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进阶3 端点效应
分值：34 分
1.(17 分)已知函数f(x)=ex-e-x-ax.若x≥0 时，恒有f(x)≥ax，求实数a 的取值范围.
2.(17 分)已知f(x)=2x-ln(2x+1)，g(x)=ex-x-1.
(1)求g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；(6 分)
(2)当x≥0 时，kf(x)≤g(x)恒成立，求实数k 的取值范围.(11 分)
答案精析
1.解 当x≥0 时，
f(x)≥ax⇔f(x)-ax≥0，
令g(x)=f(x)-ax
=ex-e-x-2ax(x≥0)，
求导得g'(x)=ex+e-x-2a，
因为g(0)=0，
所以g'(0)≥0，解得a≤1.
下证当a≤1 时，恒有g(x)≥0.
因为g'(x)=ex+e-x-2a≥2-2a≥0，
所以g(x)单调递增，
g(x)≥g(0)=0，
故实数a 的取值范围为(-∞，1].
2.解 (1)切点坐标为(1，e-2)，
且g'(x)=ex-1，
所以g'(1)=e-1，
所以切线方程为
y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)记F(x)=kf(x)-g(x)
=k[2x-ln(2x+1)]-(ex-x-1)(x≥0)，
求导得F'(x)=k(2-
2
2 x +1)-(ex-1)
= 4 kx
2 x +1-ex+1(x≥0)，
F″(x)=4k·(2 x +1)-2 x
(2 x +1)
2
-ex
=
4 k
(2 x +1)
2-ex，
由F(x)≤0 恒成立，且F(0)=0，
F'(0)=0，
从而F″(0)≤0，得k≤1
4 .
下证当k≤1
4 时，F(x)≤0 恒成立.
F(x)=k[2x-ln(2x+1)]-(ex-x-1)
≤1
4 [2x-ln(2x+1)]-ex+x+1
≤1
4 [2x-ln(2x+1)]-1
2x2，
下证1
4 [2x-ln(2x+1)]-1
2x2≤0(x≥0)恒成立，
设p(x)=1
4 [2x-ln(2x+1)]-1
2x2，
p'(x)=2-
2
2 x +1
4
-x=-2 x
2
2 x +1≤0，
故p(x)单调递减，则p(x)≤p(0)=0，得证.
