102.概率统计中决策应用问题的五大类型
一．基本原理
考点1.数字特征的主要性质：
1.主要分布的期望（方差公式）
如果
，那么
)
,
(
~
p
n
B
X
)
1(
)
(
,
)
(
p
np
X
D
np
X
E
如果
，那么
)
,
(
~
2
N
X
2
)
(
,
)
(
X
D
X
E
2.
，
.
b
X
aE
b
aX
E
)
(
)
(
)
(
)
(
2
X
D
a
b
aX
D
3.数字特征的含义：反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值的离散
程度，方差越小，随机变量取值越集中，反之亦然.
考点2.期望与方程做决策的理论依据
数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附
近的离散程度．
（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量
的期望，当
时，
1
2
,
1
2
E
E
不应认为它们一定一样好，还需要用
来比较这两个随机变量的方差，确定它们的
1
2
,
D
D
偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
4.题干定义的判据
这种问题，题干会给出一个具体的判别式子或者方法，通过运算与论证几何题干给的标准
判断，具体见例子.
二．典例分析
类型1.依托数学期望做决策
类型2.依托方差做决策
类型3.利用概率的最值来做决策
类型4.构造决策目标的随机变量来进行决策
类型5.依托某个具体问题判定
类型1.依托具体问题做决策应用
例1．2023 年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者
的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20 人的该项医学指标作为
样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
，将该指标小于
的人判定为阳性，大
a
a
于或等于
的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
a
；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，用
( )
p a
( )
q a
频率估计概率．
（1）当临界值
时，求漏诊率
和误诊率
；
20
a
( )
p a
( )
q a
（2）从指标在区间
样本中随机抽取2 人，记随机变量
为未患病者的人数，求
[20,25]
X
X
的分布列和数学期望；
（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记
为该地诊断结果不符合真实情况
( )
f a
的
解析：（1）由频率分布直方图可知
，
．
(20)
0.02 5
0.1
p
(20)
0.01 5
0.05
q
（2）样本中患病者在指标为区间
的人数是
，未患病者在指标为区间
[20,25]
20 0.02 5
2
的人数是
，总人数为5 人．
可能的取值为0，1，2．
[20,25]
20 0.03 5
3
X
，
，
．随机变量
的分布列为
2
0
2
3
2
5
C C
1
(
0)
10
C
P X
1
1
2
3
2
5
C C
3
(
1)
C
5
P X
0
2
2
3
2
5
C C
3
(
2)
10
C
P X
X
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
随机变量
的期望为
．
X
1
3
3
6
(
)
0
1
2
10
5
10
5
E X
（3）由题，
，
时，令
95%
5%
f a
q a
p a
[20,25]
a
20,
0,1,2,3,4,5
a
t
t
5
0.01 0.03
,
5
0.02
0.02
5
5
t
t
q a
p a
所以
，关于的一次函数系
5
0.01
0.03
95%
5
0.02
0.02
5%
5
5
t
t
f a
g t
t
数为
，故
单调递增，则
即
时
取最小值
5 0.03 19%
0.02 1%
0
g t
0
t
20
a
( )
f a
例2．近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥
领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯
片生产商用某国产光刻机生产的
型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种
Q
芯片的某项指标的频率分布如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A 型手
c
c
机，小于或等于的产品应用于
型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率
c
B
作为相应事件发生的概率．
（1）求
型芯片Ⅰ级品该项指标的第70 百分位数；
Q
（2）当临界值
时，求
型芯片Ⅱ级品应用于A 型手机的概率；
65
c
Q
（3）已知
，现有足够多的
型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型于机、
50,60
c
Q
B
型手机各1 万部的生产：
方案一：直接将
型芯片Ⅰ级品应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导
Q
c
致芯片生产商每部手机损失700 元；直接将
型芯片Ⅱ级品应用于
型手机，其中该指标
Q
B
大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300 元；
c
方案二：重新检测
型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要
Q
101 万元；请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
解析：（1）设
型芯片Ⅰ级品该项指标的第70 百分位数为
，则该指标在80 以下的榞率
Q
a
为0.55，该指标在90 以下的概率为0.8，因此该项指标的第70 百分位数为
一定在
a
内，
80,90
，得
，所以
型芯
0.002 10
0.005 10
0.023 10
0.025 10
0.025
80
0.7
a
86
a
Q
片Ⅰ级品该项指标的第70 百分位数为86；
（2）当临界值
时，
型芯片Ⅱ级品应用于A 型手机的概率为
；
65
c
Q
0.01
70
65
0.05
（3）设直接将
型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品应用于A 型、
型手机时，该生产商支出为
（万
Q
B
y
元）
700
0.002 10
0.005
50
300
0.01 10
0.03
60
y
c
c
409
5.5c
，所以当
时，
，当
时，
，当
时，
50,60
c
50
56
c
101
y
56
c
101
y
56
60
c
，
101
y
综上：为降低芯片生产商的成本，当临界值
时，选择方案二；当临界值
50,56
c
56
c
时，选择方案一和方案二均可；当临界值
时，选择方案一．
56,60
c
类型2.依托期望做决策应用
例3．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的三个外观相同的空箱子中随机选择一
1,2,3
个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人
请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到
元奖金；若金蛋不
200
在此箱子里，抽奖人得到
元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置
50
金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人。
(1)求前位抽奖人抽中金蛋人数
的分布列和方差；
3
X
(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中
打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择
后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如
何抉择呢？
解析：（1）由题意知：抽中金蛋人数
服从于二项分布，即
，即
所有可
X
1
B 3, 3
X
:
X
能的取值为
，
；
；
0,1,2,3
3
2
8
0
3
27
P X
2
1
3
1
2
12
4
1
C
3
3
27
9
P X
；
；
2
2
3
2
1
6
2
2
C
3
3
27
9
P X
3
1
1
3
3
27
P X
的分布列为：
X
X
0
1
2
3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
中奖人数的方差
.
1
2
2
3 3
3
3
D X
（2）若改变选择，记获得奖金数为
，则
可能的取值为
，则
Y
Y
0,400
，
，
改变选择时，获得奖金数的数学
2
2
400
1
3
3
P Y
1
0
1
400
3
P Y
P Y
期望
；若不改变选择，记获得奖金数为
，则
可能的取值为
1
2
800
0
400
3
3
3
E Y
Z
Z
，
50,200
则
，
，
不改变选择时，获得奖金数的数学期望
2
50
3
P Z
1
200
3
P Z
；
，
抽奖人应改变选择.
2
1
50
200
100
3
3
E Z
E Y
E Z
类型3.依托方差做决策
例4.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾
客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该
顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元，其余3 个均为10 元，求
（ⅰ）顾客所获的奖励额为60 元的概率
（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000 元，并规定袋中的4 个球只能由标有面值10 元和
50 元的两种球组成，或标有面值20 元和40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额
尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出
一个合适的设计，并说明理由.
解析：
（1）顾客所获得的奖励额为60 元的概率为
1
2
（ⅱ）依题意，得
的所有可能取值为20，60,
，
，
X
1
(
60)
2
P X
2
3
2
4
1
(
20)
2
C
P X
C
即
的分布列为
X
X
20
60
P
0.5
0.5
所以顾客所获得奖励额的期望为
（元）
(
)
20 0.5
60 0.5
40
E X
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60 元。所以，先寻找期望为60 元的可
能方案，对于面值由10 元和50 元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因
为60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60 元；如果选择（50，50，50，10）的
方案，因为60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60 元，因此可能的方案是
（10，10，50，50），记为方案1.对于面值由20 元和40 元组成的情况，同理可排除
（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，
40），记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获的奖励额为
，则
的分布列为
1
X
1
X
1
X
20
60
100
P
1
6
2
3
1
6
的期望为
，
1
X
1
1
2
1
(
)
20
60
100
60
6
3
6
E X
的方差为
1
X
2
2
2
1
1
2
1
1600
(
)
(20
60)
(60
60)
(100
60)
6
3
6
3
D X
对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为
，则
的分布列为
2
X
2
X
2
X
40
60
80
P
1
6
2
3
1
6
的期望为
，
2
X
2
1
2
1
(
)
40
60
80
60
6
3
6
E X
的方差为
2
X
2
2
2
2
1
2
1
400
(
)
(40
60)
(60
60)
(80
60)
6
3
6
3
D X
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2 奖励额的方差比方案1 的小，所以应
该选择方案2.
类型4.利用概率的最值来做决策
例5．社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支
学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体
系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有
个孩
子（仅考虑不超过3 个孩子家庭）的概率分布列为：
1
2
3
0
概率
m
p
m
1
m
p
2
(1
)
m
p
其中
，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为
且相互独立，记A 表
0,0
1
m
p
1
2
示事件“一个家庭有个孩子
”，B 表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一
i
(
0,1,2,3)
i
个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）”
（1）若
，求
；
1
2
p
( )
P B
（2）参数
受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改
p
变参数
的值来调控未来人口结构.若希望
增大，如何调控
的值？
p
(
2)
P
p
参考公式：
1
(
)
(
)
, (
)
(
)
n
k
k
k
P MN
P M N
P M
P M N
P N
P N
∣
∣
解析：（1）由题意得：
，
2
1
1
1
(1
)
2
1
2
4
m
m
m
p
m
p
m
m
m
m
p
解得
，又
，
，
，
4
15
m
0
|
0
P B A
1
1
1
1
|
C 2
P B A
2
2
2
2
1
C
2
P B A
∣
，且
，由全概率公式，得
3
3
2
3
3
3
3
1
1
|
C
C
2
2
P B A
0
1
2
3
B
BA
BA
BA
BA
3
0
( )
i
i
i
P B
P B A P A
∣
2
3
3
2
2
3
2
3
3
1
1
1
1
C
C
C
1
2
2
2
2
m
m
m
p
p
由
，得
；
1
(1
)
2
4
2
m
m
m
p
p
1
2
p
2
5
P B
（2）由题意得：
，考虑
的变化即可，由
，得
2
P
m
m
2
1
(1
)
1
m
m
m
p
m
p
p
，设
，则
，
2
1
1
3
3
p
p
m
p
2
1
3
3,0
1
f
p
p
p
p
p
3
2
2
2
3
1
p
p
f
p
p
记
，则
，
3
2
2
3
1
g p
p
p
2
6
6
6
1
0
g
p
p
p
p p
故
在
上单调递减，
，
，
，
在
上单
g p
0,1
0
1
g
0
g p
0
f
p
f
p
0,1
调递减，因此，增加
的取值，
会减小，
会增大，即
增大.
p
1
m
m
2
P
类型5.构造决策随机变量来进行决策
这类问题中，可根据实际需求构造相关的目标随机变量，这样我们可以通过分析目标随机
变量的均值或者方差来进行决策.
例6.某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不
足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并
整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2 台机器的同时购买的易损零
X
n
件数.
（1 求
的分布列；
X
（2）若要求
，确定
的最小值；
(
)
0.5
P X
n
n
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应
19
n
20
n
选用哪个？
【解析】.（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数
为8，9，10，11 的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
04
.0
2.0
2.0
)
16
(
X
P
；
16
.0
4.0
2.0
2
)
17
(
X
P
；
24
.0
4.0
4.0
2.0
2.0
2
)
18
(
X
P
；
24
.0
2.0
4.0
2
2.0
2.0
2
)
19
(
X
P
；
2.0
2.0
2.0
4.0
2.0
2
)
20
(
X
P
；
08
.0
2.0
2.0
2
)
21
(
X
P
；
04
.0
2.0
2.0
)
22
(
X
P
.
所以X 的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
04
.0
16
.0
24
.0
24
.0
2.0
08
.0
04
.0
（2）由（Ⅰ）知
44
.0
)
18
(
X
P
，
68
.0
)
19
(
X
P
，故n 的最小值为19.
（3）记Y 表示2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当
19
n
时，
08
.0
)
500
2
200
19
(
2.0
)
500
200
19
(
68
.0
200
19
EY
4040
04
.0
)
500
3
200
19
(
.
当
20
n
时，
04
.0
)
500
2
200
20
(
08
.0
)
500
200
20
(
88
.0
200
20
EY
4080
.
可知当
19
n
时所需费用的期望值小于
20
n
时所需费用的期望值，故应选
