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2024 届大题强化训练及变式训练（9）
1．如图，四棱锥 的底面是矩形， 是等边三角形，平面
平面 分别是 的中点， 与 交于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小．
变式：如图，三棱柱 中， 为底面 的重心， ．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）若 底面 ，且三棱柱 的各棱长均为6，设直线 与平面 所成
的角为 ，求 的值．
2．在平面直角坐标系 中，已知直线 与抛物线 相切．（1）求 的值；
（2）已知点 在抛物线 上， 分别位于第一象限和第四象限，且
，过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，求四边形 面积的最
小值．
变式：已知 ， ，动点Z满足 .
（1）求动点Z的轨迹曲线 的标准方程；
（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分
别是 ，且 .证明： .
3．已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若对于任意 成立，求实数 的取值范围．变式：已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求
的范围．
4．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次
数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻
炼”．请完成以下 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育
锻炼的经常性有关系；
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸
多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ，求
和 ；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，
在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 ，求 的分
布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
变式：某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和
服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环
境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几
个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为 .
（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队
的概率；
（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为 ，求 的分布列和数学期望.5．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研
究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 在区间 上的图像连续
不断，从几何上看，定积分 便是由直线 和曲线 所围成的区域（称为曲
边梯形 ）的面积，根据微积分基本定理可得 ，因为曲边梯形 的面积
小于梯形 的面积，即 ，代入数据，进一步可以推导出不等式：
．（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： ；
（2）已知函数 ，其中 ．
①证明：对任意两个不相等的正数 ，曲线 在 和 处的切线均不重
合；
②当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
变式：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存
在时， ．注： 表示
的2阶导数，即为 的导数， 表示 的 阶导数，该公式也称麦克劳林
公式．
（1）根据该公式估算 的值，精确到小数点后两位；
（2）由该公式可得： ．当 时，试比较 与 的大小，并给
出证明；（3）设 ，证明： ．
