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第 12 讲 平面解析几何 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解....................................................................1
题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率）............................1
题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直）.........................2
题型三：直线与方程（直线方程）...............................................3
题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离）.........................4
题型五：圆与方程（圆的方程）...................................................4
题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系）................................5
题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系）....................................5
题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程）............................6
题型十：圆锥曲线（离心率）.......................................................7
题型十一：圆锥曲线（中点弦问题）............................................8
题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题）............................9
题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题）.......................10
题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题）.......................11
题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题）...................13
题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题）.......................14
题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题）.................16
第二部分：新定义题..........................................................................17
第一部分：典型例题讲解
题型一：直线与方程（直线的倾斜角与斜率）
1．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知动点 与两个定点 的距离之比
为2，那么直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若直线 ： 与直线 相交，且交点
在第一象限，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：直线与方程（两条直线的平行与垂直）
1．（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，则 与 的距离为
D．若 ，则
2．（2024高二·全国·专题练习）判断下列直线 与 是否垂直：
(1) 的倾斜角为 ， 经过 ， 两点；
(2) 的斜率为 ， 经过 ， 两点；
(3) 的斜率为 ， 的倾斜角为 ， 为锐角，且 ；
(4) 经过点 和 ， 经过点 和 ．3．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线 ，直线
．
(1)若 ，求 ， 之间的距离；
(2)若 ，求 ， 及 轴围成的三角形的面积．
题型三：直线与方程（直线方程）
1．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为
零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 的三个顶点分别为 ，
则边 的垂直平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线 过定点 ，且其倾斜角是直线
的倾斜角的二倍，求直线 的方程；
（2）已知入射光线经过点 ，且被直线 反射，反射光线经过点
，求反射光线所在直线的方程.题型四：直线与方程（直线的交点坐标与距离）
1．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点 到直线
的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别
为（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点 ，经倾斜角为 的且
过 的直线 反射后过点 ，则反射后的光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点 和直线 ，
则点 到直线 的距离的取值范围是 .
4．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线 与直线
相交于点 ，则 到直线 的距离 的取值范围是 .
题型五：圆与方程（圆的方程）
1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆 经过 两点，且圆心 在
直线 ，则圆 的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与横，纵坐标轴均相切，且圆 的圆心在直线
上，则圆 的方程为 ．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线 经过 两点，则圆心 在直
线 上，且过 和 两点的圆 的标准方程为 ．
题型六：圆与方程（直线与圆的位置关系）
1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线 ，则 的最大
值，最小值分别为（ ）
A． ＋2， －2 B． ＋2，
C． ， －2 D． ，
2．（多选）（24-25高三上·海南·开学考试）已知线段 是圆 的一
条动弦， 为弦 的中点， ，直线 与直线
相交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A．弦 的中点轨迹是圆
B．直线 的交点 在定圆 上
C．线段 的最小值为
D． 的最大值为
3．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）曲线 与直线
仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ．
题型七：圆与方程（圆与圆的位置关系）
1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关
系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含2．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）若圆 与圆
相内切，则 .
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 和圆
存在公共点，写出 的一个取值为 ．
题型八：圆锥曲线（根据定义求轨迹方程）
1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点 到点 的距离比它到直线 的距
离小1，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点 为圆 上任意一点，点
，线段 的中垂线交 于点 ，求动点 的轨迹方程．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆 与直线 恒过同一定点 ，且
与圆 外切，求动圆圆心 的轨迹方程.
题型九：圆锥曲线（求圆锥曲线的标准方程）
1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；(2)经过点 .
2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1) ，焦点是 ， 的双曲线；
(2)离心率为 ，短轴长为6的椭圆.
3．（23-24高二上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在直线 上．
题型十：圆锥曲线（离心率）
1．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆 的左、右焦点分别为
，点 在 上（ 位于第一象限），且点 关于原点 对称，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点
为 ， 为渐近线上一动点，且 在第一象限内， 为坐标原点，当 最大时，
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 与双曲线
共焦点， 分别为左、右焦点，点 为 与 的一个交点，
且 ，设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆 的右焦点和上顶
点分别为F和A，连接 并延长交椭圆C于B，若 ，则椭圆C的离心率为
．
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，点 是 上的一点，直线 的方程为 ，且 于 ．若四边形
为平行四边形，求 的离心率的取值范围．
题型十一：圆锥曲线（中点弦问题）
1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知 是直线l被椭圆 所截得的线段
AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线 交于A、B两点，
且弦 的中点为 ，则直线l的方程为 ．3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C： ．
(1)若直线 与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点 对称，求直线l的方程．
4．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线 的焦点为 ，点 在
上， ，已知 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程.
5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知动点 到点 （ 为常数且 ）的距离与到
直线 的距离相等，且点 在动点 的轨迹上．
（1）求动点 的轨迹 的方程，并求t的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹 交于 两点，点 是线段 的中点，
求直线 的方程．题型十二：圆锥曲线（焦点三角形中的问题）
1．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆 的长轴端点分别
为 ，两个焦点分别为 是 上任意一点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 的周长为
C． 面积的最大值为
D．
2．（多选）（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为
， 为椭圆 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周长为8 B．存在点 ，使得
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
3．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线 与双曲线 交于
两点，点 位于第一象限，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 为双曲线的左焦点，则
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的面积为4
C．
D． 的最小值为4
4．（多选）（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，实轴的左、右端点分别为 ， ，虚轴的上、下端点分别为 ， ，斜率为的直线 经过 且与 的左支交于两个不同的点， 为 上一点，且 ，则
（ ）
A． B．四边形 的周长小于24
C． D． 的面积为
题型十三：圆锥曲线（圆锥曲线中的定点问题）
1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C： 的左、右焦点分别
为 ，点 是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点 关于x轴的对称点为点
.当直线 过左焦点 时， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆交于另外一点 （点 和点 不重合），证明直线 过定点.
2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ，
过 作直线 与 交于 两点， （ ）．
(1)当 时，求 的值；
(2)是否存在异于点 的定点 使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线 ，焦点为 ，点 在
上，直线 ∶ 与 相交于 两点，过 分别向 的准线 作垂线，垂足分别为 .
(1)设 的面积分别为 ，求证： ；
(2)若直线 ， 分别与 相交于 ，试证明以 为直径的圆过定点 ，并求出点
的坐标.
题型十四：圆锥曲线（圆锥曲线中的定值问题）
1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ＋y2＝1，P是椭圆C上异于M，N(M，N
在椭圆上关于y轴对称)的任意一点，且直线MP，NP分别与y轴交于点S，R，O为坐标原
点，求证：OR·OS为定值．
2．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的
左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从
下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；
② 为定值；
③ 为定值3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 的焦点，纵坐标为
2的点 在 上，以 为圆心、 为半径的圆交 轴于 ， ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 作直线 与抛物线 交于 ， ，求 的值.
题型十五：圆锥曲线（圆锥曲线中的定直线问题）
1．（23-24高三下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆 ．如图所
示，斜率为 且过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，
射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 在射线 上，且 ，求证：点 在定直线上．2．（23-24高三·云南·阶段练习）已知双曲线 ： 的离心率为2，F
为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过F且不与渐近线平行的直线 （斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，
记双曲线C在点M，N处的切线分别为 ， ，点 为直线 与直线 的交点，试判断点
是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方
程为 ，则该双曲线在点 处的切线方程为 ）
3．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知抛物线 的焦点到准线的距离为
2，直线 交抛物线于 ， 两点.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，点 为直线 ， 的交点.
（i）求证：点 在一条定直线上；
（ii）求 面积的取值范围.题型十六：圆锥曲线（圆锥曲线中的向量问题）
1．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆 过点
，且离心率 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线 与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点 ，且满足 ，
求直线 的方程．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知常数 ，向量 ， ，经过定点
且以 为方向向量的直线与经过定点 且以 为方向向量的直线交
于点 ，其中 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ，过 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的取值范围.3．（2024·湖南·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 作两条关于直线
对称的直线分别交 于 两点．
(1)判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
(2)若 三点在抛物线 上，且满足 ，证明
三个顶点的横坐标均小于2．
题型十七：圆锥曲线（圆锥曲线中的最值、范围问题）
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线 （斜率为正数）与 由左至右交于 、 两点，连接 并延长交 于点 ．
(1)证明： ；
(2)当 的内切圆半径 时，求 的取值范围．2．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系 中，等轴双曲线 和 的中心均为O，
焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2， 的右焦点F到 的渐近线的距离为2．
(1)求 ， 的方程；
(2)过F的直线交 于A，B两点，交 于D，E两点， 与 的方向相同．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点 与定点 的距离和 到定直线
的距离的比是常数 ，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过原点 的直线交 于 两点，过 作直线 的垂线交 于点 （异于点 ），直
线 与 轴， 轴分别交于点 .设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（ⅰ）证明： 为定值；
（ⅱ）求四边形 面积的最大值.第二部分：新定义题
1．（23-24高二上·上海宝山）已知椭圆 的焦点和上顶点分别为
，定义： 为椭圆 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似
三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似
比，已知点 是椭圆 的一个焦点，且 上任意一点到它的两焦点的距
离之和为4
（1）若椭圆 与椭圆 相似，且 与 的相似比为2：1，求椭圆 的方程.
（2）已知点 是椭圆 上的任意一点，若点 是直线 与抛物线
异于原点的交点，证明：点 一定在双曲线 上.
（3）已知直线 ，与椭圆 相似且短半轴长为 的椭圆为 ，是否存在正方形
，（设其面积为 ），使得 在直线 上， 在曲线 上？若存在，求出函数
的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
2．（23-24高三上·上海徐汇）给定椭圆 ，称圆心在坐标原点
O，半径为 的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
（1）若椭圆C上一动点 满足 ，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点 作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为 ，求P点的坐标；
（3）已知 ，是否存在a，b，使椭圆C的
“伴随圆”上的点到过两点 的直线的最短距离 .若存
在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
