61.线面角计算的六大应用
一．基本原理
直线与平面所成角
（1）定义：如图，一条直线
和一个平面
相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫
PA
做这个平面的斜线，斜线和平面的交点
叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点
向平面
A
P
引垂线
，过垂足
和斜足
的直线
叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜
PO
O
A
AO
线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）范围：直线与平面所成的角
的取值范围是
.
[0 ,
]
2
由上述定义可知，计算线面角的关键点在于向平面做垂线，找到这个垂线段的长度，为了
找到垂线并且能够有效的计算出垂线段的长度，除了定义法之外，可以利用等体积法来计
算点到面的距离. 此外，可以利用面面垂直的性质找到点到面的垂线段，这些都是计算线
面角的常用方法之一，最后，再加上一个刻画线面角性质的三余弦定理，它也可以用来计
算线面角的大小.
二．计算方法与应用
应用1.定义法
应用2.等体积法：
应用3.垂面法
应用4.三余弦定理
应用5.空间向量（本文略去）
应用6.范围与轨迹问题
（i）最小角意识
线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最
小角定理.（凌晨讲数学）
（ii）圆锥意识
如上图，
，这里就会出现下面几类范围问题：
OA
OP
AP
OP
tan
,
sin
（1）已知
大小，且知
长，那么射影
就是一个以斜足为圆心的圆的半径；
OP
AO
（2）已知
大小，则斜线
为一个以
为顶点的圆锥的母线
AP
P
（iii）坐标意识
二．典例分析：
应用1. 定义法
例1.(2022 年高考全国甲卷)在长方体
中，已知
与平面
和平面
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1B D
ABCD
所成的角均为
，则( )
1
1
AA B B
30
A．
B．
与平面
所成的角为
2
AB
AD
AB
1
1
AB C D
30
C．
D．
与平面
所成的角为
1
AC
CB
1B D
1
1
BB C C
45
解析：如图所示：
不妨设
，依题以及长方体的结构特征可知，
与平面
所成
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
1
B D
ABCD
角为
，
与平面
所成角为
，所以
，即
，
1
B DB
1
B D
1
1
AA B B
1
DB A
1
1
sin30
c
b
B D
B D
b
c
，解得
．
2
2
2
1
2
B D
c
a
b
c
2
a
c
对于A，
，
，
，A 错误；
AB
a
AD
b
2
AB
AD
对于B，过
作
于
，易知
平面
，所以
与平面
所成角
B
1
BE
AB
E
BE
1
1
AB C D
AB
1
1
AB C D
为
，因为
，所以
，B 错误；
BAE
2
tan
2
c
BAE
a
30
BAE
对于C，
，
，
，C 错误；
2
2
3
AC
a
b
c
2
2
1
2
CB
b
c
c
1
AC
CB
对于D，
与平面
所成角为
，
，而
1
B D
1
1
BB C C
1
DB C
1
1
2
sin
2
2
CD
a
DB C
B D
c
，所以
．D 正确．故选：D．
1
0
90
DB C
1
45
DB C
应用2.等体积法
例2.（2022 年全国甲卷）在四棱锥
中，
底面
，
，
P
ABCD
PD
ABCD
//
CD AB
，
，
．
1
AD
DC
CB
2
AB
3
PD
（1）证明：
；
BD
PA
（2）求
与平面
的所成的角的正弦值．
PD
PAB
解析：设点
到平面
的距离为
，在
中，
D
PAB
h
PAB
2
,
6
,2
AB
PB
PA
，
,由等体积法得：
2
15
PAB
S
BD
AD
2
3
DAB
S
PAB
D
ABD
P
V
V
,
，设
与平面
所成角为
h
S
PD
S
PAB
ABD
3
1
3
1
5
15
h
PD
PAB
则
5
5
sin
PD
h
例3．如图，四边形
为正方形，
平面
，
∥
，
ABCD
ED
ABCD
FB
ED
2
2.
AB
ED
FB
（1）求证：
平面
；
AC
BDEF
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
BC
AEF
解析：（1）连接
交
于
，
四边形
为正方形，
，
BD
AC
O
ABCD
AC
BD
又
平面
，
平面
，则
. 又
∥
，
四点
ED
ABCD
AC
ABCD
ED
AC
FB
ED
,
,
,
B D E F
共面，
，且
平面
，于是
平面
.
ED
BD
D
,
ED BD
BDEF
AC
BDEF
（2）
//
，
与平面
所成角就是
与平面
所成角.在
中，可
BC
AD
BC
AEF
AD
AEF
AEF
△
以求得
，
，
，
2
2
2
2
2 2
AE
2
2
2
1
5
AF
2
2
2 2
1
3
EF
根据余弦定理得
，
2
2
2
8
9
5
2
cos
2
2
2 2 2
3
AE
EF
AF
AEF
AE EF
，
，
0,π
AEF
2
2
2
sin
1
2
2
AEF
，设点
到平面
的距离为
，由
1
1
2
sin
2 2
3
3
2
2
2
AEF
S
AE EF
AEF
A
D
AEF
d
平面
知
，而
，因此
平面
，显然
DE
ABCD
DE
AB
,
AD
AB AD
DE
D
AB
ADE
平面
，则点
到平面
的距离为
长2，而
，
/ /
FB
ADE
F
ADE
AB
1
2 2
2
2
ADE
S
△
由
，得
，即
，解得
.
D AEF
F
ADE
V
V
1
1
2
3
3
AEF
ADE
S
d
S
A
A
1
1
3
2 2
3
3
d
4
= 3
d
故
与平面
所成角的正弦值为
.
BC
AEF
2
3
应用3.垂面法
例4.（2022 年全国甲卷）在四棱锥
中，
底面
，
，
P
ABCD
PD
ABCD
//
CD AB
，
，
．
1
AD
DC
CB
2
AB
3
PD
（1）证明：
；
BD
PA
（2）求
与平面
的所成的角的正弦值．
PD
PAB
解析：作
交
于
，∵
DH
AB
AB
H
平面
，
PD
ABCD
平面
AB
ABCD
∴
，∴
平面
面
, ∴面
面
,过点
作面
DP
AB
AB
,
PDH
AB
PAB
PAB
PDH
D
的垂线，垂足在面
与面
的交线上，∴直线
与平面
所成角
PAB
PAB
PDH
PD
PAB
，在
中:
DPH
PDH
2
2
3
15
3,
,
2
2
PD
DH
PH
PD
DH
∴
，故直线
与平面
所成角的正弦
.
3
5
2
sin
5
15
2
DH
DPH
PH
PD
PAB
5
5
例5．如图1，在平行四边形ABCD 中，
，AD＝2，AB＝4，将△ABD 沿BD 折
60
A
起，使得点A 到达点P，如图2
（1）证明：BD⊥平面PAD；
（2）当二面角
的平面角的正切值为
时，求直线BD 与平面PBC 夹角的正弦
D
PA
B
6
值．
解析：（1）证明：在
中，因为
，AD＝2，AB＝4，故
ABD
△
60
A
，所以
，即
,在沿对角
2
2
2
cos
2 3
BD
AD
AB
AD AB
A
2
2
2
BD
AD
AB
AD
BD
线BD 将
翻折过程中，始终有
，故
,因为
ABD
△
AD
BD
PD
BD
,
,
PD
AD
D PD AD
平面PAD，故BD⊥平面PAD；
（2）如图，设PA 的中点为E，连接DE,BE，因为
,故
,又因为
,
PD
AD
ED
PA
PB
AB
故
,则
二面角
的平面角，由（1）知BD⊥平面PAD，
平面
EB
PA
BED
D
PA
B
ED
PAD， 则
,故
,故在
中，
BD
ED
2 3
tan
6,
2
BE
BED
ED
ED
ED
Rt
AED
△
,则
,则
,而
2
2
4
2
2
AE
AD
ED
2 2
PA
2
2
2,
PA
AD
PD
PD
AD
,
平面ABCD, 故
平面ABCD,而
平面ABCD,
PD
DB
,
,
AD
BD
D AD BD
PD
BC
故
,又因为
,而
平面PBD,
PD
BC
/ /
,
,
BC
AD AD
BD
BC
BD
,
,
PD
BD
D PD BD
所以
平面PBD,由于
平面PBC,故平面PBC
平面PBD,且平面PBC
平面
BC
BC
PBD=PB,故过点D 向平面PBC 作垂线，垂足F 落在PB 上，则
,即
为直线
DBF
PBD
BD 与平面PBC 的夹角，由（1）可知
,而
，则
,则
90
ADB
o
60
A
30
ABD
,故直线BD 与平面PBC 的夹角的正弦值为
.
30
PBD
1
2
★应用4.三余弦定理
设
为面
上一点，过
的斜线
在面
上的射影为
，
为面上的一条直线，则
A
A
AO
AB
AC
2
1 cos
cos
cos
证明：如图，过点
作
，由于
，则
，从而
B
AC
BC
AC
BC
AC
OB
,
OBC
AC
面
.
OC
AC
于是
)
(
cos
,
cos
,
cos
2
1
凌晨讲数学
AB
AC
OA
AB
OA
AC
，于是得证：
.
cos
cos
cos
2
1
例6.（2020 年浙江卷）如图，在三棱台
中，平面
平面
，
DEF
ABC
ACFD
ABC
，
.
45
ACD
ACB
BC
DC
2
（1）证明：
.
BD
EF
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
DF
DBC
解析：如图所示，过点
作
于
，因为
，所以点
在
D
AC
DO
O
45
ACD
ACB
O
平面
上的射影
一定在
的平分线上，设直线
与平面
所成角为
，
DBC
G
DCB
DF
DBC
因为
，所以
与平面
所成角也为
.由（1）知
，由三余弦定
DF
OC //
OC
DBC
3
BCD
理知
，即
，所以
，从而
DCG
OCD
cos
cos
cos
6
cos
cos
4
cos
3
6
cos
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
3
3
sin
DF
DBC
3
3
应用5.线面角中的范围与轨迹问题
例7．已知直线和平面
所成的角为
，则直线和平面
内任意直线所成的角的取值范
l
π
6
l
围为（ ）
A．
B．
π
0, 6
π π
,
6 3
C．
D．
π
0, 2
π π
,
6 2
解析：根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
故与
内直线所成角的最小值为
，当在
内的射影与平面
内的直线垂直时，与之
l
π
6
l
l
所成的角为
，故与
内直线所成角的范围为
.故选：D.
π
2
l
π π
6 2
，
例8．在四棱锥
中，
平面
，
，点M 是矩形
内（含边
P
ABCD
PA
ABCD
2
AP
ABCD
界）的动点，且
，
，直线
与平面
所成的角为
．当三棱锥
1
AB
3
AD
PM
ABCD
π
4
的体积最小时，三棱锥
的外接球的表面积为（ ）．
P
ABM
P
ABM
A．
B．
C．
D．
4π
6π
8π
10π
解析：如图，因为
平面
，垂足为
，则
为直线
与平面
所成的
PA
ABCD
A
PMA
PM
ABCD
角，所以
，因为
，所以
，所以点
位于底面矩形
内的以
π
4
PMA
2
AP
2
AM
M
ABCD
点
为圆心，
为半径的圆上，注意
，
，记点
的轨迹为圆弧
，当点
A
2
1
AB
3
AD
M
EF
M
位于
时，三棱锥
的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则
F
P
ABM
，三棱锥
的外接球球心为
的中点.因为
π
2
PAF
PBF
P
ABM
PF
，所以三棱锥
的外接球的表面积
.故选：C
2
2
2
2
2 2
PF
P
ABM
2
4π
2
8π
S
例9．在四棱锥
中，
平面ABCD，PA＝3，点M 是矩形ABCD 内（含边
P
ABCD
PA
界）的动点，且
，
，直线PM 与平面ABCD 所成的角为
，记点M 的轨迹
3
2
AB
2
AD
π
3
长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3π
3
π
3π
3π
2
解析：由于
平面
，所以
平面
，所以
，则
，
PA
ABCD
AM
ABCD
PA
AM
π
3
PMA
即
是直线
与平面
所成角，
，
PMA
PM
ABCD
π
3
3
tan
3,
3
,2
3
2
PA
AM
AM
AM
所以
点的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆在矩形
内的部分，
M
A
3
ABCD
设圆与
分别交于
两点，
，所以
，
,
BC AD
,
E F
2
3
3
3
2
2
BE
π
π
,
6
3
BAE
EAF
所以
点的轨迹长为
.故选：A
M
1
3π
2π
3
6
3
例10．已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的集
P
ABC
ABC
A
合．设集合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
5
T
Q
S PQ
A．
B．
C．
D．
3
4
2
3
解析：设顶点
在底面上的投影为
，连接
，则
为三角形
的中
P
O
BO
O
ABC
心，
且
，故
.因为
，故
2
3
6
2 3
3
2
BO
36 12
2 6
PO
5
PQ
1
OQ
，故的轨迹为以
为圆心，1 为半径的圆，而三角形
内切圆的圆心
S
O
ABC
为
，半径为
，
O
3
2
36
4
3
1
3 6
故的轨迹圆在三角形
内部，故其面积为
，故选：B
S
ABC
三．习题演练
1．正四面体ABCD 中异面直线AB 与CD 所成角为
，侧棱AB 与底面BCD 所成角为
，侧面ABC 与底面BCD 所成的锐二面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：过A 作A 在底面的射影O，∵
是正四面体，∴O 是底面的中心，取
的中
A
BCD
BC
点
，连接
，如图所示，
E
OB OE AE
,
,
在正四面体
中，
平面
，
平面
，
，又
，
A
BCD
AO
BCD
CD
BCD
AO
CD
BO
CD
平面
，
，则
平面
，
平面
，
，
,
AO BO
ABO
AO
BO
O
CD
ABO
AB
ABO
AB
CD
即异面直线
与
所成的角为
，侧棱
在底面
内的射影为
，则
AB
CD
90
AB
BCD
OB
ABO
是侧棱
与底面
所成的角，即
，
，
，侧面
与底面
AB
BCD
ABO
AE
BC
OE
BC
ABC
所成的角为
，∴
，∵
，
BCD
AEO
AEO
sin
sin
AO
ABO
AB
sin
sin
AO
AEO
AE
，
∵
，∴
，即
，则
，即
.故选：A
AB
AE
AO
AO
AB
AE
sin
sin
90
2．
是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为
，那么直线
与平
,
,
PA PB PC
60
PC
面
所成角的余弦值是（ ）
PAB
A．
B．
C．
D．
6
3
3
3
2
2
1
2
解析：如图，设直线
在平面
的射影为
，作
于点G，
于点
PC
PAB
PD
CG
PD
CH
PA
H，连接
，易得
，又
平面
，则
平面
，
HG
CG
PA
,
,
CH
CG
C CH CG
CHG
PA
CHG
又
平面
，则
，有
HG
CHG
PA
HG
cos
cos
cos
PH
CPA
PC
PG PH
PH
CPD
APD
PC
PG
PC
故
．已知
，
cos
cos
cos
CPA
CPD
APD
60 ,
30
APC
APD
故
为所求．
cos
cos60
3
cos
cos
cos30
3
CPA
CPD
APD
3．已知球O 的半径为2，A，B，C 为球面上的三个点，
，点P 在AB 上运动，若
2
AB
OP 与平面ABC 所成角的最大值为
，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
3
A．
B．
C．
D．
3
2
3
2
21
7
3 3
2
解析：记
ABC 外接圆圆心为
，则
平面ABC，故
为OP 与平面ABC 所成
A
O
OO
OPO
的角，如图，当P 移动到AB 中点K 时，OP 的长度最小，对应正切值最大，OP 与平面
ABC 所成的角最大，则
为OP 与平面ABC 所成的最大角，根据题意：
OKO
，设
，则
，
，在Rt
与Rt
中，有
3
sin
2
OKO
O K
t
3
OO
t
2
OK
t
A AOO
A AO K
，即
，求得：
，
2
2
2
2
2
2
OA
O O
O A
O O
O K
AK
2
2
2
2
3
1
t
t
3
2
t
故O 到平面ABC 的距离为
，故选：A.
3
3
2
OO
t
4．如图，在四棱锥E－ABCD 中，平面CDE⊥平面ABCD，∠ABC＝∠DAB＝90°，EC＝
AD＝2，AB＝BC＝1，
．
2
DE
（1）证明：AB⊥平面ADE；
（2）求直线EB 与平面EAC 所成的角的正弦值．
证明：∵∠ABC＝∠DAB＝90°，四边形ABCD 是直角梯形，AB＝BC＝1，∴
，
2
AC
∠CAD＝45°，∴
，∴
2
2
2
2
2
cos2
4
2
4 2
2
2
CD
AD
AC
AD AC
CAD
，即CD⊥DE，∵平面CDE⊥平面ABCD，平面
，
2
2
2
4
CD
DE
CE
CDE
ABCD
CD
平面CDE，∴DE⊥平面ABCD，又
平面ABCD，则有DE⊥AB，而AD⊥AB，
DE
AB
，AD，
面ADE，∴AB⊥平面ADE；
AD
DE
D
DE
（2）∵DE⊥平面ABCD，∴
，又∵AD，
平面
1
1
1
2
2
3
3
2
6
E ABC
ABC
V
S
DE
△
BD
ABCD，∴DE⊥AD，DE⊥BD，∴
，
，
2
2
2
6
AE
AD
DE
2
2
2
7
BE
BD
DE
∴
，即
，
2
2
2
6
cos
2
3
AE
CE
AC
AEC
AE EC
3
sin
3
AEC
∴
，设B 点到平面AEC 的距离为d，直线EB 与平面
1
sin
2
2
AEC
S
AE EC
AEC
△
EAC 所成的角为
，利用等体积法我们可得算得：
，
.
2
3
3
1
6
2
2
E ABC
ABC
V
d
S
△
1
7
2
sin
14
7
d
BE
即直线EB 与平面EAC 所成的角的正弦值为
