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2024 届大题强化训练及变式训练（8）
1．已知函数
（1）求 在 处的切线方程;
（2）记函数 ,若 恒成立，求实数a的最大值.
【答案】(1) (2)见解析；②
【分析】（1）通过导数的几何意义计算即可；
（2）将问题转化为 恒成立，得出 符合题意，再利
用导数去证明即可.
【解析】(1) ， ，
故 ，所以 在 处的切线方程为： .
即 .
(2)因为 ，所以一定有 ，即 （必要性）；
当 时，
令 ，
令 ， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增， ，
所以 ，故 在 上单调递增， ，
故 ，满足充分性.
综上，实数a的取值范围为 .
所以实数a的最大值为 .
变式：已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由给定条件求出 的导数，进而求得切线斜率即可得解；
（2）分离参数得 ，设 ，利用导数得 ，可得a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，由 ，得 ，设 ，则 ，
令 ，得 ，
则 时， ，函数 单调递增，
时， ，函数 单调递减，
故 ，故 ,
即实数a的取值范围为 .
2．如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形，点 是圆 上异于点 ， 的任意一
点.
（1）若点 到平面 的距离为 ，证明： .
（2）求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【分析】（1）作 于 ，利用线面垂直的判定及点到平面距离求出 即可推理得解.
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列出函数式，再借助函数值域求解
即得.
【解析】（1）如图，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
由 是圆 的直径，得 ，由 是圆柱侧面的母线，得 平面 ，
而 平面 ，则 ，又 平面 ，因此 平面
，
而 平面 ，则 ，又 平面 ，于是 平面 ，则点 到平面 的距离为 ，即 ，
设 ，有 ，由 ，得 ，解得
，
又 ，则 ，而 是 的中点，
所以 .
（2）在平面 内，过点 作 交圆 于点 ，连接 ，
由 平面 ，得直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设点 ，而点 在圆 上，有 ，且
，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
显然 ，且 ，则 ，
于是 ， ，
所以 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 .
变式：如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆心， 为
一条母线， 为 的中点，且 .（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析； （2） .
【解析】（1）由 是直径可知 ，则 是是等腰直角三角形，故 ，
由圆柱的特征可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，
，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
（2）由题意及（1）易知 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ，所以
，
由（1）知 平面 ，故平面 的一个法向量是
设 是平面 的一个法向量，
则有 取 ，所以
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
则平面 与平面 夹角的余弦值为 .3．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育
锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超
过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性
检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，
抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 的人数分别为
，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动
项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛
球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为 （3）
【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【解析】（1）零假设： 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得 列联表如下：
青年 中年 合计体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
，
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 内的人数分别为1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以 ，
，
，
所以 的分布列：：
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件 ，则 ，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为 .
变式：某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量 （单位： ）与药效指标值 （单
位： ）之间的关系，该公司研发部门进行了 20 次试验，统计得到一组数据 （ ，
2，⋯，20），其中 ， 分别表示第 次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中 与 之间具有线性相关关系，且 ， ， ， ，
.
（1）求 关于 的经验回归方程 ；
（2）该公司要用 与 两套设备同时生产该种新药，已知设备 的生产效率是设备 的2倍，设备
生产药品的不合格率为0.009，设备 生产药品的不合格率为0.006，且设备 与 生产的药品是否
合格相互独立.
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备 生产的概率.
参考公式： ， .
【答案】（1） （2）①0.008；②
【分析】（1）根据公式求出 和 ，可得 关于 的经验回归方程；
（2）①利用全概率公式可求出结果；②根据贝叶斯公式求出一件合格品是设备 生产的概率，再根
据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【解析】（1） ， ，
所以 ，
，所以 关于 的经验回归方程为 .
（2）设事件 表示“随机取一件药品来自设备 生产”，事件 表示“随机取一件药品来自设备
生产”，事件 表示“所抽药品为不合格品”，
①因为设备 的生产效率是设备 的2倍，所以 ， ，
， ，
所以 ，
② ，
所以三件不合格品中至少有两件是设备 生产的概率为 .
4．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点，.
（1）求 的方程；
（2）若 是 上异于点 的两个动点，且点 不关于 轴对称， ，过点 作 轴的
垂线交直线 于点 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 .
【答案】（1） （2）8
【分析】（1）由点 在 上， ，列方程求出 ，可得 的方程；
（2）设出直线方程，与抛物线联立方程组，由 结合韦达定理，求得直线 恒过点
，则有 ，求值即可.
【解析】
（1）因 点 在 上，所以 ，又 .
为
由 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， .
联立 则 ，且 ，
由韦达定理得 .
由 ，得 ，解得 ，
即 ，解得 ，直线 恒过点 .
由（1）可知 ，则 .设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
则 .
变式：已知过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，当直线
垂直于 轴时， 的面积为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为 的重心，直线 分别交 轴于点 ，记 的面积分别为
，求 的取值范围.
【答案】（1） 的方程为 （2）
【分析】（1）根据三角形面积求出 ，得出抛物线方程；
（2）利用重心的性质可得 ，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及
不等式的性质求值域即可.
【解析】（1）当 时， ， ，
所以 ，
由题意可知， ，
所以 ，
所以抛物线 的方程为
（2）如图，
设 ，
因为 为 的重心，
所以 ；
因为 ，
且 ；所以 ；
设 ，与 联立得： ，所以 ，
所以 ，则 ；
所以 ；
所以 取值范围为 .
的
5．在无穷数列 中，令 ，若 ， ，则称 对前 项之积是封闭
的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列 对前 项之积是否是封闭的？
（2）设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ．若 对前 项之积是封闭的，求出 的
两个值；
（3）证明：对任意的无穷等比数列 ，总存在两个无穷数列 和 ，使得
，其中 和 对前 项之积都是封闭的．
【答案】（1）不是 （2） 或 （3）证明见解析
【分析】（1）取数列 ，结合题中定义验证可得出结论；
（2）由 ，得 ，进而 ，讨论①当
时和②当 ，分别求得 ；
（3）设 ，令 ， ，得 ，再利用定义
证明 、 对前 项之积都是封闭的．
【解析】（1）不是的，理由如下：
如等差数列 ，
所以不是任意一个无穷等差数列对前 项之积是封闭的．
（2） 是等比数列，其首项 ，公比 ，
所以 ，
所以 ，由已知得，对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 成立，
即对任意正整数 ，总存在正整数 ，
使得 成立，
即对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得 成立，
①当 时，得 ，所以 ；
②当 时，得 ，
且 ，
综上， 或 .
（3）对任意的无穷等比数列 ， ，
令 ， ，则 ，
下面证明： 是对前 项之积是封闭的．
因为 ，所以 ，
取正整数 得， ，
所以 对前 项之积是封闭的，
同理证明： 也对前 项之积是封闭的，
所以对任意的无穷等比数列 ，总存在两个无穷数列 和 ，
使得 ，其中 和 对前 项之积都是封闭的．
变式：对于无穷数列 ，若对任意 ，且 ，存在 ，使得 成立，则
称 为“ 数列”.
（1）若数列 的通项公式为 ，试判断数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
（2）已知数列 为等差数列，
①若 是“ 数列”， ，且 ，求 所有可能的取值；
②若对任意 ，存在 ，使得 成立，求证：数列 为“ 数列”.
【答案】（1）是，理由见解析 （2）① 的可能值为 .②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得 ，取 ，得到 ，即可求解；
（2）若 是“ 数列”，且为等差数列，得到 ，进而得到存在 ，使得
，求得 ，得到 的值，进而求得 的可能值；
②设数列 公差为 ，得到 ，求得 ，鸡儿推得
，得到答案.
【解析】（1）数列 的通项公式为 ，
对任意的 ，都有 ，
取 ，则 ，所以 是“ 数列”.
（2）数列 为等差数列，
①若 是“ 数列”， ，且 ，
则 ，
对任意的 ，
，由题意存在 ，使得 ，
即 ，显然 ，
所以 ，即 ，
.所以 是8的正约数，即 ，
时， ；
时 ；
时 ；
时 .
综上， 的可能值为 .
②若对任意 ，存在 ，使得 成立，
所以存在 ，
设数列 公差为 ，则 ，
可得 ，
对任意 ，
则 ，取 ，
可得 ，所以数列 是“ 数列”.
