43.从教材到压轴：n维向量的概念与应用

45.向量的概念推广及其在新概念压轴中的应用 
一．基本原理 
人教A 版选择性必修一教材在23 页阅读材料中对向量概念进行了推广，从必修二的二
维，到空间向量（三维），再到一般的
维向量.我们看到，随着新概念压轴的出现，这个
n
阅读材料被多次引出，并出现了很多考题，基于此，本文对其做一下整理与介绍. 
 
 
 
 
 
 
 
二．典例分析 
★应用1.运算规则的一般化 
例1．设
，
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别是与
轴、
轴正方向同
Ox
Oy
45
1
2
e e

，
x
y
向的单位向量，若向量
，则把有序数对
叫做向量
在斜坐标系
中
1
2
OP
xe
ye





( , )
x y
OP

xoy
的坐标，记作
.同时把有序数对
叫做点
在斜坐标系
中的坐标，记作
( , )
OP
x y


( , )
x y
P
xoy
，已知在斜坐标系
中，
的三个顶点
，且A，
( , )
P x y
xoy
ABC
A






1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x
y
B，C 异于点
，则下列结论错误的是（    ） 
O
A．
 


2
1
2
1
,
AB
x
x y
y




B．
 




2
2
2
1
2
1
AB
x
x
y
y





C．若
，则
 
/ /
OA
OB


1
2
2
1
0
x y
x y


D．
的重心
的坐标为
 
ABC
A
G
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
G










解析：依题意，
.由向量
，
，则
1
2
2
1 1 cos45
2
e e




1
1
( ,
)
OA
x y


2
2
(
,
)
OB
x
y


，故A



2
1
2
2
1 1
1
2
AB
OB
OA
x e
y e
x e
y e

















2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
(
,
)
x
x e
y
y e
x
x y
y









正确； 




2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
(
)
2(
)(
)
2
AB
x
x e
y
y e
x
x
y
y
x
x
y
y



















，故B 错误； 
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)(
)
2
x
x
y
y
x
x
y
y







若
，则
，即
，即
，所以
/ /
OA
OB


OA
OB








1 1
1
2
2
1
2
2
x e
y e
x e
y e








1
2
1
2
x
x
y
y







，故C 正确； 
1
2
2
1
0
x y
x y


设
为
的中点，根据三角形重心性质知
，则
，所以
D
BC
2GD
GA



0
GA
GB
GC







，所以
0
OA
OG
OB
OG
OC
OG













， 






1
2
3
1
2
3
1 1
1
2
2
1
2
2
3 1
3
2
1
2
1
1
1
3
3
3
3
3
x
x
x
y
y
y
x e
y e
x e
y e
x e
y e
e
e




















所以
，故D 正确.故选：B. 
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
G










例2．定义平面斜坐标系
，记
，
，
分别为x 轴、y 轴正方向上的单位向
xOy
xOy



1e

2e

量，若平面上任意一点P 的坐标满足：
，则记向量
的坐标为
，给
1
2
OP
xe
ye





OP



,x y
出下列四个命题，正确的选项是（    ） 
A．若
，
，则
 


1
1
,
OP
x y




2
2
,
OQ
x
y




1
2
1
2
,
OP
OQ
x
x
y
y






B．若
，
，则
 


1
1
,
OP
x y




2
2
,
OQ
x
y


1
2
1
2
OP OQ
x x
y y




C．若
，
，则
 


1
1
,
P x y


2
2
,
Q x
y




2
2
2
1
2
1
PQ
x
x
y
y




D．若
，以O 为圆心、半径为1 的圆的斜坐标方程为
 
60


2
2
1
0
x
y
xy



解析：对于A，
，
，则
， 


1
1
,
OP
x y




2
2
,
OQ
x
y





1 1
1
2
2
1
2
2
OP
OQ
x e
y e
x e
y e











，A 正确； 






1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
e
e
x
x
y
y
x
x
y
y









对于B，
，
，则
， 


1
1
,
OP
x y




2
2
,
OQ
x
y





1 1
1
2
2
1
2
2
OP OQ
x e
y e
x e
y e










，显然
，则
，B 错误； 


1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x x
y y
e e
x y
x y






1
2
0
e e



1
2
1
2
OP OQ
x x
y y




对于C，
，
，由选项A 同理得
， 


1
1
,
OP
x y




2
2
,
OQ
x
y




2
1
2
1
,
OQ
OP
x
x y
y






即
，
， 


2
1
2
1
,
PQ
x
x y
y








2
1
1
2
1
2
PQ
x
x
y
y
e
e







，C 错误； 







2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
PQ
x
x
y
y
x
x
y
y








对于D，设以O 为圆心、半径为1 的圆上任意一点为
，由
，得


,
P x y
1
OP 
，于是
，由
，得
，即


2
1
2
1
xe
ye




2
2
1
2
2
1
0
x
y
xye e





60


1
2
1
2
e e



，D 正确. 
2
2
1
0
x
y
xy



故选：AD 
★应用2.
维向量的概念与应用 
n
例3．类比于二维空间（即平面），向量
可用二元有序数组
表示，若
维空间向量
a


1
2
,
a a
n
用
元有序数组
表示，记为
，
，且
维空间
a
n


1
2
,
,
,
n
a a
a



1
2,
,
,



n
a
a a
a


1
2
,
,
,
n
b
b b
b



n
向量满足
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 1
2
2
3 3
,
,
cos
,
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b




























（1）当
，求
. 




1,2,3 ,
3,2,1
a
b




cos
,a b


（2）证明：
； 





2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 1
2
2
3 3
n
n
n
n
a
a
a
a
b
b
b
b
a b
a b
a b
a b













L
L
L
（3）若
是正实数，且满足
，求证：
. 
, ,
a b c
3
a
b
c



2
2
2
1
1
1
12
a
b
c
a
b
c
























解析：（1）因为
，则
， 




1,2,3 ,
3,2,1
a
b




3
4
3
10,
14,
14
a b
a
b







r
r
r
r
所以
. 
10
5
cos
,
7
14
14
a b
a b
a
b






r
r
r
r
r
r
（2）因为
，
， 


1
2,
,
,



n
a
a a
a


1
2
,
,
,
n
b
b b
b



则
， 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 1
2
2
3 3
,
,
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
















r
L
L
L
r
r
r
且
，可得
，当且仅当
共线时，等号成
cos
,
a b
a
b
a b
a
b





r
r
r
r
r r
r
r


2
2
2
a b
a
b



r
r
r
r
,a b


立， 
所以
. 





2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 1
2
2
3 3
n
n
n
n
a
a
a
a
b
b
b
b
a b
a b
a b
a b













L
L
L
（3）因为
是正实数，则
，当且仅当
，即
时，等号成
, ,
a b c
1
1
2
2
a
a
a
a




1
a
a

1
a 
立， 
即
，当且仅当
时，等号成立，同理可得：
，当且仅当
2
1
4
a
a








1
a 
2
1
4
b
b








1
b 
时，等号成立，
，当且仅当
时，等号成立，可得
2
1
4
c
c








1
c 
，当且仅当
时，等号成立，此时
2
2
2
1
1
1
12
a
b
c
a
b
c
























1
a
b
c



1
a
b
c



满足
，即等号成立， 
3
a
b
c



所以
. 
2
2
2
1
1
1
12
a
b
c
a
b
c
























例4．
元向量（
）也叫
维向量，是平面向量的推广，设
为正整数，数
n
n
tuplevector

n
n
集
中的
个元素构成的有序组
称为
上的
元向量，其中
为
P
n


1
2
,
,
,
n
a a
a

P
n


1,2,
,
ia i
n

L
该向量的第个分量．
元向量通常用希腊字母
等表示，如
上全
i
n
,
,




1
2
,
,
,
,
n
a a
a
P



体
元向量构成的集合记为
．对于
，记
n
n
P
*
,
,
n
P
n

N


，定义如下运算：加法法则




1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
n
n
a a
a
b b
b








，模公式
，内积


1
1
2
2
,
,
,
n
n
a
b a
b
a
b










2
2
2
2
1
2
1
n
i
n
i
a
a
a
a










，设
的夹角为
，则
． 
1 1
2
2
1
+
+
+
n
i
i
n
n
i
a b
a b
a b
a b








,



cos











（1）设
，解决下面问题： 




*
,
,
3,
,
1, 1,1,1,
,1 ,
1,1,1,
,1
n
P
n
n









N






①求
； 





②设
与
的夹角为
，求
； 








cos
（2）对于一个
元向量
，若
，称
为
维信号向
n


1
2
,
,
,
n
a a
a





1
1,2,
,
ia
i
n





n
量．规定
，已知
个两两垂直的120 维信号向量
满足它们的
0










k
1
2
,
,
,
k





前
个分量都相同，证明：
． 
m
11
km 
解析：（1）因为
，所以




*
,
,
3,
,
1, 1,1,1,
,1 ,
1,1,1,
,1
n
P
n
n









N






， 
(0,0,2,2,
,2)







①
， 
2
2
2
2
2
2
2
2
n











②因为
，
，所以
. 
(
)
2(
2)
n










n


(
2)
2(
2)
cos
2
2
n n
n
n
n
n

















（2）任取
，
，计算内积
，设这些内积之和为， 
,
i
j
a a



,
1,2,
i j
k


120,
0,
i
j
i
j
a a
i
j







S
则
，设
的第个分量之和为
， 
2
2
2
1
2
120
k
S
a
a
a
k









1
2
,
,
k
a a
a



i
ic
又因为
，故
，所以
 
(
)
i
j
a
a i
j




2
2
2
2
1
2
1
2
(
)
k
k
a
a
a
a
a
a















2
2
2
1
2
120
120
c
c
c
k





又
，所以
，即
，所以
2
2
2
2
2
2
2
1
2
120
1
2
m
S
c
c
c
c
c
c
k m











2
120k
k m

120
121
km 

. 
11
km 
例5．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以
用二元有序实数对
表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n 元有序实数组


1
2
,
a
a
称为n 维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n 维向量，也


1
2
,
,
,
n
a
a
a
L
可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设
，


1
2
,
,
,
n
a
a
a
a

r
L
，则
；


1
2
,
,
,
n
b
b
b
b

r
L



1
2
1
2
1 1
2
2
,
,
,
,
,
,
n
n
n
n
a b
a
a
a
b
b
b
a b
a b
a b







r r
L
L
L
．已知向量
满足
，向量
满
2
2
2
1
2
+
n
a
a
a
a



r
L


1
2
,
,
,
n
a
a
a
a

r
L
=
na
n


1
2
,
,
,
n
b
b
b
b

r
L
足
． 
=2n
nb
（1）求
的值； 
a b

r r
（2）若
，其中
，当
且
时，证明：
． 


1
2
,
,
,
n
c
c
c
c

r
L
+1
=ln
n
n
n
a
c
a
2
n 
n
N 

2
4
n
c
n


r
解析：（1）依题，
，


1, 2,
,
a
n





2
3
1
1 2
2 2
3 2
1 2
2
n
n
a b
n
n













，则   ①，
   ②  


2
2, 2 ,
, 2n
b 




2
3
4
1
2
1 2
2 2
3 2
1 2
2
n
n
a b
n
n














①－②，得
，即
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
a b
n










r r
L
 ，所以
. 




1
1
2
1 2
2
1 2
2
1 2
n
n
n
a b
n
n

















1
1 2
2
n
a b
n








（2）因为
，
，所以


1
2
,
,
,
n
c
c
c
c



1
1
ln
ln 1
n
n
c
n
n
















， 先证：
，
，设
2
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
1
2
c
n



























1
1
ln 1
1
n
n









*
nN
，
，则
， 所以
在



ln
1
1
x
f x
x
x




0
x 





2
2
1
1
0
1
1
1
x
f
x
x
x
x









f x
上单调递增，即当
时，
， 即


0, 

*
nN

1
0
0
f
f
n







，  
1
1
1
1
ln 1
ln 1
0
1
1
1
n
n
n
n
n




















故
，
.     因为
，  
1
1
ln 1
1
n
n









*
nN





2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n








所以
   


2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
1
2
2
3
1
n
n































  
， 
.综上可得，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
2
4
n
n
n
n
n

































2
4
n
c
n




当
且
时，
. 
2
n 
*
nN
2
4
n
c
n



例6．一般地，
个有序实数
，
，
，
组成的数组，称为
维向量，记为
n
1a
2a
L
na
n
.类似二维向量，对于
维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运


1
2
,
,
,
n
a
a a
a



n
算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如
，


1
2
,
,
,
n
a
a a
a



则
；若存在不全为零的个实数
，
，
，
使得
2
2
2
1
2
n
a
a
a
a






r
1k
2k
L
rk
，则向量组
，
，
，
是线性相关的向量组，否则，说向量
1
1
2
2
0
r
r
k a
k a
k a









1a

2a

L
ra

组
，
，
，
是线性无关的. 
1a

2a

L
ra

（1）判断向量组
，
，
是否线性相关？ 


1
1,3,1
a 



2
1,1,3
a 



3
5, 7,3
a 


（2）若
，
，
，当
且
时，证明：


1
2
,
,
,
n
a
a a
a



1
ln 1
ka
k








1,2,3,
,
k
n


2
n 
*
nN
. 
15
2
4
3
n
a
n




解析：（1）设存在不全为零的个实数
，
，
使得
 
3
1k
2k
3k
1
1
2
2
3
3
0
k a
k a
k a







则
，即
，由①
②消去
得:
1
2
3
(1,3,1)
( 1,1,3)
( 5
7,3)
0
,
k
k
k







1
2
3
1
2
3
1
2
3
5
0
3
7
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k














①
②
③

2k
，由①
③消去
得:
，则该方程有无数组解，所以不妨取
，则
1
3
3
k
k


1k
2
3
2
k
k

3
1
k 
，
， 
1
3
k 
2
2
k 
，即向量组
，
，
是线性相关的. 
1
2
3
3
2
0
a
a
a








1a

2a

3a

（2）证明：
，
，
，


1
2
,
,
,
n
a
a a
a




1
ln 1
ka
k








1,2,3,
,
k
n


，先证：
，
， 
2
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
1
2
a
n




























1
1
ln 1
1
n
n









*
nN
设
，
，则
，
在



ln
1
1
x
f x
x
x




0
x 





2
2
1
1
0
1
1
1
x
f
x
x
x
x









f x

上单调递增，
当
时，
，即


0, 


*
nN

1
0
0
f
f
n







，
，
.同理可证：
1
1
1
1
ln 1
ln 1
0
1
1
1
n
n
n
n
n




















1
1
ln 1
1
n
n










*
nN
，
. 
1
1
ln 1
n
n








*
nN
， 





2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n









 


2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
1
2
2
3
1
n
n
































，
. 
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
2
4
n
n
n
n
n

































2
4
n
a
n




当
且
时， 
2
1
1
1
1
2
,
1
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
























2
n 
*
nN
 
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
1
2
1
2
n
n






























. 
1
1
1
1
1
1
5
2
5
1
2
2
1
2
,
3
5
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
n
n
n
n

































15
3
a



综上可得，当
且
时，
 
2
n 
*
nN
15
2
4
3
n
a
n



