已知
的周长为
，且有
．
(1)求
的面积；
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(2)设
内心为
，外心为O，
，求外接圆半径．
注：在
中，有
，其中r 和R 分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案；
（2）首先由等面积法可得内接圆的半径
，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得
外
接圆半径为R.
【解析】（1）可知
，即
，解得
．
（2）可知内接圆的半径
．
连接IB、OB，设
，则
．
不妨设外接圆半径为R，则
．
由角度关系，
，
因此代入有
，
整理：
．
右式
由于
，因此
，解得
．
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23．某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），它们相距
海里.现有一艘轮船在
点
发出求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东
，
点北偏西
，这时，位于
点南偏西
且与
点相距
海里的
点有一救援船，其航行速速为
海里/小时.
(1)求
点到
点的距离
；
(2)若命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2 小时
【分析】（1）在
中利用正弦定理，求出
；
（2）在
中，利用余弦定理求出
，根据速度求出时间．
【解析】（1）由题意知
海里，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
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，
（海里）.
（2）在
中，
，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间
（小时）．
答：救援船到达
点需要2 小时．
24．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，D 为△ABC 外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.
(1)求
的值；
(2)若△ABD 的面积为
，△BCD 的面积为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；
（2）根据题意，由（1）知
，求出
取得最大值，最大值为
.
【解析】（1）在
中，由余弦定理，得
，
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在
中，由余弦定理，得
，
所以
，
所以
，
.
（2）由题意知
，
，
所以
，
由（1）知，
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最大值，最大值为
.
25．在
中，内角A，B，C 对应的三边分别为a，b，c，且
.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若点D 在线段CB 上，
于点E，且
，当
最大时，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开化简即可得
，再根据C 的范围则得到
，再
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利用余弦定理得到关于a 的方程，解出后结合三角形面积公式即可得到三角形面积；
（2）设
，
，通过正切定义和
得
，再利用两角和与差的正切
公式和基本不等式即可求出
的最大值，最后利用两角和与差的余弦公式计算即可．
【解析】（1）因为
的内角为A，B，C，所以
,
由
，结合正弦定理，得
，
所以
，
，
所以
,
因为
，所以
，所以
,
因为
，所以
,
因为
，所以
,
由余弦定理，得
，
所以
，解得
或
（不合题意，舍去），
所以
，
，
的面积
.
（2）
如图，设
，
，
则在
和
中，
，
所以
,
20
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又
，所以
,
因为
，所以
当且仅
当
，即
时，取等号，
所以
的最大值为
,
由于正切函数在
上是增函数，所以当
最大时，角
最大，
故当
，
时，
最大，此时
，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换的化简应用，解题的关键在于表示出
和
的关
系，进而将
消元，再利用基本不等式求出最值.
26．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643 年提出的平面几何极值问题：
“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费
马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，则使得
的点M 即为费马点，在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.若M 是
的“费马点”，
，
.
(1)求角A；
(2)若
，求bc 的值；
(3)在（2）的条件下，设
，若当
时，不等式
恒成立，
求实数n 的取值范围.
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【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到；
（2）设
利用向量数量积定义式和等面积计算即得；
（3）利用余弦定理，推理求出
，将
恒成立转化为
在[1,2]上恒成立问题，
求出
在[1,2]上的最小值即得.
【解析】（1）由
可得，
，
由正弦定理，
，即
，
因
代入可得：
，
因
，则
，故
，得
；
（2）设
则由
可得，
，整理得，
①，
又由
可得，
，
整理得，
；
（3）在
中，由余弦定理，
，即
②
分别在
中，由余弦定理，
，
将三个等式左右分别相加，
，
22
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将①，②代入整理得，
，于是
，
从而，
，
依题意，当
时，不等式
恒成立，即
在[1,2]上恒成立，
因
，当且仅当
时等号成立，
故有
，即实数n 的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到
，求得
的值；
多次利用余弦定理推理得到
，从而求得
，将不等式恒成立问题转化为求相关函
数的最值问题.
23
