文档文本内容
2024 届大题强化训练及变式训练（15）
1．为考察药物 对预防疾病 以及药物 对治疗疾病 的效果，科研团队进行了大量动物对照试
验．根据 个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
疾病
药物
患
未患病 合计
病
未服用
服用
合计
（1）依据 的独立性检验，分析药物 对预防疾病 的有效性；
（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取 只，用药物 进行治疗．已知
药物 的治愈率如下：对未服用过药物 的动物治愈率为 ，对服用过药物 的动物治愈率为 ．
若共选取 次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的 只动物中被治愈的动物个数为 ，求 的
分布列和数学期望．
附： ， .
0.05
0.100 0.010 0.001
0
3.84
2.706 6.635 10.828
1
【答案】（1）认为药物 对预防疾病 有效果；（2）分布列见解析，期望为
【分析】（1）提出零假设为 药物 对预防疾病 无效果，根据列联表计算出 的值，结合临界
值表可得出结论；（2）利用全概率公式计算出药物 的治愈率，分析可知 ，利用二项分布
列可得出随机变量 的分布列，进而可得出 的值.
【解析】（1）零假设为 药物 对预防疾病 无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物 对预防疾病 有效果．
（2）设A表示药物 的治愈率， 表示对未服用过药物 ， 表示服用过药物 ，
由题意可得 ， ，
且 ， ，
，药物 的治愈率 ，则 ，
所以 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3
P
．
变式：甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费
者，得到下表：
满
不满意
意
男 440 60
女 460 40
（1）能否有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与
数学期望.
附： ， .
0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关
（2）分布列见解析，期望
【分析】（1）先利用所给数据表完善 列联表，再利用 公式求出 ，利用临界值表进行判定；
（2）先求出不满意的概率为 ，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解
【解析】（1）补全 列联表如图所示：
满意 不满意 总计
男 440 60 500
女 460 40 500
总计 900 100 1000，
故有 的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关．
（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为 ， 的所有可能取值为0，1，
2，3，
且 ．
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．
2．已知函数 .
（1）若函数 的图象在 处的切线与x轴平行，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性.
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.
【解析】（1） .
由题意 ，解得 ，
所以 ， ，
在 处的切线方程为
（2） .
①当 时， ， 在 上单调递增.
②当 时，由 得 ， 在 上的变化情况如下表：
x
0 0
极大值 极小值
由上表可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时，增区间为 ，无减区间；
当 时，增区间为 和 ，减区间为 .
变式：已知函数 ， ．
（1）若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
（2）若直线 与 的图象相切，求a的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）记 在 上单调递减，
对 恒成立，
，而 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 .
，所以a的取值范围为
（2）设直线 与 的图象相切于 ，
，
由题意可知 ，
代入 ，
，左边式子关于 单调递减且 时，左边
3.已知数列 的前n项和为 ， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ；
【答案】（1）证明见解析； （2） ；
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合 及等比数列定义推理即得.（2）由（1）求出 ，再利用裂项相消法求和即可.
【解析】（1） ， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
则有 ，当 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得， ，则 ，数列 是等差数列，
于是 ，解得 ，则 ，
所以 的前 项和
.
变式：已知正项数列 的前n项和为 ．
（1）求数列 的前n项和 ;
（2）令 ，求 的前9项之和．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由 ，得到 ，两式相减，整理得到 ，得
到数列 是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到
，结合裂项法去和，即可求解.
【解析】（1）正项数列 的前n项和为 ，满足 ，可得
，
两式相减可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ，
所以数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列 的通项公式为 ，可得 .
（2）由（1）知 ，
可得 ，
所以 ．4．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，过 作 的
切线 ，交于点 ，且 与 轴分别交于点 .
（1）求证： ；
（2）设点 是 上异于 的一点， 到直线 的距离分别为 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线 的表达式，得出 三点的坐标，联立直线 与
抛物线方程根据韦达定理得出 ；
（2）利用点到直线距离公式可求得 ，可求出 的最小值.
【解析】（1）因为抛物线 的焦点为 ，
所以 ，即 的方程为： ，如下图所示：
设点 ，
由题意可知直线 的斜率一定存在，设 ，
联立 得 ，所以 .
由 ，得 ，
所以 ，即 .
令 ，得 ，即 ，
同理 ，且 ，
所以 .
由 ，得 ，即 .
所以 ，故 .（2）设点 ，结合（1）知 ，即
因为 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
又 ，
所以 .
当且仅当 时，等号成立；
即直线 斜率为0时， 取最小值 ；
变式：设抛物线 ，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线 垂直于x轴时，
．
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，直线 ， 分别与C交于点C，D．
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；② .
【分析】（1）根据通径的定义求出 得解；（2）①设直线 方程与抛物线联立，韦达定理找到
坐标关系，同理可得 和 的坐标关系，设 与x轴交于点G，同上面方法可求得 为定
值；②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
【解析】（1）由题意通径长 ， ， 的方程为 ．
（2）①设直线 方程为 ，
， ， ， ，联立 ，
， ，且 ，同理，可得 ， ，
，
设 与x轴交于点G，同上方法可得 ，
直线 过定点 ；② ，
当且仅当 时取“ ”．
5．如图1，已知 ， ， ， ， ， .
（1）求将六边形 绕 轴旋转半周（等同于四边形 绕 轴旋转一周）所围成的几何体的
体积；
（2）将平面 绕 旋转到平面 ，使得平面 平面 ，求异面直线 与 所成的
角的余弦值；
（3）某“ ”可以近似看成，将图1中的线段 、 改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将
其绕 轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）分为 ， ，正方形 三部分，分别得出几何体并求出体积，相加即可
得出答案；
（2）取 中点为 ，连接 ，先根据面面垂直的性质证明 平面 .然后建立空间直
角坐标系，求出 ，根据向量运算求解，即可得出答案；
（3）先求出直角梯形 绕直角边 所在的直线旋转一周得到的几何体，即圆台的体积.然后根据
祖暅原理推导得出球缺的体积，进而求出弓形旋转的体积，即可得出答案.
【解析】（1） 和 绕 轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积之和为 ；
正方形 绕 轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，
高为2的圆柱，体积为 .
所以，总的体积 .
（2）如图3，取 中点为 ，连接 ，则 .
因为 ， 中点为 ，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， 平面 ，即 平面 .
以点 为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ，
所以， ， ， ， ， ，
所以， ， ，
所以， ，
所以，异面直线 与 所成的角 的余弦值为 ，
（3）由已知可得，圆心为 点，则半径 .
六边形 绕 轴旋转半周所围成的几何体的体积，
等于直角梯形 绕直角边 所在的直线旋转一周得到的几何体体积的2倍.
直角梯形 绕直角边 所在的直线旋转一周得到的几何体，
为一个上、下底面半径分别为1、3，高为1的圆台，
体积 ；
剩下的两部分为全等的弓形，先研究弓形 绕 轴旋转半周，得到的几何体为球缺.
现在用祖暅原理来求解该球缺的体积，
如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为 ，且圆柱的高 ，且 ，在半球中，高度为 ，且平行于底面的截面圆的半径 ，
面积为 .
在圆柱中，连接 ，设 交高度为 ，且平行于底面的截面于点 ，
显然 ，所以有 ，即 ，所以 .
所以，当高度为 时，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，
即圆环的面积 ，
所以，当高度为 时，半球的截面与圆柱中的截面圆环的面积相等.
根据祖暅原理可知，半球某高度截面以上的体积（即球缺的体积），
即等于圆柱该截面以上（挖去一个圆台）的体积.
所以，球缺的体积
（其中 为半球被截面截去球缺后剩余部分的高）.
由已知可得，弓形 绕 轴旋转半周，得到的几何体为球缺中， ， ，
所以，该球缺的体积 .
所以，总的体积 .
变式：把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱 中底面长轴
，短轴长 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， 为
上的动点， 为 上的动点， 为过点 的下底面的一条动弦（不与 重合）．
（1）求证：当 为 的中点时， 平面
（2）若点 是下底面椭圆上的动点， 是点 在上底面的投影，且 与下底面所成的角分别
为 ，试求出 的取值范围．
（3）求三棱锥 的体积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【分析】（1）由题设知 分别是 中点，连接 ，进而得四边形 为平行四边形，
则 ，再结合中位线性质、线面平行的判定证结论；
（2）令 ，得 ， ，应用和角正切公式及椭圆性质有
且 ，即可求范围；（3）利用等体积法有 ，问题化为求 面积、 到面 距离之和都
最大，应用直线与椭圆关系求 最大，进而得结果.
【解析】（1）由题设，长轴长 ，短轴长 ，则 ，
所以 分别是 中点，而柱体中 为矩形，连接 ，
由 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
当 为 的中点时，则 ，故 ，
面 ， 面 ，故 平面 .
（2）由题设，令 ，则 ，
又 ，所以 ， ，
则 ，所以 ，
根据椭圆性质知 ，故 .
（3）由 ，要使三棱锥 的体积最大，
只需 面积和 到面 距离之和都最大，
，
令 且 ，则 ，
所以 ，
显然 时，有最大 ；
构建如上图直角坐标系且 ，椭圆方程为 ，
设 ，联立椭圆得 ，且 ，
所以 ， ，而 ，
所以 ，令 ，则 ，
由对勾函数性质知 在 上递增，故 ；
综上， .
