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进阶篇 不等式恒(能)成立问题
进阶1 参数全分离
分值：34 分
1.(17 分)(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(8 分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3 有解，求a 的取值范围.(9 分)
2.(17 分)已知函数f(x)=x3eax-1.
(1)讨论f(x)的单调性；(8 分)
(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3ln x 对x∈(0，+∞)恒成立，求m 的取值范围.(9 分)
答案精析
1.解 (1)函数f(x)=ax-ln x，求导得f'(x)=a-1
x ，
由x∈[1，2]，得1
x ∈[
1
2 ，1]，
当a≤1
2时，f'(x)≤0，
当且仅当a=1
2 ，x=2 时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1 时，f'(x)≥0，当且仅当a=1，x=1 时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
当1
2<a<1 时，
由f'(x)<0，得1≤x<1
a ，
由f'(x)>0，得1
a<x≤2，
因此函数f(x)在[1，1
a)上单调递减，在(
1
a ，2]上单调递增，
综上，当a≤1
2时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当1
2<a<1 时，函数f(x)在[1，1
a)上单调递减，在(
1
a ，2]上单调递增；
当a≥1 时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
(2)依题意，不等式ax-ln x≤3 在x∈(0，e]时有解，
即a≤3
x +ln x
x 在x∈(0，e]时有解，
令g(x)=3
x +ln x
x ，x∈(0，e]，
求导得g'(x)=- 3
x
2+1- ln x
x
2
=-2+ ln x
x
2
，
由g'(x)>0，得0<x< 1
e
2；
由g'(x)<0，得1
e
2<x≤e，
所以函数g(x)在(0，1
e
2)上单调递增，在(
1
e
2 ，e]上单调递减，
当x= 1
e
2时，函数g(x)取得最大值g(
1
e
2)=e2，因此a≤e2，
所以实数a 的取值范围是(-∞，e2].
2.解 (1)f'(x)=3x2eax+ax3eax=x2eax(ax+3).
①当a=0 时，f'(x)≥0 恒成立，
所以f(x)在R 上单调递增.
②当a<0 时，令f'(x)<0，得x>-3
a；
令f'(x)>0，得x<-3
a ，所以f(x)的单调递减区间为(- 3
a ，+∞)，单调递增区间为(-∞，- 3
a).
③当a>0 时，令f'(x)<0，得x<-3
a；
令f'(x)>0，得x>-3
a.所以f(x)的单调递减区间为(-∞，- 3
a)，单调递增区间为(- 3
a ，+∞).
(2)因为a=2，所以f(x)≥mx+3ln x 对x∈(0，+∞)恒成立等价于m≤x
3e
2 x -3 ln x -1
x
对x∈(0，+∞)恒成立.
方法一 设g(t)=t-1-ln t(t>0)，
则g'(t)=t -1
t
.
令g'(t)<0，得0<t<1；
令g'(t)>0，得t>1，
所以g(t)min=g(1)=0，
所以t-1-ln t≥0.
取t=x3e2x，
则x3e2x-1-ln(x3e2x)≥0，
即x3e2x-3ln x-1≥2x，
所以x
3e
2 x -3 ln x -1
x
≥2.
设h(x)=x3e2x，
因为h(0)=0<1，h(1)=e2>1，
所以方程x3e2x=1 必有解，
所以当且仅当x3e2x=1 时，
函数y= x
3e
2 x -3 ln x -1
x
(x>0)取得最小值，且最小值为2，
所以m≤2，即m 的取值范围为(-∞，2].
方法二 (同构法)
x
3e
2 x -3 ln x -1
x
=e
3 ln x +2 x -3 ln x -1
x
≥3ln x +2 x +1-3ln x -1
x
=2，
等号成立的充要条件是3ln x+2x=0，
令φ(x)=3ln x+2x，
由φ(
1
e)=-3+2
e <0，
φ(1)=2>0 知，3ln x+2x=0 必有解，
故m≤2，即m 的取值范围为(-∞，2].
