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空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练
考点目录
空间角的向量求法
空间距离的向量求法
考点一 空间角的向量求法
例1．（25-26 高三上·天津和平·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为
平面
，底面
为正方形，因此以点
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：
则
，
证明：可知
，由题意可得
平面
，
则平面
的法向量为
，所以
，
所以
，又因为
平面
，所以
平面
；
考点二 空间距离的向量求法
（2）设平面
的法向量为
，又
，
则
，令
，则
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
；
（3）易知
，设点
到平面
的距离为
，
则
.
例2．（25-26 高三上·天津河东·期末）如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，
底面
，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在平面
内，过
作
交
于
，
因为
， 所以
，
又因为
，所以
，
因为
底面
，
底面
，
所以
，
以
为原点，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
已知
，
、
分别为
、
的中点，
则
，
所以有
，
设平面
的一个法向量为
，
，取
，
因为
，
所以
，而
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）得
，
设平面
的一个法向量为
，
，取
，
设
与平面
所成角为
，
所以
（3）由（2）可知平面
的法向量为
，
，
所以点
到平面
的距离为
.
例3．（25-26 高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体
中，
，点P 为
的中
点．
(1)求证：
平面
；
(2)求点D 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
【详解】（1）长方体
中，
，
平面
，
因为
平面
,所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由题意可知
两两垂直，所以以
为原点
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间
直角坐标系，如图所示：
由题意可得
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，得到
；
因为
,所以点D 到平面
的距离
.
例4．（20-21 高二上·山东·月考）如图，在多面体
中，平面
平面
，底面
为直角梯
形，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
．
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，则
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
．
（2）存在，由（1）知，
平面
且
，
以
为坐标原点，
，
，
的方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设
，
则
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，故可取
．
设点
到平面
的距离为
，
则
，解得
或
（舍）．
所以在线段
上存在点
，且
．
变式1．（25-26 高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱
中，D 是AC 中点，
⊥平面
，
平面
与棱
交于点E，
，
．
(1)求证：
；
(2)已知点C 与平面
的距离为
，求
的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）根据棱柱的性质可知，
，
由于
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
平面
平面
，所以
．
（2）由于
⊥平面
，
平面
，
所以
，
，由于
，D 是AC 的中点，
所以
⊥
，
以D 为原点，以
所在直线分别为
轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设
（
），已知
，
则
，则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
得
，故
，
所以点C 与平面
的距离
，
解得
或
（舍），
即
，
．
变式2．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
.
，
，
(1)试问为何值时，
平面
？并予以证明.
(2)若
，
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（ii）在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
（ii）
【详解】（1）当
时，
平面
，证明如下：
取
的中点
，连接
，
，
因为
，所以
为
的中点，
在
中，
为
中点，
为
中点，
则
，
，
又因为
，
，
，
，
，所以四边形
是平行四边形，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）（i）以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
取平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，得
，
，故
，
设两平面的夹角为
，所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（ii）设
，
，
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
点
到平面
的距离为
，
解得
，故
.
变式3．（25-26 高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，E 为棱
的中点.
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）以点
为原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系.
可得
，
，
，
，由
为棱
的中点，得
，
，
，
.
设
为平面
的法向量，
则
，即
，令
，则
，
，
得
为平面
的一个法向量，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（2）向量
，设平面
的法向量
，
，即
，令
，则
，
，
得
为平面
的一个法向量，
则
，
所以点
到平面
的距离为
.
变式4．（25-26 高二上·吉林长春·期末）在四棱锥
中，
底面ABCD，
，
，
，M 是PD 中点.
(1)求证：
平面PAB；
(2)若
，
①求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值；
②在线段BD 上是否存在点Q，使得点D 到平面MAQ 的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)①
；②存在，
.
【详解】（1）
取
中点
，
为
中点，
，且
，
又
，
，
，且
，
四边形
为平行四边形，即
，
平面
，
平面
，
平面
；
（2）
①
平面
，且
，
则以点
为坐标原点，
，
，
方向为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，
平面
与平面
所成角的余弦值为
；
②存在点
满足题意，
，
，
假设存在点
满足题意，设
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以点
到平面
的距离
，
化简可得
，解得
或
（舍去），即
.
