56.正棱锥的性质及应用
一．基本原理
1.斜高：空间几何体的顶点到其底边的距离，即为斜高，就棱锥而言，斜高是指其侧面三
角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离，就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的
高，它也是该梯形上下底边的距离.
2.正棱锥中的直角三角形
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高
，底面为正方形，作
于
，则
PO
CD
PE
E
为斜高.
PE
①.斜高、侧棱构成直角三角形，如图中
．
PEC
Rt
②.斜高、高构成直角三角形，如图中
.
POE
Rt
③.侧棱、高构成直角三角形，如图中
．
POC
Rt
3.人教版教材必修二152 页练习4 有如下的设问：过
所在平面
外一点
，作
ABC
P
，垂足为
，连接
.
PO
O
PC
PB
PA
,
,
（1）若
，则
为
的________心.
PC
PB
PA
O
ABC
（2）若
，
，则
为
边的________点.
PC
PB
PA
90
C
O
AB
（3）若
，垂足都为
，则
为
的________心.
PA
PC
PC
PB
PB
PA
,
,
P
O
ABC
注：显然，
四点作成一个三棱锥（四面体），下面我们逐个分析其性质.
C
B
A
P
,
,
,
（i）等腰四面体：当
时，类似于等腰三角形，此时四面体的三条腰长相
PC
PB
PA
等.
上述习题第一问即是证明等腰四面体的一个重要性质：
结论1.顶点在底面的投影恰好是底面的外心.（公众号：凌晨讲数学）
证明：如图，由于
，故根据勾股定理：
PO
，即顶点在底面的投影
2
2
2
2
2
2
PO
PC
PO
PB
PO
PA
OC
OB
OA
恰好是底面的外心.
结论2.外接球：既然如此，根据外接球的性质，三棱锥
外接球的球心在线段
ABC
P
或者线段
的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为
，
的外接
PO
PO
R
ABC
圆半径为
，线段
的长度为
，则有：
或
.
r
PO
h
2
2
2
)
(
r
R
h
R
2
2
2
)
(
r
h
R
R
特别地，若底面
为正三角形，则三棱锥
为正三棱锥，进一步，若三条棱
ABC
ABC
P
长与底面三角形边长均相等，三棱锥
为正四面体，由上述结论可得：假设棱长
ABC
P
为
，则外接球半径为
.
a
a
R
4
6
（ii）显然，有了（i）的分析，上述练习题的第二问简单，若
，
PC
PB
PA
，则
为
边的中点.
90
C
O
AB
结论3.过
所在平面
外一点
，作
，垂足为
，连接
.若
ABC
P
PO
O
PC
PB
PA
,
,
，垂足都为
，则
为
的垂心.
PA
PC
PC
PB
PB
PA
,
,
P
O
ABC
证明：由于
，则
，又因为
，则
面
，即
PO
BC
PO
PA
PC
PB
PA
,
PA
PBC
，这样的话，
面
，于是
，则
在
边的高线上，同理
BC
PA
BC
POA
AO
BC
O
BC
可证得
在
的高线上，故
为
的垂心.
O
AB
AC,
O
ABC
注：由证明可得：三条侧棱两两垂直可推得对棱相互垂直，把对棱相互垂直的四面体称为
垂心四面体，即高过底面的垂心.
结论4.由上述推证易知：正三棱锥的对棱垂直.
结论5.正三棱锥的内切球
方法1.轴截面法
如图1，三棱锥
上正三棱锥，求其内切球半径.第一步：先现出内切球的截面
ABC
P
图，
分别是两个三角形的外心；第二步：求
，
是侧
H
E,
r
PH
PO
BD
DH
,
3
1
PD
面
的高；第三步：由
相似于
，建立等式：
，解出
.
ABP
POE
PDH
PD
PO
DH
OE
r
方法2.等体积法
三棱锥
是任意三棱锥，求其的内切球半径，方法：等体积法，即内切球球心与
ABC
P
四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.第一步：先算出四个表面的面积和整个锥体体
积；
第二步：设内切球的半径为
，建立等式：
r
PBC
O
PAC
O
PAB
O
ABC
O
ABC
P
V
V
V
V
V
r
S
r
S
r
S
r
S
V
PBC
PAC
PAB
ABC
ABC
P
3
1
3
1
3
1
3
1
r
S
S
S
S
PBC
PAC
PAB
ABC
)
(
3
1
第三步：解出
PBC
O
PAC
O
PAB
O
ABC
O
ABC
P
S
S
S
S
V
r
3
二．典例分析
例1.（2019 全国1 卷）三棱锥
的四个顶点都在球
上，
，
ABC
P
O
PC
PB
PA
为边长是2 的正三角形，
分别是
的中点，
，则球
的
ABC
F
E,
AB
PA,
90
CEF
O
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8 6
4 6
2 6
6
解析：由上述分析可知，设外接球的半径为
，
的外接圆半径为
，三棱锥
R
ABC
r
的高为
，则
，显然，
，故欲算
只需
ABC
P
h
2
2
2
)
(
r
R
h
R
3
2
60
sin
2
2
r
R
计算
，而等腰四面体还有基本关系：
，即只需计算出腰长即
h
2
2
r
h
PC
PB
PA
可，这样就可将已知条件利用起来解题.
解：设
，
分别为
中点，
，且
2
PA
PB
PC
x
,
E F
,
PA AB
/ /
EF
PB
，
为边长为2 的等边三角形.
1
2
EF
PB
x
ABC
又
，
中余弦定理：
3
CF
90
CEF
2
1
3
,
2
CE
x
AE
PA
x
AEC
，作
于
，
，
2
2
4
3
cos
2 2
x
x
EAC
x
PD
AC
D
PA
PC
，
，
，
1
cos
2
AD
EAC
PA
x
2
2
4
3
1
4
2
x
x
x
x
2
2
1
2
2
1
2
2
2
x
x
x
，又
，
两两垂直，
2
PA
PB
PC
=
=
=2
AB BC AC
,
,
PA PB PC
，
，
，故选D.
2
2
2
2
6
R
6
2
R
3
4
4
6 6
6
3
3
8
V
R
方法2.由于正三棱锥的对棱垂直，再利用题干给的垂直关系，此题还可以做如下的证明，
即将其还原到一个正方体中.
法2.
为边长为2 的等边三角形，
为正三棱锥，
,
PA
PB
PC
ABC
P
ABC
，又
，
分别为
、
中点，
PB
AC
E
F
PA
AB
，
，又
，
平面
，
/ /
EF
PB
EF
AC
EF
CE
,
CE
AC
C
EF
PAC
平面
，
，
为正方体一部
PB
PAC
2
APB
PA
PB
PC
P
ABC
分，
，即
，故选D．
2
2
2
2
6
R
3
6
4
4
6 6
,
6
2
3
3
8
R
V
R
例2．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积
之和等于底面积的2 倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2
3
5
解析：如图， 设正四棱锥的底面边长为
，设
为底面的中心，高为
，
2
AB
a
O
PO
h
设
为
的中点，则设斜高为
，连接
，设侧面与底面所成的角为
，
M
AD
PM
h
OM
由于
，所以
即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成
,
PM
AD OM
AD
PMO
角，
由
平面
，
平面
,所以
所以
，
PO
ABCD
OM
ABCD
PO
OM
tan
tan
PO
h
PMO
OM
a
因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2 倍，即
，
1
4
2
2 2
2
2
2
a h
a
a
h
a
又
，所以
，故选：C.
2
2
2
2
2
3
3
h
h
h
a
h
a
a
tan
tan
3
h
PMO
a
例3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面
上．若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
36
3
3 3
l
A．
B．
C．
D．
81
18, 4
27 81
,
4
4
27 64
,
4
3
[18,27]
解析：∵ 球的体积为
，所以球的半径
，设正四棱锥的底面边长为
，高为，
36
3
R
2a
h
则
，
，所以
，
2
2
2
2
l
a
h
2
2
2
3
2
(3
)
a
h
2
6h
l
2
2
2
2a
l
h
所以正四棱锥的体积
，
4
2
6
2
2
4
1
1
2
1
4
(
)
=
3
3
3
36
6
9
36
l
l
l
V
Sh
a
h
l
l
所以
，当
时，
，当
时，
5
2
3
3
1
1
24
4
9
6
9
6
l
l
V
l
l
3
2 6
l
0
V
2 6
3 3
l
，
0
V
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，又
时，
，
2 6
l
V
64
3
3
l
27
4
V
时，
，所以正四棱锥的体积
的最小值为
，所以该正四棱锥体积的取值
3 3
l
81
4
V
V
27
4
范围是
．故选：C．
27 64
4
3
，
例4. 已知正四棱锥
的底面边长为
，高为3．以点
为球心，
为半径的球
O
ABCD
6
O
2
与过点
的球
相交，相交圆的面积为
，则球
的半径为（ ）
O
, ,
,
A B C D
1
O
π
1
O
A．
或
B．
或
13
2
6
13
2
97
4
C．
或
D．
或
3
97
4
3
6
解析：当公共圆面在四棱锥内部时，如下图所示，
设相交圆的圆心为
，点
为相交圆上的一点，也是两球的公共点，设球
的半径为，
M
E
1
O
r
因为相交圆的面积为
，所以相交圆的半径为1，即
底面正方形边长为
，所以
π
1,
ME
6
，由勾股定理有
，所以
，
3,
2,
3
CH
OE
OH
2
2
2
1
OM
ME
OE
OM
2
MH
设
，则
①，
②，联立①②解得
．当公共圆面在
1
MO
h
2
2
1
h
r
2
2
(2
)
3
h
r
13
2
r
四棱锥外部时，如下图所示，
同上可求
，
，
，则
③，
1
OM＝
3 1
4
MH
OH
OM
1
MO
h
2
2
1
h
r
2
2
(4
)
3
h
r
④，
联立③④解得
．故选：B．
97
4
r
例5.已知三棱锥
的底面
是边长为
的等边三角形，
ABC
P
ABC
6
，先在三棱锥
内放入一个内切球
，然后再放入一个球
21
PC
PB
PA
ABC
P
1
O
，使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的体积为
2
O
2
O
1
O
ABC
P
1
O
_______，球
的表面积为_______.
2
O
解析：如图所示：依题意得
点
到平面
的距离为
,3
9
60
sin
6
6
2
1
ABC
S
P
ABC
，所以
，侧面高为
，
3
)
3
2
(
21
2
d
3
9
3
3
9
3
1
ABC
P
V
3
2
3
21
2
所以
，设球
的半径为
，所以
3
6
6
3
2
2
1
PAC
PAB
PBC
S
S
S
1
O
R
则
，得
PBC
O
PAC
O
PAB
O
ABC
P
V
V
V
V
1
1
1
R
)
3
9
3
18
(
3
1
3
9
3
4
,1
1
V
R
设球
的半径为
，则
，又
，得
所以球
的表面积为
2
O
r
2
2
r
R
R
r
1
R
,
3
1
r
2
O
.
9
4
S
故答案为：
；
3
4
9
4
三．习题演练
习题1.已知三棱锥
的四个顶点在球
的球面上，
，
是边长为
P
ABC
O
PA
PB
PC
ABC
A
的正三角形，三棱锥
的体积为
，则球
的表面积为（ ）
2
P
ABC
1
6
O
A．
B．
C．
D．
6
3
3
2
3
4
解析：设
在底面
上的射影为
，因为
，所以
为
的中心，由
P
ABC
M
PA
PB
PC
M
ABC
A
题可知，
，由
，解得
.
3
2
ABC
S
A
1
1
3
6
△
P ABC
ABC
V
PM
S
3
3
PM
在正
中，可得
. 进而可得
，
，
，
ABC
A
6
3
AM
PA
PB
PB
PC
PC
PA
因此正三棱锥
可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥
的外接球
P
ABC
P
ABC
相同，正方体对角线的中点为球心
. 记外接球半径为
，则
，所以，球
的表面
O
R
3
2
R
O
积为
. 故选：B.
2
4
3
S
R
习题2．在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
P
ABC
5
PA
PB
PC
3
AB
AC
BC
外接球的表面积是（ ）
P
ABC
A．
B．
C．
D．
9π
15 π
2
4π
25 π
4
解析：由已知
是正三棱锥，设
是正棱锥的高，由外接球球心
在
上，如
P
ABC
PH
O
PH
图，设外接球半径为
，又
，则
，由
R
3
3
1
3
CH
2
2
2
PH
PC
CH
得
，解得
，所以表面积为
2
2
2
OC
OH
CH
2
2
2
(2
)
1
R
R
5
4
R
2
5
25
4
4
4
S
．故选：D．
习题3.在正三棱锥
中，
，
是
的中点，
，则正三棱锥
S
ABC
2
AB
M
SC
AM
SB
外接球的表面积为
．
S
ABC
解析：取
的中点
，连接
，因为
，所以
，又因为△
是正三
AC
N
BN
SA
SC
AC
SN
ABC
角形，所以
，故
平面
，
，又因为
，
AC
BN
AC
SBN
AC
BC
AM
SB
AC
AM
A
，所以
平面
，
且
，故得到
是三条两两垂直的，可以看
SB
SAC
SB
SA
SB
SC
,
,
SA SB SC
做是正方体切下来的一个正三棱锥，故外接球的直径
，因为
，所以
2
3
R
SA
2
AB
，
1
SA
从而得到
，所以其外接球的表面积为
.
3
2
R
2
4
3
S
R
习题4.（2018 全国二卷）.
如图，在三棱锥
中，
，
为
的
ABC
P
4
,
2
2
AC
PC
PB
PA
BC
AB
O
AC
中点.
（1）证明：
平面
；
PO
ABC
（2）若点
在棱
上，且二面角
为
，求
与平面
所成角的正
M
BC
M
PA
C
30°
PC
PAM
弦值．
解析：（1）因为
，
为
的中点，所以
，且
4
AP
CP
AC
O
AC
OP
AC
2 3
OP
．
连结
．因为
，所以
为等腰直角三角形，且
OB
2
2
AB
BC
AC
ABC
A
，由
知
．由
1
,
2
2
OB
AC OB
AC
2
2
2
OP
OB
PB
PO
OB
知
平面
．
,
OP
OB OP
AC
PO
ABC
（2）过程略，所以
与平面
所成角的正弦值为
PC
PAM
