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2024 届大题强化训练及变式训练（13）
1．如图所示，已知圆 是 的外接圆，圆 的直径 .设 ， ， ，在下面
给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① ；
② ；
③ 的面积为 .选择条件______.
(1)求 的值；
(2)求 的周长的取值范围.
变式：已知条件：① ；② ；③
.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足：___________.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 与 的平分线交于点 ，求 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
2．如图，将边长为2的菱形 沿其对角线 对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边
所在平面的两侧，且 ， ．设E是 的中点．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值．
变式：已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且 ．现将 沿AE向上翻折，
使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥 ．
（1）若点F在线段AP上，且 平面PBC，求 的值；
（2）若 ，求锐二面角 的余弦值．
3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，随机移动 次，每次等可能地向左或向右移
动一个单位长度， 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为 .（1）若 ，求 ;
（2）若 ，求 的分布列和 的值.
变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为 ，试探讨下列问
题：
（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概
率；
（2）记 为 次游走中恰有2次向右游走的概率，令
.记 为不超过 次游走的情况下，向右游走2次后
停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到 次时也停止游走），此时一共游走的次数， 的数
学期望为 .请比较 与 的大小，并说明理由.
4．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明：．
变式：已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的零点分别为 ，且 ，证明： ．
5．已知双曲线 经过椭圆 的左、右焦点 ，设 的离心率分
别为 ，且 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为 上一点，且在第一象限内，若直线 与 交于 两点，直线 与 交于
两点，设 的中点分别为 ，记直线 的斜率为 ，当 取最小值时，求点 的坐标．变式：已知抛物线 与双曲线 相交于两点 是 的右
焦点，直线 分别交 于 两点（不同于 点），直线 分别交 轴于 两点.
（1）求 的取值范围；
（2）记 的面积为 的面积为 ，当 时，求 的值.
